Теоретические основы электротехники. Часть 2. Переходные и статические режимы в линейных и нелинейных цепях. Электромагнитное поле

Поэтому необходимо знание выражения энергии электромагнитного поля для некоторого объема V [9]

где a и a — абсолютные электрическая и магнитная проницаемости среды.

Первое уравнение Максвелла устанавливает связь между магнитным полем и его источниками (плотностью полного электрического тока). Здесь σ – удельная электрическая проводимость.

Второе уравнение Максвелла устанавливает связь между электрическим полем и возбуждающим его переменным магнитным полем. Оно является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея, согласно которому индуцированная ЭДС

181

дифференцирования по времени, действующий на мгновенное значение поля, заменяется на множитель j . Тогда получим уравнения Максвелла в комплексном виде:

1) rot H j D E jст ; 2) rot E j B ; 3) div D ; 4) div B 0 ; 5) D a E ; 6) B a H .

Законы, теоремы и принципы теории электромагнитного поля.

1. Электростатическое поле Закон Кулона. Сила взаимодействия между точечны-

ми зарядами Q1 и Q2, расположенными на расстоянии R:

Теорема Гаусса. Поток вектора электрического смещения D через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью:

D dS Q .

S

2. Электрическое поле постоянного тока Закон Ома. Плотность тока проводимости пропорци-

ональна напряженности электрического поля: j E .

Закон Джоуля-Ленца. Мощность тепловых потерь, рассеиваемая в единице объема при протекании тока проводимости P jE E 2 j 2 .

Первый закон Кирхгофа. Поток вектора плотности постоянного тока проводимости через замкнутую по-

верхность равен нулю: jdS 0 .

S

Второй закон Кирхгофа. Циркуляция вектора напряженности электрического поля вне источников ЭДС рав-

на нулю: E dl 0 .

l

183

3. Магнитное поле постоянного тока Закон Био-Савара-Лапласа. Элементарная слагающая

магнитной индукции в неферромагнитной среде создается элементом тока Idl в точке, удаленной от элемента dl

на расстояние R: dB 0 I dl 1R . Постоянный ток про-

4 R2

ходит по линейному проводнику в направлении его элемента dl. Результирующая магнитной индукции в рассматриваемой точке, создаваемая током, проходящим по

где dV — элемент объема проводника с плотностью тока j.

Закон полного тока. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов, протекающих внутри контура интегрирования:

H dl I .

l

4. Постоянное или переменное во времени магнитное поле Принцип непрерывности линий магнитной индукции.

Магнитный поток сквозь замкнутую поверхность всегда равен нулю: B dS 0 .

S

Закон полного тока. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости iпр, токов переноса зарядов iперен, токов

Закон электромагнитной индукции. Магнитный по-

ток, пронизывающий контур, изменяясь, наводит в нем

184

ЭДС . ЭДС положительна, если ее направление

t

и направление магнитных линий при уменьшении магнитного потока определяются правилом правого винта.

Закон сохранения заряда. Заряд dQ, проходящий че-

рез замкнутую поверхность S, равен убыли заряда внутри

Теорема Умова-Пойнтинга:

для мгновенных значений векторов в отсутствие источников энергии в объеме. Мощность, потребляемая (отдаваемая) внутри объема, входит (выходит) в объем V

в виде потока вектора Пойнтинга П dS через замкну-

S

тую поверхность, ограничивающую этот объем:

где E 2 dV — мощность тепловых потерь внутри объе-

V

ма V, ограниченного поверхностью S;

запаса электромагнитной энергии в единице объема;при наличии источников энергии в объеме. Мгно-

венная мощность источников энергии в объеме pист определяется мощностью тепловых потерь, скоростью изменения энергии электромагнитного поля в объеме V и скоростью изменения энергии, выходящей через граничную поверхность S рассматриваемого объема:

185

в комплексной форме. Поток комплексного вектора Пойнтинга П сквозь замкнутую поверхность равен

комплексной мощности, выделяемой внутри объема, ограниченного этой поверхностью:

Вектор Пойнтинга П E H характеризует значение и направление перемещения энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной П. Если вектор П направлен внутрь поверхности, то его поток, проходящий через поверхность, будет поло-

жительным: П dS 0 . Направление вектора Пойнтин-

S

га совпадает с направлением поступательного движения оси правого винта, головка которого вращается в плоскости, содержащей векторы E и H в направлении от E к H по кратчайшему расстоянию.

