Теоретические основы электротехники. Часть 2. Переходные и статические режимы в линейных и нелинейных цепях. Электромагнитное поле

J 1n полн J 2n полн ; 1 E1n 2 E 2n ,

где j a — комплексная удельная проводимость.

Гармонически изменяющееся поле для комплексных

значений на границе раздела реальных диэлектриков (рис. 6.10). Нормальные составляющие вектора полного электрического смещения на границе раздела реальных диэлектриков непрерывны:

Потенциальное поле. Для потенциальных (безвихре-

вых) полей линейный интеграл по любому замкнутому контуру от напряженности электрического поля, а также от вектора напряженности магнитного поля в области, занятой током, равен нулю. Поэтому потенциальные поля характеризуют скалярными функциями: электрическим и магнитнымм потенциалами. Потенциальными полями являются электростатическое, электрическое постоянного тока (вне источников), магнитное постоянного потока вне области с током и квазистатическое поля (табл. 6.2).

Потенциальные поля графически представляются в виде картины поля — линий вектора поля и эквипотенциальных поверхностей.

Уравнения квазистационарного электромагнитного поля. Квазистационарным называют переменное электромагнитное поле, которое с течением времени изменяется так медленно, что можно пренебречь током смещения, по срав-

191

нению с током проводимости и эффектом запаздывания излучения. Для металлических проводников пренебрежение

токами смещения I I ( a 1) допустимо в широком

диапазоне частот вплоть до 1018 . Эффект запаздывания несущественен, если линейные размеры электромагнитных установок много меньше длин исследуемых волн. На промышленной частоте f 50 Гц 6000 км , поэтому эффек-

том запаздывания можно пренебречь в пределах больших областей поля.

192

Квазистационарное поле описывают уравнениями, полученными из уравнений Максвелла при D t 0 . Такое поле

не является потенциальным, поскольку, по второму уравнению Максвелла, rot E 0 . Совместное решение уравнений Максвелла производится с помощью вспомогательных функций — электромагнитных потенциалов. Электромагнитные потенциалы A и для квазистационарного поля удовлетворяют уравнениям Пуассона и Лапласа.

Аналогия между полями. Между электрическим полем постоянного тока и электростатическим полем. Общим свойством этих полей является их потенциальность ( rot E 0 ). Для обоих полей справедливо уравнение Лапласа

2 0 , если рассматриваемая область электрического поля

находится вне источников энергии, а область электростатического поля — вне объемного заряда. Из подобия уравнений следует формальная аналогия между соответствующими величинами в этих уравнениях и тождественность граничных условий для них при одинаковой форме граничных поверхностей. При этом картины полей подобны.

Между магнитным полем постоянного потока и элек-

тростатическим полем. Дифференциальные уравнения магнитного поля постоянного потока, записанные для пространства вне тока, и дифференциальные уравнения электрического поля в отсутствие объемных зарядов аналогичны. При расчете магнитного поля заменяют 0 на 0, на , E на

H, D на B.

Экранирование полей. Экранами являются устройства,

предназначенные для защиты установок от электромагнитных внешних полей, а также окружающего пространства — от полей, создаваемых самой установкой [13]. За счет применения электростатических экранов поле внешних зарядов компенсируется полем вызванных ими зарядов, расположенных на внешней поверхности экрана. Электростатические экраны применяются при точных измерениях. При экраниро-

193

вать изменению тока во внутренних частях проводника. В результате максимальная амплитуда плотности тока имеет место в приповерхностных слоях проводника, а минимальная

— во внутренних. Для сильного скин-эффекта [12]

где — характерная длина затухания; j0 — плотность тока при x 0.

Длина затухания — это глубина, на которой плотность

Выражение (6.11) показывает, что полный ток можно представить однородным, но сосредоточенным в узкой трубке толщиной вблизи поверхности провода.

Величину скин-эффекта можно охарактеризовать коэффициентом увеличения сопротивления переменному току

где R0 — сопротивление проводника при постоянном напряжении, а R~ — при переменном.

На очень высоких частотах глубина проникновения тока составляет тысячные доли миллиметра, поэтому различные шероховатости проводящей поверхности удлиняют путь тока

195

и увеличивают сопротивление. Для предотвращения этого явления токопроводящие устройства полируют.

