Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Связанные полосковые линии и устройства на их основе. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

2.1.1. Разностные и телеграфные уравнения. Соотношения амплитуд напряжений и токов в линиях

Эквивалентная схема двухпроводных связанных линий показана на рис. 2.2 [12, 13, 20 − 24]. Линии имеют погонные параметры: C11, C22 – собственные емкости; L11, L22 – собственные индуктивности; C12, L12 – взаимные емкость и индуктивность;

R11, R22 – сопротивления проводников; G11, G22, G12 – проводи-

мости. На рисунке выделен элементарный участок СЛ длиной dx , который имеет показанные на схеме рис.2.2 первичные параметры, вычисляемые как произведение коэффициентов матриц индуктивностей L , емкостей C , сопротивлений R и проводимостей G на dx : L11dx, L12dx, L22dx, …, G11dx, G22dx (см. п. 1.3).

Приведенная эквивалентная схема не является точным отражением физически строгой модели связанных линий, т.к. не учитывает всех возможных особенностей волновых процессов. В частности, схема по рис. 2.2 не позволяет детально исследовать СЛ при наличии частотной зависимости погонных параметров. Однако в практике сложилось так, что именно приведенная эквивалентная схема является базовой для расчета устройств на связанных линиях. Тонкости и особенности определения параметров каждой конструкции СЛ кроются в решении задачи вычисления матриц L , C , R , G . В том же случае, когда это вызывает затруднения, часто прибегаю к экспериментальным исследованиям и восстановлению первичных параметров по измеренным волновым параметрам (задача экстракции параметров) [25].

Рис. 2.2. Эквивалентная схема двухпроводных связанных линий

Обозначим напряжения и токи на входе и выходе элементарного отрезка СЛ длиной dx так, как это показано на рис.2.3. В соответствии с законами Кирхгофа запишем систему конечноразностных уравнений для эквивалентной схемы (рис. 2.3).

U1(x dx) U1(x) L11dx

I1(x)

L12dx

I2 (x)

R11dxI1,

I2 (x)

I1(x)

U2 (x dx) U2 (x) L22dx

L12dx

R22dxI2 ,

U1(x)

U2 (x)

I (x dx) I (x) C

G dxU

U2 (x)

dx U1(x)

(x dx) I (x) C

dxU

dxU .

(2.1)

Рис.2.3

Так же, как в п.1.4, зависимость oт времени напряжений и токов примем в виде

		U	1,2	(x, t) U	1,2		(x)e j t , I			1,2		(x, t) I			1,2	(x)e j t ,

где		– круговая частота гармонического сигнала или рассматри-
ваемая гармоническая составляющая периодического сигнала;																					j –
комплексная единица.
		Система уравнений (2.1) при этом упростится и будет иметь
следующий вид
		U1(x dx) U1(x) j L11dxI1 j L12dxI2														R11dxI1,
		U2 (x dx) U2 (x) j L22dxI2									j L12dxI1 R22dxI2 ,

I		(x dx) I (x) j C dxU							j C		dxU		2	G dxU				G		dxU	2	,
	1	1		11			1			12					11	1			12
I	2	(x dx) I (x) j C			22	dxU		2	j C			dxU		G		dxU	2		G	dxU .
		1								12			1		22				12		1

(2.2)

Разделив левую и правую части каждого из уравнений системы на dx , мы получим телеграфные уравнения. Одновременно с этим упорядочим запись слагаемых в уравнениях так, чтобы она соответствовала дальнейшему переходу к матричной форме телеграфных уравнений:

dU1

j L

j L I

dU2

j L12I1 j L22

R22 I 2 ,

(2.3)

dI1

j C11 G11 U1 j C12 G12 U 2 ,

j C

Продифференцируем уравнения системы (2.3) по x :

dI1

dI2

d U1

j L

dx2

dI1

dI2

d U 2

j L

dx2

(2.4)

j C

dU1

j C

dU2

d 2 I 2

j C

dU1

j C

dU2

Подставим в (2.4) первые производные из (2.3). В результате

получим систему уравнений второго порядка:

d 2

(U) (ZY)U;

(2.5)

dx2

d 2

(I) (YZ)I.

(2.6)

dx2

В (2.5) и (2.6) матрицы Z, Y записываются следующим обра-

зом:

j L11 R11

j L12

j L

j C

Рассмотрим сначала определение параметров без учета по-

терь, когда погонные сопротивления и проводимости пренебрежимо малы. Будем считать, что в СЛ существуют гармонические колебания с частотой .

Выпишем телеграфные уравнения для напряжений и токов в связанных линиях [1, 4, 12]:

	d 2U1			aU			bU			2	,	(2.7)
				aU			bU				,	(2.7)
	dx2				1
	dx2
d 2U 2				dU			cU			2	,	(2.8)
				dU			cU				,	(2.8)
	dx2				1
	dx2
	d 2 I1	aI				dI		2	,			(2.9)
		aI				dI			,			(2.9)
	dx2		1
	dx2
	d 2 I 2	bI				cI		2	,			(2.10)
		bI				cI			,			(2.10)
	dx2		1
	dx2

где введены следующие обозначения

a 2 L11C11 L12C12 , b 2 L12C22 L11C12 , c 2 L22C22 L12C12 , d 2 L12C11 L22C12 .

Решение уравнений (2.7) – (2.10) ищется в виде [2]

								U		1		A e			x , U			2	A e x ,									(2.11)
										1				1				2				2
							I	1	B e x						, I	2	B			2	e x .							(2.12)
								1					1			2				2
	Коэффициент распространения																						имеет четыре значения
[12] (см. также раздел 1, подраздел 1.5, ф-лы (1.41 – 1.44)):
j				L C			L						C		2L				C			K 1 2			,			(2.13)
j				L C			L				22		C	22	2L				C			K 1 2			,			(2.13)
		2			11	11					22			22		12			12
		2
где

K	L C		22		L C				2			4 L C							L C					L C			L C	22	.
	22		22			11	11								22	12					12		11		11	12	12	22
	Коэффициенты распространения, соответствующие минусу и
плюсу перед K ,						обозначим соответственно через e																					и o . Волны,

имеющие коэффициенты распространения e и o называются

"быстрой" и "медленной" [16]. Следует иметь в виду, что эти понятия условны, так как, например, в полосковых линиях с неоднородным диэлектриком "быстрая" волна по отношению к "медленной" может иметь не меньший, а наоборот – бóльший по абсолютной величине коэффициент распространения [17].

Подставляя (2.5) в уравнения (2.1) и (2.2), а также учитывая (2.7), устанавливаем связь между амплитудами напряжений "быстрой" и "медленной" волн во второй и первой линиях:

			Ae,o k	Ae,o ,			(2.8)
			2	e,o 1
где
	ke,o		L22C22 L11C11		K	.	(2.9)
	ke,o		2(L12C22 L11C12 )			.	(2.9)
			2(L12C22 L11C12 )
В	том случае,	когда связанные			линии одинаковы,		т.е.
C11 C22,	L11 L22 ,	получаем		известное соотношение			[13]:

A2e,o A1e,o .

Подстановка (2.6) в (2.3) и (2.4) позволяют найти связь между амплитудами токов в линиях:

I e,o m

I e,o

(2.10)

e,o 1

где

me,o

L22C22 L11C11

(2.11)

2 L12C11

L22C12

Из (2.9) и (2.11) заключаем, что

e,o

L12C22

L11C12

e,o

(2.12)

L12C11 L22C12

Переписав телеграфные уравнения в форме

dI1

j C U

(2.13)

dI2

j C U

j C

(2.14)

получаем зависимость меду амплитудами токов и напряжений быстрой и медленной волн:

Be,o j		C		k			C	Ae,o ,
Be,o j		C		k			C	Ae,o ,
1	e,o		11			e,o 12		1
	e,o							(2.15)
Be,o j		k		C			C	Ae,o .
Be,o j		k	e,o	C	22		C	Ae,o .
2	e,o		e,o		22		12	1
	e,o

В силу взаимных свойств рассматриваемых связанных линий [18] формулы (2.8) и (2.10), очевидно, будут справедливы и для прямой (падающей), и для обратной (отраженной) волн (это также следует из непосредственной подстановки значений , находимых

из (2.7), в уравнения (2.1) – (2.4).

2.1.2. Матрица нормированных амплитуд

Соотношения (2.8) и (2.15) позволяют записать в матричной форме общие решения для напряжений и токов в линиях, содер-

жащие только по две амплитуды (для прямой волны Ae,o ратной De,o ):

e ex

ko Ao

ke De

ko Do

o x

U 2

ke Ae

e ex

o x

где

; Y

k C

;

o 12

k C

;

e 11

o 12

, для об-

(2.16)

Выделим квадратную матрицу, стоящую первым сомножителем в правой части (2.16), и перепишем ее в виде произведения новой квадратной матрицы на диагональную матрицу постоянных интегрирования, т.е. амплитуд распространяющихся волн:

	Ae			Ao
			ko Ao
ke Ae			ko Ao
Y		Ae	Y			Ao
	1e	Ae	1o			Ao
Y		Ae	Y			Ao
	2e		2o
	1	1				1

ke		ko				ke
		Y1o			Y1e
Y1e		Y1o			Y1e
Y2e		Y2o		Y2e

D	e		D	o

ke De			ko D o

Y		De	Y		Do

1e			1o
Y		D e	Y		Do
2e			2o

1			e
	A			0	0
ko		0		Ao	0
Y1o		0		0	D	e
Y1o		0		0	D
Y2o	0			0	0

(2.17)

0 .

0 Do

Квадратная матрица в правой части (2.17), содержащая коэффициенты ke , ko и т.д., разбивается на блоки, каждый из кото-

рых зависит только от первичных параметров связанных линий. При этом, в силу проведенной нормировки амплитуд напряжений во второй линии относительно амплитуд напряжений в первой линии, первая строка квадратной матрицы состоит из единиц. Отсюда возник термин "матрица нормированных амплитуд" [1]. Обозначим эту матрицу через Am :

Am e

Y1eY2e

1	1	1
ko	ke	ko
ko	ke	ko		(2.18)
			.	(2.18)
Y1o	Y1e
Y1o	Y1e	Y1o
Y2o	Y2e	Y2o

Амплитуды волн Ae,o , De,o , входящие в диагональную матрицу, зависят как от первичных параметров, так и от внешних ис-

точников возбуждения связанных линий.
Прибегая к формуле (2.10), получаем еще одну форму Am :
		1	1	1	1
		ke	ko	ke	ko
A						.
m
		Y1e	Y1o	Y1e	Y1o

	meY1e		moY1o	meY1e	moY1o

2.1.3. Матрица передачи a

Из граничных условий, накладываемых на (2.16) в сечении x 0 , где зададимся напряжениями U10,U20 и токами I10, I20 , находим амплитуды нормальных волн:

Ae					U10

Ao	A			1	U 20		.	(2.19)
De			m			I10
De						I10

Do						I 20

Таким образом, нахождение амплитуд напряжений и токов
нормальных свелось к обращению матрицы								Am с элементами,
определяемыми через погонные параметры связанных линий.
Представим Am		в блочной форме
A					.			(2.20)
	m


По формуле Фробениуса [19] обращение Am сводится к об-
ращению матриц-клеток:
Am 1			1	1		1
							.	(2.21)
							.	(2.21)
			2	1		1

В результате имеем

ko w

yY20

yY10

ke w

yY2e

yY1e .

(2.22)

ke w

yY2e

yY1e

где w k

y Y

1 .

Далее используем оставшиеся граничные условия и запишем напряжения и токи при x l (т.е. на конце отрезка связанных линий): U1l ,U2l , I1l , I2l . Подставим в (2.16) постоянные интегриро-

вания (амплитуды нормальных волн) из (2.19). Сформируем матрицу диагональной структуры из значений экспоненциальных функций e el , e ol , e el , e ol . В результате получим уравнения, связывающие напряжения и токи на выходе восьмиполюсника (это

U1l ,U2l , I1l , I2l )

(U10,U 20, I10, I 20 ):

U1l

U 2l		Am
	I1l

I 2l

снапряжениями

e	el		0	0
e			0	0
			ol
	0	e	ol	0
	0	e		0
	0		0	e el

	0		0	0

и	токами			на	входе
0				U10

0	A		-1	U 20	.
0		m		I10
0				I10

e ol				I 20

Во вновь полученной формуле распишем экспоненциальные множители в тригонометрической форме, имея ввиду, что коэффици-

енты распространения e,o					по причине отсутствия потерь в свя-
занных линиях вычисляются по формуле (см. 2.13)
		j		L C	L C	2L C	K 1 2 .
	e,o
		2	11 11		22 22	12 12

В результате этих действий получим уравнения, связывающие
напряжения и токи на выходе	U1l ,U2l , I1l , I2l	и входе
U10,U20, I10, I20 связанных линий:

U1lU 2l

I1lI 2l

	cos( e )
		0
	Am	0
	Am	0

		0
		0

0	0	0
cos( o )	0	0	A	1
cos( o )	0	0	A	1
0	cos( e )	0	m
0	cos( e )	0

0	0	cos( o )

	sin( e )		0	0
j Am		0	sin( o )	0

		0	0	sin( e )
		0	0	0

0
0
0	A
	A
0		m

sin( o )

	U10
	U
1	U
1		20	,
		I10

	I 20
	I 20

(2.23)

где e Im( e ) l, o Im( o ) l – электрические длины отрезков

связанных линий для четного (синфазного) и нечетного (противофазного возбуждения).

Поменяем направление координаты x на противоположное. В этом случае изменится знак при коэффициентах распространенияe,o и формула (2.23) перепишется следующим образом:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023337.4 Кб9Свойства и параметры фотопроводимости полупроводниковых фоторезисторов..pdf
#
05.02.2023460.34 Кб9Свойства и параметры фотопроводимости полупроводниковых фоторезисторов.-1.pdf
#
05.02.2023422.85 Кб9Свойства и параметры фотопроводимости полупроводниковых фоторезисторов..pdf
#
05.02.20231.44 Mб60СВЧ делители мощности..pdf
#
05.02.2023662.38 Кб9Связанные контуры..pdf
#
05.02.20233.07 Mб68Связанные полосковые линии и устройства на их основе. Часть 1.pdf
#
05.02.20235.68 Mб24Связанные полосковые линии и устройства на их основе. Часть 2.pdf
#
05.02.20231.04 Mб11Связи с общественностью в органах власти..pdf
#
05.02.20231 Mб3Связи с общественностью в органах государственной власти..pdf
#
05.02.2023120.94 Кб1Связи с общественностью в организации работы с молодежью..pdf
#
05.02.2023294.58 Кб0Связи с общественностью в организации работы с молодежью..pdf