5. Постоянное и переменное электромагнитные поля Теорема единственности решения: решение, удовле-

творяющее уравнениям поля, граничным и начальным условиям, является единственным.

6. Поле, описываемое линейными уравнениями Принцип наложения: результирующий вектор (ска-

ляр) равен сумме векторов (скаляров), создаваемых каждым источником в отдельности.

7.Электрическое поле, электрическое поле постоянного тока,

магнитное поле постоянного потока Принцип двойственности: задачу о расчете одного

поля можно заменить задачей о расчете другого поля, применив аналогию величин и коэффициентов, характеризующих эти поля, если граничные поверхности обоих полей по форме и взаимному расположению одинаковы,

186

а граничные условия и дифференциальные уравнения подобны относительно величин и коэффициентов, присущих каждому полю.

Виды краевых задач. Исследование электростатического поля в общем случае сводится к решению дифференциальных уравнений Пуассона и Лапласа при заданных граничных условиях.

Краевая задача. Рассчитывается поле при заданных граничных (краевых) условиях, которым удовлетворяют значения векторов и скаляров поля на поверхности раздела сред с различными электрофизическими свойствами.

Внутренняя краевая задача. Рассчитывается поле внутри области, ограниченной некоторыми поверхностями.

Внешняя краевая задача. Определяется поле во внешнем пространстве при дополнительном условии о поведении потенциала в бесконечности: 0 при r.

Краевая задача Дирихле. Решается дифференциальное уравнение при заданных значениях потенциала во всех точках на границе области поля.

Краевая задача Неймана. Решается уравнение Лапласа при известных значениях нормальной составляющей гради-

ента потенциала n во всех точках на границе области поля.

Рассмотрим более подробно следующие граничные задачи.Граница раздела диэлектриков в электростатическом

поле [11]. Скачок нормальных составляющих векторов электрического смещения на границе раздела диэлектрических сред (рис. 6.2) равен поверх-

187

При S 0 нормальные составляющие на границе раздела

диэлектрических сред непрерывны: a1 1 a2 2 . Ска-

n n

чок нормальных составляющих вектора поляризации на границе раздела диэлектрических сред равен отрицательному значению поверхностной плотности связанного заряда в данной точке: p1n p2n S . Тангенциальные составляющие

напряженности электрического поля на границе раздела ди-

электрических сред непрерывны: E1 E2 ; D1 D2 , при

1 2

1 2 (на поверхности раздела сред потенциал непреры-

ности проводника в диэлектрике вектор электрического смещения имеет только

нормальную составляющую, равную поверхностной плотности свободного заряда в данной точке: D1 D1n S ;

E1n S . Если же реализуется электрическое поле постоян-

1

ного тока для такого типа граничных условий, то на поверхности проводника в диэлектрике напряженность электриче-

188

ника расположен положительный заряд, то вектор напряженности En направлен в сторону диэлектрика, при отрицательном заряде — в сторону проводника.

Электрическое поле на границе раздела проводников (рис. 6.5). Нормальные составляющие вектора плотности то-

Магнитное поле постоянного тока на границе раздела магнитных сред. Нормальные составляющие вектора магнитной индукции и скалярные магнитные потенциалы на границе раздела магнитных сред непрерывны (рис. 6.6):

189

вектора напряженности магнитного поля на границе раздела магнитных сред равен линейной плотности тока dIdt .

При dIdt 0 тангенциальные составляющие вектора

напряженности магнитного поля на границе раздела магнитных сред непрерывны (рис. 6.7): H1 H 2 ; B1 1 B2 2 . Закон преломления линий вектора магнитной индукции:

Переменное электромаг-

Гармонически изменяющееся поле для комплексных

значений на границе раздела реальных проводников (рис. 6.9). Комплексные значения нормальных составляющих вектора плотности полного тока на границе раздела реальных проводников непрерывны:

190