Эффект близости. Эффект близости возникает при взаимном влиянии токов соседних проводов на распределение электромагнитного поля в них. Этот эффект перераспределяет электромагнитное поле по сечению проводника и нарушает симметрию, которую наблюдают при поверхностном эффекте уединенного проводника. При этом возрастают потери энергии и активное сопротивление провода. Особенно сильно эффект близости проявляется в проводниках, свернутых в виде спирали, например, в катушках индуктивности.

Активное сопротивление катушки току высокой частоты может в несколько раз превышать ее сопротивление постоянному току.

Магнитное поле, созданное первичным током i1, и индуцированное им электрическое поле, в свою очередь, индуцируют в проводе вторичный ток i2, сонаправленный с i1 в области сгущения магнитных линий (внутри катушки) и направленный противоположно току i1 в области разрежения линий внутри катушки (рис. 6.11). Таким образом, результи-

H2

i1

i2

Ось катушки

H1

Рис. 6.11

196

рующий ток имеет максимальную плотность вблизи внутренних поверхностей обмотки катушки. В связи с этим, эффективное сечение проводника уменьшается, а его сопротивление увеличивается. Вышеописанные эффекты тем сильнее, чем выше частота и больше диаметр провода.

6.3. Численные и экспериментальные методы моделирования полей

Характеристика численных методов анализа полей.

Численные методы расчета электрических и магнитных полей сводятся к составлению системы алгебраических уравнений. Обычно порядок системы уравнений совпадает с общим числом неизвестных. Численные методы являются приближенными, поэтому основным их недостаток — трудность оценки ошибки. Источником ошибок является как сам метод, так и его реализация на ЭВМ.

По методу интегральных уравнений исследование поля в неоднородной среде сводят к расчету его в однородной среде. Влияние на поле неоднородностей учитывают введением в поле вторичных источников — зарядов поляризации, токов намагниченности и т.д., распределенных на границах (в объеме) неоднородностей. Первоначально определяют интегральные уравнения, которые должны соответствовать распределению вторичных источников, а затем по уравнениям поля с учетом заданных вторичных источников решают задачу анализа поля.

По методу конечных элементов область поля разбивает-

ся на конечное число подобластей — элементов. Внутри каждого элемента искомая функция аппроксимируется, например полиномом, коэффициенты которого выражены через неизвестные значения искомой функции в узлах элемента. Полученные соотношения для коэффициентов подставляют в аппроксимирующий полином, что приводит к уравнению искомой функции в зависимости от узловых значений функции и формы элемента. Это интерполяционное уравнение записывают для каждого элемента согласно

197

198

между граничными поверхностями наносят сетку в соответствующей системе координат и буквами обозначают ее узлы;

2)на сетке приближенно проводят эквипотенциальные и силовые линии, а затем, ориентируясь на картину поля, задаются значением потенциала каждого узла сетки;

3)последовательно задаваясь значениями потенциала каждого узла, составляют уравнение связи (6.13) или, если

0 , уравнение (6.14). При первоначально принятых значе-

ниях потенциалов узлов уравнение связи равно не нулю, а некоторому числу — остатку, который записывается около соответствующего узла;

4) изменяют потенциалы узлов так, чтобы остаток в уравнениях связи для всех узлов не превышал заданного. Для этого самый большой остаток можно уменьшить, например,

на 14 и повторить вычисления по схеме. Систему уравнений для узлов записывают в матричной форме.

Экспериментальные методы моделирования потен-

циальных полей. Экспериментальные методы исследования полей подразделяются на методы непосредственного измерения потенциалов и напряженностей, методы построения

199

картины поля в области реальных полей посредством металлических стрелок, штырей и других видов зондов, методы моделирования одних полей другими с помощью электрических ванн, заполненных жидкими электролитами [6]. С помощью реостата, зонда и индикатора нуля (рис. 6.14) можно снять семейство эквипотенциальных линий.

е(t) (f = 50 Гц)

И Индикатор нуля

Электролит

Щуп

Электроды

Рис. 6.14

Движок реостата устанавливают в какое-либо фиксированное положение. Перемещая зонд, добиваются нулевого показания индикатора нуля и обнаруживают подобные точки.

200