Связанные полосковые линии и устройства на их основе. Часть 1
.pdf2.1.1. Разностные и телеграфные уравнения. Соотношения амплитуд напряжений и токов в линиях
Эквивалентная схема двухпроводных связанных линий показана на рис. 2.2 [12, 13, 20 − 24]. Линии имеют погонные параметры: C11, C22 – собственные емкости; L11, L22 – собственные индуктивности; C12, L12 – взаимные емкость и индуктивность;
R11, R22 – сопротивления проводников; G11, G22, G12 – проводи-
мости. На рисунке выделен элементарный участок СЛ длиной dx , который имеет показанные на схеме рис.2.2 первичные параметры, вычисляемые как произведение коэффициентов матриц индуктивностей L , емкостей C , сопротивлений R и проводимостей G на dx : L11dx, L12dx, L22dx, …, G11dx, G22dx (см. п. 1.3).
Приведенная эквивалентная схема не является точным отражением физически строгой модели связанных линий, т.к. не учитывает всех возможных особенностей волновых процессов. В частности, схема по рис. 2.2 не позволяет детально исследовать СЛ при наличии частотной зависимости погонных параметров. Однако в практике сложилось так, что именно приведенная эквивалентная схема является базовой для расчета устройств на связанных линиях. Тонкости и особенности определения параметров каждой конструкции СЛ кроются в решении задачи вычисления матриц L , C , R , G . В том же случае, когда это вызывает затруднения, часто прибегаю к экспериментальным исследованиям и восстановлению первичных параметров по измеренным волновым параметрам (задача экстракции параметров) [25].
61
Рис. 2.2. Эквивалентная схема двухпроводных связанных линий
Обозначим напряжения и токи на входе и выходе элементарного отрезка СЛ длиной dx так, как это показано на рис.2.3. В соответствии с законами Кирхгофа запишем систему конечноразностных уравнений для эквивалентной схемы (рис. 2.3).
|
|
U1(x dx) U1(x) L11dx |
I1(x) |
L12dx |
I2 (x) |
R11dxI1, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
I2 (x) |
|
|
|
I1(x) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
U2 (x dx) U2 (x) L22dx |
L12dx |
R22dxI2 , |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
U1(x) |
|
|
|
|
U2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
I (x dx) I (x) C |
dx |
C |
dx |
G dxU |
G dxU |
|
, |
||||||||||||||
|
1 |
1 |
11 |
|
t |
12 |
|
|
|
t |
|
|
11 |
1 |
12 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
U2 (x) |
|
|
dx U1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
I |
|
(x dx) I (x) C |
|
|
dx |
C |
|
G |
dxU |
|
G |
dxU . |
|||||||||
|
2 |
1 |
|
22 |
|
t |
12 |
|
|
t |
|
|
22 |
|
2 |
12 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|
62
Рис.2.3
Так же, как в п.1.4, зависимость oт времени напряжений и токов примем в виде
|
|
U |
1,2 |
(x, t) U |
1,2 |
(x)e j t , I |
1,2 |
(x, t) I |
1,2 |
(x)e j t , |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
– круговая частота гармонического сигнала или рассматри- |
|||||||||||||||||||||
ваемая гармоническая составляющая периодического сигнала; |
j – |
|||||||||||||||||||||
комплексная единица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Система уравнений (2.1) при этом упростится и будет иметь |
||||||||||||||||||||
следующий вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
U1(x dx) U1(x) j L11dxI1 j L12dxI2 |
R11dxI1, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
U2 (x dx) U2 (x) j L22dxI2 |
j L12dxI1 R22dxI2 , |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
I |
(x dx) I (x) j C dxU |
|
j C |
dxU |
2 |
G dxU |
|
G |
dxU |
2 |
, |
|||||||||||
|
1 |
1 |
11 |
|
1 |
|
12 |
|
|
11 |
1 |
|
12 |
|
|
|||||||
I |
2 |
(x dx) I (x) j C |
22 |
dxU |
2 |
j C |
|
dxU |
G |
dxU |
2 |
G |
dxU . |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
12 |
|
1 |
|
22 |
|
12 |
1 |
(2.2)
Разделив левую и правую части каждого из уравнений системы на dx , мы получим телеграфные уравнения. Одновременно с этим упорядочим запись слагаемых в уравнениях так, чтобы она соответствовала дальнейшему переходу к матричной форме телеграфных уравнений:
63
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU1 |
j L |
|
|
R |
I |
|
j L I |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dU2 |
|
j L12I1 j L22 |
|
R22 I 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dI1 |
j C11 G11 U1 j C12 G12 U 2 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dI |
2 |
|
j C |
G |
|
|
|
U |
|
j C |
|
G |
|
|
|
U |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Продифференцируем уравнения системы (2.3) по x : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dI1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dI2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d U1 |
|
j L |
|
|
R |
|
|
j L |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dI1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dI2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d U 2 |
|
j L |
j L |
|
|
R |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
22 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d |
|
|
|
I1 |
|
|
j C |
G |
|
|
|
|
dU1 |
|
j C |
|
|
G |
|
|
dU2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
11 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d 2 I 2 |
j C |
G |
|
|
|
dU1 |
|
j C |
|
G |
|
dU2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставим в (2.4) первые производные из (2.3). В результате |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим систему уравнений второго порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
(U) (ZY)U; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
(I) (YZ)I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.6) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
В (2.5) и (2.6) матрицы Z, Y записываются следующим обра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j L11 R11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j L12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
j L |
|
|
|
|
|
j L |
|
|
|
R |
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j C |
|
|
|
G |
|
|
|
|
j C |
|
G |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
11 |
|
|
j C |
|
|
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j C |
|
G |
|
|
22 |
G |
22 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим сначала определение параметров без учета по-
64
терь, когда погонные сопротивления и проводимости пренебрежимо малы. Будем считать, что в СЛ существуют гармонические колебания с частотой .
Выпишем телеграфные уравнения для напряжений и токов в связанных линиях [1, 4, 12]:
|
d 2U1 |
|
aU |
|
bU |
2 |
, |
(2.7) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d 2U 2 |
dU |
|
cU |
2 |
, |
(2.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d 2 I1 |
|
aI |
|
dI |
2 |
, |
|
|
(2.9) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d 2 I 2 |
bI |
|
cI |
2 |
, |
|
|
(2.10) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где введены следующие обозначения
a 2 L11C11 L12C12 , b 2 L12C22 L11C12 , c 2 L22C22 L12C12 , d 2 L12C11 L22C12 .
Решение уравнений (2.7) – (2.10) ищется в виде [2]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
1 |
A e |
x , U |
2 |
A e x , |
|
|
|
(2.11) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
B e x |
, I |
2 |
B |
2 |
e x . |
|
|
|
|
|
(2.12) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Коэффициент распространения |
|
|
имеет четыре значения |
|||||||||||||||||||||||||||||
[12] (см. также раздел 1, подраздел 1.5, ф-лы (1.41 – 1.44)): |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
j |
|
|
|
L C |
L |
|
|
C |
|
2L |
|
|
C |
|
|
K 1 2 |
, |
|
|
(2.13) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
22 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
11 |
11 |
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
K |
L C |
22 |
L C |
|
2 |
4 L C |
|
|
L C |
L C |
L C |
22 |
. |
||||||||||||||||||||
|
22 |
|
|
|
11 |
11 |
|
|
|
|
|
|
22 |
12 |
|
|
12 |
11 |
11 |
12 |
12 |
|
|
||||||||||
|
Коэффициенты распространения, соответствующие минусу и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
плюсу перед K , |
обозначим соответственно через e |
и o . Волны, |
65
имеющие коэффициенты распространения e и o называются
"быстрой" и "медленной" [16]. Следует иметь в виду, что эти понятия условны, так как, например, в полосковых линиях с неоднородным диэлектриком "быстрая" волна по отношению к "медленной" может иметь не меньший, а наоборот – бóльший по абсолютной величине коэффициент распространения [17].
Подставляя (2.5) в уравнения (2.1) и (2.2), а также учитывая (2.7), устанавливаем связь между амплитудами напряжений "быстрой" и "медленной" волн во второй и первой линиях:
|
|
|
Ae,o k |
Ae,o , |
|
|
(2.8) |
|
|
|
2 |
e,o 1 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
ke,o |
|
L22C22 L11C11 |
K |
. |
(2.9) |
|
|
2(L12C22 L11C12 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|||
В |
том случае, |
когда связанные |
линии одинаковы, |
т.е. |
|||
C11 C22, |
L11 L22 , |
получаем |
известное соотношение |
[13]: |
A2e,o A1e,o .
Подстановка (2.6) в (2.3) и (2.4) позволяют найти связь между амплитудами токов в линиях:
|
|
|
|
|
|
|
|
I e,o m |
I e,o |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
e,o 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
me,o |
|
L22C22 L11C11 |
K |
|
. |
|
|
(2.11) |
||||||||||||
2 L12C11 |
L22C12 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из (2.9) и (2.11) заключаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
m |
e,o |
|
L12C22 |
L11C12 |
K |
k |
e,o |
. |
(2.12) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L12C11 L22C12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Переписав телеграфные уравнения в форме |
|
|||||||||||||||||||
|
dI1 |
|
j C U |
1 |
j C U |
2 |
, |
|
|
|
|
(2.13) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dI2 |
|
j C U |
j C |
|
U |
2 |
, |
|
|
(2.14) |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
12 |
|
1 |
22 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем зависимость меду амплитудами токов и напряжений быстрой и медленной волн:
66
Be,o j |
|
C |
k |
|
C |
Ae,o , |
||
|
|
|||||||
1 |
e,o |
|
11 |
|
|
e,o 12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
|
Be,o j |
|
k |
|
C |
|
|
C |
Ae,o . |
|
e,o |
22 |
||||||
2 |
e,o |
|
|
12 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу взаимных свойств рассматриваемых связанных линий [18] формулы (2.8) и (2.10), очевидно, будут справедливы и для прямой (падающей), и для обратной (отраженной) волн (это также следует из непосредственной подстановки значений , находимых
из (2.7), в уравнения (2.1) – (2.4).
2.1.2. Матрица нормированных амплитуд
Соотношения (2.8) и (2.15) позволяют записать в матричной форме общие решения для напряжений и токов в линиях, содер-
жащие только по две амплитуды (для прямой волны Ae,o ратной De,o ):
U1 |
|
|
Ae |
|
Ae |
|
|
|
|
De |
|
|
Do |
e ex |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ko Ao |
|
|
|
|
ke De |
|
ko Do |
|
o x |
|
|
||||||||||||
U 2 |
|
|
ke Ae |
|
|
|
|
|
e |
|
, |
||||||||||||||||||||
I1 |
Y |
Ae |
Y |
|
Ao |
|
Y |
De |
Y |
Do |
e ex |
|
|||||||||||||||||||
I |
|
|
|
1e |
Ae |
1o |
Ao |
|
|
|
1e |
De |
|
|
1o |
Do |
|
|
o x |
|
|
||||||||||
2 |
|
Y |
Y |
|
|
Y |
Y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2e |
|
|
|
2o |
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
|
2o |
|
e |
|
|
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
j |
|
|
|
C |
|
k |
C |
|
; Y |
j |
|
|
C |
|
k C |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1e |
|
|
|
11 |
|
|
e |
|
12 |
|
|
1o |
|
o |
11 |
|
o 12 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Y |
j |
|
k C |
|
C |
|
|
; |
Y |
j |
|
|
C |
|
k |
|
C |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2e |
|
|
|
e |
e 11 |
|
|
12 |
|
1o |
|
|
o |
11 |
|
o 12 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, для об-
(2.16)
Выделим квадратную матрицу, стоящую первым сомножителем в правой части (2.16), и перепишем ее в виде произведения новой квадратной матрицы на диагональную матрицу постоянных интегрирования, т.е. амплитуд распространяющихся волн:
67
|
Ae |
|
Ao |
|||
|
|
|
ko Ao |
|||
ke Ae |
||||||
Y |
Ae |
Y |
|
|
Ao |
|
|
1e |
Ae |
1o |
|
Ao |
|
Y |
Y |
|
|
|||
|
2e |
|
2o |
|
||
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ke |
ko |
|
|
|
ke |
|
|
|
Y1o |
|
Y1e |
||
Y1e |
|
|||||
Y2e |
Y2o |
Y2e |
D |
e |
D |
o |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
ke De |
ko D o |
|
|||||
|
|
||||||
Y |
|
De |
Y |
|
Do |
||
|
|
|
|||||
1e |
|
1o |
|
|
|
||
Y |
|
D e |
Y |
|
Do |
|
|
2e |
|
2o |
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
A |
|
0 |
0 |
||
ko |
|
|
0 |
Ao |
0 |
||
Y1o |
|
|
0 |
0 |
D |
e |
|
|
|
|
|||||
Y2o |
0 |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.17)
0
0 .
0 Do
Квадратная матрица в правой части (2.17), содержащая коэффициенты ke , ko и т.д., разбивается на блоки, каждый из кото-
рых зависит только от первичных параметров связанных линий. При этом, в силу проведенной нормировки амплитуд напряжений во второй линии относительно амплитуд напряжений в первой линии, первая строка квадратной матрицы состоит из единиц. Отсюда возник термин "матрица нормированных амплитуд" [1]. Обозначим эту матрицу через Am :
1
k
Am e
Y1eY2e
1 |
1 |
1 |
|
|
ko |
ke |
ko |
|
|
|
(2.18) |
|||
|
|
|
. |
|
Y1o |
Y1e |
|
|
|
Y1o |
|
|||
Y2o |
Y2e |
Y2o |
|
Амплитуды волн Ae,o , De,o , входящие в диагональную матрицу, зависят как от первичных параметров, так и от внешних ис-
точников возбуждения связанных линий. |
|
|
||||
Прибегая к формуле (2.10), получаем еще одну форму Am : |
||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
ke |
ko |
ke |
ko |
|
A |
|
. |
||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y1e |
Y1o |
Y1e |
Y1o |
|
|
|
|
||||
|
meY1e |
moY1o |
meY1e |
moY1o |
68
2.1.3. Матрица передачи a
Из граничных условий, накладываемых на (2.16) в сечении x 0 , где зададимся напряжениями U10,U20 и токами I10, I20 , находим амплитуды нормальных волн:
Ae |
|
|
|
|
|
U10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ao |
A |
1 |
U 20 |
. |
(2.19) |
||||
De |
|
|
m |
|
I10 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Do |
|
|
|
|
|
|
I 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, нахождение амплитуд напряжений и токов |
|||||||||
нормальных свелось к обращению матрицы |
Am с элементами, |
||||||||
определяемыми через погонные параметры связанных линий. |
|||||||||
Представим Am |
в блочной форме |
|
|||||||
A |
|
. |
|
(2.20) |
|||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле Фробениуса [19] обращение Am сводится к об- |
|||||||||
ращению матриц-клеток: |
|
|
|
|
|
|
|
||
Am 1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
. |
(2.21) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
ko w |
w |
|
yY20 |
yY10 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
ke w |
w |
yY2e |
yY1e . |
(2.22) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
m |
|
|
2 |
|
k |
|
w |
w |
|
yY |
|
yY |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
10 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ke w |
w |
yY2e |
yY1e |
|
||||||
где w k |
e |
k |
o |
1; |
|
y Y |
Y |
Y |
Y |
1 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1o |
2e |
|
1e |
2o |
|
|
|
|
Далее используем оставшиеся граничные условия и запишем напряжения и токи при x l (т.е. на конце отрезка связанных линий): U1l ,U2l , I1l , I2l . Подставим в (2.16) постоянные интегриро-
вания (амплитуды нормальных волн) из (2.19). Сформируем матрицу диагональной структуры из значений экспоненциальных функций e el , e ol , e el , e ol . В результате получим уравнения, связывающие напряжения и токи на выходе восьмиполюсника (это
69
U1l ,U2l , I1l , I2l )
(U10,U 20, I10, I 20 ):
U1l |
|
|
|
|
|
U 2l |
Am |
|
|
I1l |
|
|
|
|
I 2l |
|
снапряжениями
|
e |
el |
|
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
ol |
|
|
|
|
0 |
e |
0 |
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
0 |
e el |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
и |
токами |
на |
входе |
||
0 |
|
|
|
U10 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
A |
-1 |
U 20 |
. |
|
0 |
|
m |
|
I10 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
e ol |
|
|
I 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Во вновь полученной формуле распишем экспоненциальные множители в тригонометрической форме, имея ввиду, что коэффици-
енты распространения e,o |
по причине отсутствия потерь в свя- |
||||||||
занных линиях вычисляются по формуле (см. 2.13) |
|||||||||
|
|
j |
|
|
L C |
L C |
2L C |
K 1 2 . |
|
e,o |
|
|
|
||||||
2 |
11 11 |
22 22 |
12 12 |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
В результате этих действий получим уравнения, связывающие |
||
напряжения и токи на выходе |
U1l ,U2l , I1l , I2l |
и входе |
U10,U20, I10, I20 связанных линий: |
|
|
U1lU 2l
I1lI 2l
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||
|
||
|
|
|
|
||
|
||
|
||
|
||
|
cos( e ) |
||
|
0 |
|
Am |
||
0 |
||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
cos( o ) |
0 |
0 |
|
A |
1 |
|
|
|
|||||
0 |
cos( e ) |
0 |
|
m |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
cos( o ) |
|
|
|
|
|
sin( e ) |
0 |
0 |
|
|
j Am |
|
0 |
sin( o ) |
0 |
|
|
||||
|
0 |
0 |
sin( e ) |
||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
A |
|||
|
|||
0 |
|
m |
|
|
|
|
|
sin( o ) |
|
|
|
U10 |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
20 |
|
, |
|
|
|
|
I10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 20 |
|
|
||
|
|
|
(2.23)
где e Im( e ) l, o Im( o ) l – электрические длины отрезков
связанных линий для четного (синфазного) и нечетного (противофазного возбуждения).
Поменяем направление координаты x на противоположное. В этом случае изменится знак при коэффициентах распространенияe,o и формула (2.23) перепишется следующим образом:
70