Теоретические основы электротехники. Часть 2. Переходные и статические режимы в линейных и нелинейных цепях. Электромагнитное поле

лентной системы линейных уравнений. Решение такой эквивалентной системы производится методом линейных сплайнов [6], где значения токов и напряжений начала следующего участка приравниваются к значениям этих переменных для конца предыдущего участка. КЛА значительно упрощает анализ нелинейных цепей, так как в интервалах между изломами ВАХ имеем дело с линейными моделями цепи, для которых могут быть построены линейные схемы замещения.

Рассматриваемый НЭ с ломаной характеристикой на каждом i-м участке заменяется линейным резистором Rдi, величина которого равна дифференциальному сопротивлению (оно определяется тангенсом угла наклона i), и источником постоянной ЭДС. Рассмотрим принцип построения схем замещения для трех отдельных участков ВАХ НЭ (рис. 3.10). Следует обратить внимание на то, что направление ЭДС источника совпадает с направлением тока, если значение ЭДС отложено на отрицательной полуоси напряжений (интервал 3) и направлено против тока — в противном случае (интервал 2). На интервале 1 значение ЭДС равно нулю.

Рис. 3.10

После замены НЭ линейными сопротивлениями и ЭДС цепь рассчитывается как линейная. При этом рабочая точка не должна выходить за пределы линейного участка характеристики НЭ.

101

Если в цепи несколько НЭ, то решение придется выполнять для каждого из возможных сочетаний линейных интервалов, так как положение рабочих точек на ВАХ заранее неизвестно.

Пример 3.6. Определить параметры линейной схемы замещения, используя источник ЭДС Е0 и дифференциальное сопротивление Rд НЭ с заданной ВАХ (рис. 3.11).

Решение. Положим, что рабочая точка перемещается лишь по участку аб (рис. 3.11, а), для которого

m

u u0 i tg u0 i mu Rд .

i

Рис. 3.11

Этому уравнению удовлетворяет участок цепи (рис. 3.11, б), где Е = u0 и линейное сопротивление R = Rд.

Пример 3.7. Определить показание амперметра магнитоэлектрической системы в цепи нелинейного резистора (рис. 3.12) с ВАХ, аппроксимированной двумя линейными отрезками. Резистор подключен к источнику синусоидального напряжения u(t) U m sin t.

Решение. Первый участок ВАХ здесь аппроксимируется линейными сопротивлениями — R1 для положительного полупериода и R2 для отрицательного полупериода.

102

Im1 i(t)

R2

u(t)

Рис. 3.12

Поскольку цепь резистивная, ток в цепи повторяет форму приложенного напряжения и состоит из двух полуволн с разными амплитудами (рис. 3.12). По закону Ома

Среднее значение тока, которое фиксируется амперметром, состоит из двух полуволн:

Пример 3.8. Построить ВАХ безынерционного нелинейного резистивного элемента y = f(x), если воздействие x t sin t4 и реакция y(t) заданы графиками (рис. 3.13, а, б).

Решение. При построении характеристики у(х) (рис. 3.14, а – г) важно обратить внимание на необходимость согласования масштабов графиков по переменным x, y, t.

103

Рис. 3.14

Численный анализ нелинейных статических цепей.

Для сложных нелинейных цепей с произвольного вида нелинейностями основными методами анализа являются численные методы. Здесь интерес представляют нелинейные цепи, работающие в статическом режиме. Статический режим можно рассматривать как переходный процесс, который носит асимптотически устойчивый характер, т. е. при t

104

цепь переходит в асимптотически устойчивое состояние. Если цепь не имеет накопителей энергии, то она переходит в статический режим мгновенно. Модель электрической цепи в статическом режиме описывается векторным уравнением (3.2), т. е. F(V) = 0, где V — вектор переменных цепи размерности n. Данное уравнение является нелинейным алгебраическим.

Обозначим точное решение (3.2) через V*. Численный метод сводится к нахождению последовательности векторов

V 0 , V 1 , ... ,V k . Вектор V0 называется начальным приближе-

нием, переход от очередного вектора Vk к Vk+1 — итерацией, а способ перехода — итерационным методом. На практике используются итерационные формулы вида

где Hk — вектор-параметр итерационного процесса, зависящий от результатов предыдущих итераций.

Основные характеристики итерационных методов — сходимость итераций и скорость сходимости.

