Теоретические основы электротехники. Часть 2. Переходные и статические режимы в линейных и нелинейных цепях. Электромагнитное поле

Важно помнить, что в указанных суммах токов, напряжений и ЭДС необходимо учитывать ненулевые начальные условия.

В целом задача отыскания изображений аналогична задаче расчета комплексных токов и напряжений методом комплексных амплитуд.

Пример 1.12. Для цепи (рис.1.19, а) с известными параметрами Е = const, R, R1, R2, L, C записать закон Ома в операторной форме.

б

Рис. 1.19

42

Решение. Для записи закона Ома в операторной форме вначале определим ННУ:

Для операторной схемы замещения цепи после коммутации (рис.1.19, б) по второму закону Кирхгофа

Последнее выражение является законом Ома в операторной форме для схемы на рис. 1.19. Здесь знаменатель является операторным сопротивлением

Z ( p) Lp Cp1 (R R1 ) .

Величину, обратную Z(p), называют операторной проводимостью:

При нулевых начальных условиях закон Ома имеет вид

Решение обратной задачи. Теорема разложения. Об-

ратной задачей операторного метода является отыскание оригинала временной функции f(t) по известному ее операторному изображению F(p). Наиболее удобным практическим способом является использование формул теоремы раз-

43

ложения. При этом необходимо представить функцию F(p) в виде правильной рациональной дроби

ственные разные или комплексно-сопряженные, то оригинал функции

где B ( pk ) — производная B(p) со значением k-го корня.

Выражения (1.45), (1.45а) и называют теоремой разложения. При кратных корнях целесообразно изображение разло-

жить на простые дроби и просуммировать оригиналы каждой простой дроби. При наличии комплексно-сопряженных корней следует учесть, что слагаемые теоремы разложения будут также комплексно-сопряженными.

Если же степени полиномов числителя и знаменателя в изображении оказались равными, т. е. m = n, что возможно при воздействии на цепь единичного импульсного сигнала ( (t) 1) , то из изображения выделяют целую часть, раз-

лагая его на простые дроби.

Пример 1.13. Найти закон изменения тока во времени по его операторному изображению

Решение. Приравняв знаменатель дроби нулю, находим

корни характеристического уравнения

р1 = –50 с–1, р2 = –150 с–1.

44

Для вещественных и разных по величине корней теорема разложения записывается в виде

( B ( p) 2 p 200 ) вычисляем составляющие теоремы разложения:

A( p1 ) 40, A( p2 ) 200, B ( p1 ) 100, B ( p2 ) 100.

В результате i(t) 0,4e 50t 2e 150t A .

Общая схема применения операторного метода.

1)Производится анализ цепи до коммутации, и определяются ННУ так же, как и в классическом методе анализа переходных процессов.

2)Составляется операторная схема замещения цепи после коммутации. При ненулевых НУ в каждую ветвь с ин-

дуктивностью включают источник ЭДС, равной LiL(0) и направленной по току IL(p); в ветвь с емкостью включают ЭДС, равную UC(0)/p и направленную против тока IC(p).

Вветви, не имеющие НУ, дополнительные ЭДС не включаются.

3)Операторная схема замещения, в зависимости от ее сложности и количества переменных величин, рассчитывается каким-либо из рассмотренных выше методов.

4)По операторным изображениям искомых величин записывается операторное характеристическое уравнение (знаменатель функций, одинаковый для всех переменных) и по его виду определяются корни.

5)Определяются оригиналы искомых функций, по которым и рассчитываются необходимые переходные процессы.

Рассмотрим применение теоремы разложения на примере.

Пример 1.14. Параметры элементов схемы (рис. 1.20, а):

E 10 B const; L 0,01Гн; R1 2кОм; R2 3кОм;

C 0,01мкФ. Определить i2 (t),uC (t) .

45

а

1/Сp

б

Рис. 1.20

Решение. Определим ННУ в схеме до коммутации: uC (0) uC (0 _) 0; i(0) i(0 _) E / R1 5 10 3 .

Составим операторную схему замещения (рис. 1.20, б) и определим I2(p). По закону Ома

Подставим численные значения:

46

Корни характеристического уравнения B(p) = 0:

р1 = –4 104 с-1; р2 = – 105 с-1.

Используя формулы разложения для двух корней, получим:

Вычислим составляющие выражения i2(t)

A( p1 ) ( 4 104 ) 10 9 2 10 4 1,6 10 4 , A( p2 ) ( 10 104 ) 10 9 2 10 4 10 4 , B ( p) 2 5 10 7 p 7 10 2 ,

B ( p1 ) 2 5 10 7 ( 4 104 ) 7 10 2 0,03 , B ( p2 ) 2 5 10 7 ( 10 104 ) 7 10 2 0,03

и подставим их в выражение тока:

47

1.4. Комбинированный операторно-классический метод расчета переходных процессов

Целью данного метода является упрощение операторных изображений искомых напряжений и токов. В основе метода лежит принцип наложения: принужденные составляющие находятся из расчета установившегося режима после коммутации [3], а свободные составляющие определяются операторным методом, для чего составляется схема замещения свободного процесса, в которой внешние источники отсутствуют, а внутренние определяются по начальным значениям

свободных составляющих LiLсв (0) , UСсв (0) . p

Общая схема применения метода.

1) Определяются независимые начальные условия

2) Определяются принужденные составляющие тока в индуктивности, напряжения на емкости и искомых величин, например uпр (t) или iпр (t) .

3) Определяются значения свободных составляющих при t 0 :

iLсв (0) iL (0) iLпр (0) , uСсв (0) uC (0) uСпр (0) .

4) Рассчитывается операторная схема после коммутации для свободных составляющих, в которой источники ЭДС закорачиваются, а ветви с источниками тока разрываются. Ниже приведены операторные схемы замещения индуктивного и емкостного элементов.

ILсв(p) Lp LiLсв(0)

ICсв(p) 1/Cp UCсв(0)/p

48

5) Любым методом находятся операторные изображения свободных составляющих искомых величин, например:

6) По теореме разложения находятся оригиналы, и записывается ответ в виде суммы принужденной и свободной составляющей, например:

Данный метод удобно применять при наличии в цепи источников, ЭДС или задающие токи которых являются периодическими функциями времени.

Пример 1.15. Определить i(t) в схеме (рис. 1.21) с пара-

метрами: e(t) 150 sin(800t 600 ) B ; R 24 Ом; C 104 мкФ .

Рис. 1.21

Решение. Определим ННУ в схеме до коммутации. Расчет установившегося режима проводим символическим методом. Для этого составляем схему замещения (рис. 1.22, а) и рассчитываем

49

Расчет схемы проведем методом узловых потенциалов. Пусть a 0 , тогда

Напряжение на емкостном элементе найдем по закону Ома

uC (t) 23,36sin(800t 1310 ) B;

uC (0) 23,36sin( 1310 ) 17, 6 B.

Определим принужденную составляющую в схеме после коммутации (рис. 1.22, б). Тогда при a 0

Imпр Em b 3, 64e j52,7 A;

R

50