Численные методы

Наряду с методами конечных разностей широко используются про-

екционные методы Ритца и Галеркина, а точнее их современные вариан-

ты – «метод конечных элементов» или «проекционно-сеточные методы».

Метод конечных элементов впервые был предложен Р. Курантом в 1943 г.

Затем в начале 50-х годов двадцатого столетия специалистами по строи-

тельной механике был предложен новый метод решения задач теории

упругости. Во многих случаях, когда расчетная область имела сложную

геометрию, она разбивалась на подобласти простой геометрии, в каждой из

которой решение могло быть найдено аналитически. Эти подобласти по-

лучили название конечных элементов, а сам подход метод конечных

элементов. На его основе в настоящее время разработано большое число

прикладных пакетов для решения большого круга инженерных и научных

задач.

(8.1)

При численном решении краевых задач методом конечных элементов

рассматриваемую область разбивают на конечноеи удовлетворяетчисло элементарныхкраевым условиям:

подмножеств стандартной формы (которые и называют конечными эле-

u (a) ua ,

u (b) ub ,

(8.2)

ментами). Затем используются специально подобранные базисные функa -b

фиксированы.

где значения u , u

Как известно из курса вариационного исчисления, непрерывно диф-

u(x) должна удовлетворять дифференциальному

ции , которые имеют довольно простой видференцируемая(чаще всего многочленыфункция),

уравнению

отличные от нуля лишь на нескольких соседних элементах.

d

Fu

( x, u, u )

Fu

( x, u, u )

0,

Многие задачи физики, химии и техники математически описывают-

dx

1

b

b

J (u)

(k (u )2

qu 2 )dx ufdx,

2

a

a

N

u N ( x) j j ( x).

(8.7)

j

0

Базовые функции j ( x) ,

i (x) одновременно могут быть отличны-

1 , поэтому

i j

1 коэффициенты аij в си-

ми от нуля, если

i j

при

j

uh

j