Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5275 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Численные методы

..pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
2.81 Mб
Скачать
☆

ui 1 ui h2 3 f ( xi , ui ) f ( xi 1 , ui 1 ) .

Методы Адамса требуют меньшего числа вычислений правой части дифференциального уравнения по сравнению с методами Рунге – Кутты того же порядка точности. Для них существуют эффективные методы апостериорной оценки локальной погрешности. Существенным недостатком метода Адамса является нестандартное начало вычислений.

y f (t, y(t)),

y (t

Рассмотрим задачу (6.31) и задачу

( y* ) f (t, y* (t)),

y(t) y(t)

i 1

 

i

2

 

i

 

i

 

 

i 1

 

i 1

 

 

i 1/ 2

i

 

i i

 

вместо f u , получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui 1

ui

 

 

 

ui

 

(ui

 

ui )

 

ui (1

 

2 2

),

 

0.

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неравенство

(1

 

 

 

 

2 2 )

 

1

выполняется, если

 

2/

 

.

5. Неявная схема Адамса третьего порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui 1

 

ui

/

 

 

(

 

5ui 1

 

8ui

 

ui 1 ),

 

0.

 

 

 

Полагая u i qi , получим характеристическое уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aq 2 bq c 0,

 

 

 

 

 

 

 

Неравенство 1 (1 ) 1 выполнено при весе 1/ 2 при любом шаге ; при весе 0 1/ 2 шаг

6.6. Понятие о жестких задачах

При решении некоторых задач Коши явными методами при увеличении шага происходит катастрофический рост погрешности решения. Обладающие таким свойством задачи получили название жестких задач.

Явные методы оказались непригодными для решения жестких задач, т. к. они приводят к большим ограничениям на шаг из-за требований устойчивости в ущерб требованиям точности.

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши y (t) 40 y(t) 40 sin t cos t, y(0) 1. Ее решением, как нетрудно прове-

рить, является функция y(t) sin t e 40t . На начальном временном отрезке

0 t 0,1 функция

e 40t очень

быстро изменяется.

Заметим, что,

f y (t, y(t)) 40 0 , и величина

t

 

для оценки по-

C(t) exp ( )d

 

y (t ) sin t e 40 t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

0

 

 

грешности решения с ростом t монотонно убывает.

Если воспользоваться явной схемой Рунге – Кутты второго порядка,

 

 

то для устойчивости схемы необходимо, чтобы шаг 2/

 

или 0,05.

t 0,1

 

.

При использовании явных методов наличие в решении быстро ме-

няющейся жесткой компоненты дажесистемына том участке, где значение Для решения задачи Кошипренебрежимодлямало, заставляет выбирать шаг из условия абсолютной уравнений пригодна неявная

устойчивости. Применение неявных методов может существенно облегчить решение жесткой задачи.

схема

0 x l

 

 

u1,i 1 u1,i / a1u1,i 1 0,

 

u2,i 1 u2,i / a2u2,i 1 0,

которая устойчива при любых

u

Будем рассматривать первую краевую задачу в области

П = 0 x 1; 0 t T .

Требуется найти непрерывное в области П решение u u(x,t)

99

получим явную схему на 4-точечном шаблоне:

 

 

 

v j 1 v j

 

 

v j

2v j

v

j

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

i 1

 

 

 

i

 

i 1 j ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h 2

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( xi , t j 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( xi 1 , t j )

 

( xi , t j )

( xi 1, t j ).

 

 

Здесь j

f (x

, t

j

),

 

либо

j

f (x

, t

j 1 / 2

), и т. д. Дополнительные

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

условия для определения сеточной функции v:

 

 

 

 

 

 

 

vi0 u 0 ( xi ),

 

i 0, 1, 2, ..., N ;

 

 

(7.6)

 

v j

0

(t

j

),

 

v j

(t

j

),

j 0, 1, ..., L .

(7.7)

 

0

 

 

 

 

N

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значения на (j+1)-м временном слое находятся по явной формуле

 

v j 1 (1

2

)v j

 

 

 

 

(v j

 

v j

 

) j .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

h

2

 

 

i

 

 

 

 

h

i 1

i 1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в разностной схеме Lh ui

все значения ui

брать на (j+1)-м вре-

менном слое, то получаем полностью неявную схему с опережением на 4-х точечном шаблоне:

 

 

 

 

 

 

 

 

v j 1 v

j

 

 

 

v j 1 2v

j 1 v j 1

j

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

i 1

 

i

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h 2

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( xi 1 , t j 1 )

 

( xi , t j 1 )

 

( xi 1 , t j 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( xi , t j ).

 

 

 

 

 

Для определения v j 1

из (7.8) получаем краевую задачу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v j 1

(1

2

)v j 1

 

 

 

v j 1 (v j j ) ,

i 1, 2, ..., N 1;

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

h

i 1

 

h

2

 

i

 

 

 

h

 

 

i 1

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v j 1

0

(t

j 1

),

 

 

v j 1 (t

j 1

),

j 0,

1, ..., L 1 ,

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

N

1

 

 

 

 

 

которая на каждом временном слое

t j ,

 

j 1, 2, ..., L

решается методом

прогонки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если правую часть взять в виде линейной комбинации vi на (j+1)-м и j-м слоях, то получим разностную схему с весами:

 

 

 

 

vij 1

vij

 

L

 

 

v j 1

(1 )L

 

 

v j j ,

0 1 ;

 

 

(7.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 0

 

u

0

( x

),

i 0,

 

1,

 

2, ..., N ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v j

0

(t

j

),

 

v j

 

(t

j

 

),

 

 

j 1, ..., L .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

N

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема (7.9) определена на 6-точечном шаблоне:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( xi 1 , t j 1 )

 

( xi , t j 1 )

 

 

 

( xi 1 , t j 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( xi 1 , t j )

 

( xi , t j )

 

 

 

 

 

( xi 1 , t j ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае

1 получается чисто неявная схема, а при

0 – явная

схема.

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v j j 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

При весе

 

 

(схема Кранка – Николсона) значения

 

v 0 сеточ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

ной функции на новом слое определяются из краевой задачи:

 

 

 

 

 

 

 

v j 1 (1

 

 

)v j 1

 

 

 

 

 

 

v

j 1

((1

 

 

)v j

 

 

(v j

v j

) j );

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

i 1

 

 

2

 

2

 

 

2h

i 1

 

h

2

 

 

i

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

h

i

2h

i 1

i

1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1,

2, ..., N 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности