Теоретические основы электротехники. Часть 2. Переходные и статические режимы в линейных и нелинейных цепях. Электромагнитное поле

Пример 3.13. Определить ток переходного процесса i(t) (рис. 3.34), если E 200 В, C 100 мкФ, и вольтамперная ха-

i(u) 10 4 (200)2 4 А.

3.В установившемся режиме после коммутации конденсатор уже полностью разрядился и iуст 0 , uуст 0 .

4.Заменяем нелинейный элемент линейной схемой за-

131

начальных условиях и указанных на рисунке положительных направлениях отсчетов токов и напряжений.

Значения Lдиф(i) и Cдиф(i) на (k + 1)-м шаге интегрирования подсчитывают по значениям i и uС на k-м шаге. Решение

систем уравнений состояния вида (3.19) возможно только с помощью ЭВМ и будет подробнее рассмотрено в теме 7.

134

4. АНАЛИЗ И РАСЧЕТ МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ

4.1. Магнитные цепи с постоянными магнитными потоками

Основными величинами, характеризующими магнитное поле, являются вектор магнитной индукции B и вектор напряженности магнитного поля H. Между ними существует соотношение:

где a — абсолютная магнитная проницаемость среды; —

поля — А/м.

Важнейшей магнитной характеристикой является поток вектора магнитной индукции B сквозь некоторую поверхность S:

Измеряется магнитный поток в Веберах ( Вб В с Тл м2 ). Величина магнитной проницаемости не остается постоянной при изменении величины поля для многих материалов, но именно эти материалы находят широкое применение в электротехнике. Это ферромагнетики. Для них характерно

соотношение

a 0 .

Зависимость B f H для ферромагнитных материалов,

к числу которых относятся электротехнические стали, пермаллои, ферриты, является нелинейной и неоднозначной. Это

петля гистерезиса (рис. 4.1). Здесь диф dHdB — дифферен-

135

B

BS

диф

Br Bm

–Br

–BS

Рис. 4.1

циальное значение магнитной проницаемости. Максимальное значение индукции предельного гистерезисного цикла принято называть индукцией насыщения ( BS ), а величину

индукции, остающуюся после снятия поля, — остаточной индукцией ( Br ). Величина напряженности поля, необходимого для размагничивания предварительно намагниченного образца, получила название коэрцитивной силы ( H c ).

Любой гистерезисный цикл с величиной Bm BS назы-

вается частным. Геометрическое место вершин частных симметричных циклов гистерезиса — это кривая первоначального намагничивания.

Умение верно определить цикл перемагничивания сердечника электротехнического элемента — основа правильного расчета и проектирования таких устройств, а ошибки могут достигать 1000 .

136

Связь электрических и магнитных величин. Энергетические соотношения в магнитных элементах. Связь электрических и магнитных величин определяется фундаментальными законами физики — законом электромагнитной индукции

где — потокосцепление; W — число витков обмотки, охватывающей поток, и законом полного тока

В случаях, когда магнитный поток идет вдоль пути интегрирования, можно воспользоваться интегральной формой записи закона полного тока

H l I W ,

где l — длина пути магнитного потока; I — ток.

Величина IW называется магнитодвижущей силой. По аналогии с электрической цепью можно говорить о магнитном потенциале или напряжении

Тогда, очевидно, можно говорить и о магнитном законе Ома и законах Кирхгофа для магнитных цепей. Действительно:

Умножим обе части последнего равенства на l:

137

Используя дуальность электрических и магнитных соотношений, можно записать законы Кирхгофа для магнитных цепей:

где V = Sl — объем магнитного материала элемента. Проинтегрируем полученное соотношение:

Таким образом, удельная (отнесенная к единице объема) энергия, затрачиваемая на перемагничивание от точки B0 до Bm, определяется площадью под кривой H dB (заштрихованная область на рис. 4.2). Важно отметить, что на участке

Bm — Br дифференциал dB становится отрицательным. Это значит, что на этом участке энергия элемента высвобождается и может быть возвращена источнику (рекуперация энергии).

При циклическом перемагничивании удельные затраты энергии на один цикл перемагничивания равны площади петли гистерезиса.

Мощность потерь на гистерезис пропорциональна частоте (числу циклов в единицу времени):

138

B

Bm

B0

–B0

Рис. 4.2

где k — коэффициент, зависящий от вида материала, формы его петли гистерезиса и формы сердечника.

Рассмотренные параметры и их соотношения в значительной степени зависят от формы сердечника электромагнитного элемента. Это вызвано тем, что магнитное сопротивление магнитопровода часто оказывается соизмеримо с магнитным сопротивлением окружающего пространства, вследствие чего приходится при расчете магнитных цепей прибегать к некоторым допущениям. Обычно считают: 1) магнитный поток неизменен по всей длине магнитопровода (т. е. пренебрегают потоками рассеяния); 2) в воздушном зазоре магнитный поток имеет то же сечение, что и в магнитопроводе. Возможность таких допущений необходимо всякий раз оценивать количественно.

Пример 4.1. Определить величину магнитного потока в магнитной цепи с немагнитным воздушным зазором

(рис. 4.3), если W 100 , S 4 10 4 м2 , l 0,05 м , S 0,1 3 м , I 1 А , a 5 10 4 Гн/м .

Решение. Пренебрегая потоком рассеяния, считаем, что магнитный поток одинаков по всей длине магнитопровода, а площадь сечения зазора равна площади сечения сердечника.

139

l

S

Рис. 4.3

Тогда

На основе характеристик намагничивания, с учетом геометрии сердечника и принятых допущений, создаются веберамперные характеристики, которые могут быть аналитическими, если найдена функциональная зависимость B f H ,

либо графическими, если эта зависимость задана графиком. На основе вебер-амперных характеристик создается система уравнений равновесия магнитной цепи, которая затем решается относительно магнитных потоков.

Рассмотрим вариант графического решения такой задачи. Пусть для магнитной цепи (рис. 4.4) известны геометрические параметры l1, l2, l3, S1, S2, S3, 1, 2 и магнитодвижущие силы I1W1, I2W2. Необходимо определить магнитные потоки1, 2, 3. Известна также характеристика намагничивания материала сердечника B f H (рис. 4.5), заданная кривой

первоначального намагничивания (при расчете цепей с постоянными потоками гистерезисом можно пренебречь).

140