Наиболее простым является метод простой итерации. Применительно к одному уравнению типа (3.2) с одним корнем V = Vk+1 решение может быть записано в виде

V k 1 V k hF(V k ) ,

где B = hI (I — единичная матрица); h — скалярная величина. Для выполнения условия сходимости

(I hЯ ) 1 ,

где — максимальное из собственных значений [V + hF(V)]; Я = [dF/dV] — матрица Якоби функции F.

Наиболее эффективным считается метод Ньютона. Здесь решение в окрестности того же корня разлагается в ряд Тейлора:

F(V k 1 ) F(V k V k ) F(V k ) V k F (V k ) 0,

где F(Vk) — значение функции в точке V0; F’(Vk)— производная функции F(V) в этой же точке.

Отсюда

105

где V k h F(V k ) / F (V k ) — поправка к предыдущему решению.

Порядок реализации (алгоритм) метода Ньютона следующий. Задают приближенно значение искомого решения Vk ( k 0 ). Определяют поправку h0 согласно (3.15). Для ее вычисления находят производную функции F(V0). Вычисляют уточненное значение корня V1 = V0 + h0. Повторяют процесс

на следующем шаге и уточняют значение V k k 0, 1, 2,

Если начальное приближение достаточно близко к решению, то говорят о сходимости решения. Если производная F’(Vk) = 0, то решение невозможно. Из специальной литературы известно, что сходимость метода Ньютона зависит не только от значения функции F(V) и ее наклона F’(V), но и от кривизны наклона функции F’’(V).

Пример 3.9. Для заданной схемы (рис. 3.16, а) составить итерационные выражения для расчета I1, U1, I2 , U2 , если из-

вестны E , J , R и заданы вольтамперные характеристики нелинейных элементов.

106

Рис. 3.16

Решение. Заменим нелинейные элементы неизвестными статическими сопротивлениями, которые определяются из вольтамперных характеристик (рис. 3.16, б). Для k-го шага итерации

Для лучшей сходимости итерационные выражения составляются для тока в нелинейном элементе, если его ВАХ загибается к оси токов и для напряжений, если ВАХ загибается к оси напряжений.

Схему рассчитаем методом контурных токов:

I11k 1 R Rстk 1 Rстk 2 I22k 1 Rстk 2 I22k 1 R R Rстk 2 I11k 1 Rстk 2

I33k 1 J ;

Итерационные выражения:

I2k 1 I22k 1 I11k 1 ;

U1k 1 I1k 1 Rстk 1 (I11k 1 I33k 1) Rстk 1 .

На нулевом шаге итерации задаются произвольными значениями U10 и I20 , по ВАХ находятся значения I10 и U20 и

рассчитываются Rст0 1 и Rст0 2 . По итерационным выражениям

107

находятся U11 и I21 , по ВАХ находятся I11 и U 21 и т.д. до повторения результатов.

Моделирование вольт-амперных характеристик электрическими цепями. Элементарные цепи из таких двухполюсных элементов как диоды, резисторы, источники ЭДС и тока могут воспроизводить заранее заданные вольтамперные характеристики.

Простейшие блоки из перечисленных элементов с последовательным или параллельным соединением имеют простейшие кусочно-линейные характеристики с двумя линейными участками и регулируемыми параметрами (точки перегиба и углы между линейными отрезками). Представим пример цепного моделирования простейших кусочно-линейных характеристик (рис. 3.17, а, б). Эквивалентная характеристика, имеющая вогнутый характер, получена суммированием характеристик элементов: идеального диода (D), линейного резистора (R) и идеального источника ЭДС (Е). Комбинация простейших блоков позволяет конструировать цепи с заданными характеристиками.

1

(2)(3)

а

б

Рис. 3.17

Пример 3.10. Построить схему цепи, реализующую вольт-амперную характеристику нелинейного резистора (рис. 3.18, а) и определить ее параметры.

108

синусоид осуществляют из условия неизменности активной мощности цепи. Так напряжения и токи

можно заменить эквивалентными синусоидами

u(t) 2U sin( t ) ; i(t) 2I sin( t ) ,

При этом производится расчет активной и реактивной мощности цепи с несинусоидальными токами и напряжениями

Из условия неизменности активной мощности P UI cos можно найти угол сдвига фаз между эквивалентными сину-

соидами напряжения и тока: если Q 0 , то arccos UIP ;

если Q 0 , то arccos UIP .

Применение данного метода позволяет записывать уравнения в комплексной форме, а также строить векторные диаграммы, хотя комплексные сопротивления остаются зависящими от тока и, следовательно, алгебраические уравнения, записанные в комплексной форме, остаются нелинейными.

При расчете методом эквивалентных синусоид нелиней-

(I ) 90 30 I .

110