Основы теории систем и системного анализа

можно пояснить на следующем примере. При декомпозиции системы «автомобиль» мы выделяем его составные части — кузов, двигатель, колеса и т. д. Декомпозируя же понятие «автомобиль» мы можем выделить более конкретные понятия — «легковой автомобиль», «грузовик». Каждое из этих понятий может быть разделено на еще более узкие классы.

Еще один распространенный вид иерархических структур — деревья целей, построенные на основе отношений «цель-средство». Элементами структуры в данном случае являются цели (задачи, проблемы). Любая цель может иметь несколько подчиненных подцелей, которые могут рассматриваться, как средства достижения вышестоящей цели. Например, обобщенная цель «повысить эффективность» может быть декомпозирована на две подцели, уточняющие способы ее достижения — «снизить расходы» и «увеличить доходы».

В свою очередь, для достижения этих подцелей могут быть выдвинуты еще более конкретные подцели. Так, цель «снизить расходы» конкретизируется через подцели «повысить производительность», «снизить энергоемкость», а цель «увеличить доходы» — через подцели «увеличить объем реализации продукции», «увеличить отпускную цену» и т. д.

Иерархическую структуру имеют, как правило, и организационные системы управления. Их элементы — лица, принимающие решения, — связаны отношениями власти/подчиненности. Элементы принимают решения для достижения своих целей, однако их свобода выбора ограничена вышестоящими элементами, которые координируют, согласовывают решения подчиненных элементов. Это позволяет находить компромисс между локальными целями отдельных элементов многоцелевой системы принятия решений и общей глобальной целью всей системы. Впрочем, организационные структуры могут иметь не только вид строгой иерархии. Существуют и так называемые многолинейные структуры, в частности матричные.

Более подробно некоторые из упомянутых многоуровневых иерархических структур, в частности структуры на основе отношений «целое-часть», «цель-средство» и власти/подчиненности, называемые соответственно «страты», «слои» и «эшелоны», будут рассмотрены в подразд. 2.5.

69

Матричные схемы (рис. 2.6, б) чаще всего используются для отражения структуры систем, элементы которых связаны двумя типами связей. Связи одного типа представляются в виде вертикальных линий, связи другого типа — в виде горизонтальных линий. Например, в матричных оргструктурах используются два канала управления: как правило, один канал соответствует функциональному признаку структуризации, второй — проектному, т. е. помимо функциональных подразделений создаются временные команды для выполнения сложной многофункциональной задачи (проекта). В виде матриц могут быть представлены связи между данными в реляционных базах данных. Причем могут использоваться и многомерные матрицы. Так, в технологии организации баз данных OLAP используются так называемые OLAP-кубы, отражающие многомерное представление данных. Аналогичные представления используются в различных многомерных классификациях.

Сетевые структуры чаще всего используются для моделирования процессов. Так, графы, отображающие в виде ребер отдельные работы (действия, операции) процесса, а в виде вершин — события (результаты работ), представляются в виде направленной сети с одним истоком (начальное состояние) и одним стоком (конечное состояние) (рис. 2.6, в). Подобные сетевые графики используются при календарном планировании.

Распространены и сетевые структуры, отображающие в виде вершин работы, а в виде ребер — потоки (материальные, энергетические, информационные) между работами либо логические взаимовлияния, отражающие технологическую последовательность работ4. Соответствующие сетевые графы могут иметь самую разнообразную топологию.

В виде сетей различной конфигурации представляют структуры коммуникаций. Некоторые из таких сетей получили собственное название. Для примера на рис. 2.7 приведены типовые внутригрупповые коммуникационные сети. Аналогичные типовые структуры используют при построении вычислительных сетей.

4 Подобные представления используются в CASE-методологиях моде-

лирования бизнеса, таких как Work Flow Diagrams, Data Flow Diagrams и др.

70

Измерение предполагает наличие объекта измерения. Измеряются не объекты сами по себе, а их свойства. Например, если объект измерения суть люди, то их свойства — возраст, стаж работы, образование и др.; если коллектив, то свойства — сплоченность, информированность, численность и др. Другим элементом в определении измерения являются отношения между объектами измерения относительно изучаемого свойства. Например, людей можно сравнивать по возрасту в соответствии с отношением «старше», коллективы — по информированности согласно отношению «больше информирован, чем…».

При измерении исследуемым свойствам сопоставляются определенные значения на выбранной шкале. Например, при измерении возраста измеряемым объектам (людям) могут присваиваться числовые значения, соответствующие количеству прожитых лет. Для измерения информированности коллективов могут быть использованы числовые оценки в баллах от 1 до 5 или лингвистические значения: «плохо», «средне», «хорошо». Важно, чтобы на множестве шкальных значений можно было установить отношение, соответствующее измеряемому отношению между реальными объектами. Так, измерив возраст людей с помощью числовой шкалы, можно установить, кто из них старше и на сколько. Измерение коллективов по информированности на основе балльных оценок позволяет расположить их в порядке возрастания информированности.

Формально шкалу можно задать в виде [37]

< X, φ, Y >,

где X {x1, , xn , Rx} — реальная эмпирическая система, включающая множество свойств xi , на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение Rx ;

Y { (x1), , (xn ), Ry}— знаковая система, включаю-

щая значения измеряемых свойств φ(xi) с соответствующим отношением Ry ;

— гомоморфное отображение X на Y, устанавливающее соответствие между X и Y так, что { (x1), , (xn )} R y только тогда, когда {x1, , xn} Rx .

72

Имеется несколько основных типов шкал: наименований (номинальные), порядка, интервальные, отношений, абсолютные. Тип шкалы определяется по множеству допустимых преобразований со шкальными значениями, исходя из целей измерения. Если требуется просто классифицировать людей по возрасту («молодой», «среднего возраста», «пожилой»), то используется шкала наименований, если необходимо расположить людей в порядке возрастания возраста, можно использовать шкалу порядка (каждому присваивается место), если же нужно установить, насколько и во сколько раз один человек старше другого, можно воспользоваться шкалой отношений.

Шкала наименований (номинальная). Это наиболее сла-

бая, качественная шкала, соответствующая простейшему виду измерений, при котором каждому объекту сопоставляется наименование. Это необязательно уникальное имя конкретного объекта, оно может являться именем целого класса объектов.

Примерами измерений по номинальной шкале являются названия городов, имена людей, автомобильные номера, номера официальных документов, телефонные коды городов, номера авиарейсов, названия болезней и т. п. Эти измерения позволяют выявить сходства и различия между объектами. Таким образом, основным свойством номинальных шкал является сохранение неизменным отношений эквивалентности (по измеряемому признаку) элементов эмпирической системы.

Шкальными значениями служат наименования классов эквивалентности. В качестве наименований используются слова естественного языка, числа, произвольные символы. Измерение в номинальной шкале состоит в определении принадлежности объекта тому или иному классу эквивалентности.

На рис. 2.8 приведено измерение возраста людей, обозначенных через хi, в номинальной шкале, включающей наименования «молодой», «среднего возраста», «пожилой».

Рис. 2.8. Измерение объектов в номинальной шкале

73

Каждому элементу эмпирической системы (объекту хi) ставится в соответствие определенный элемент знаковой системы (xi ) .

Если в качестве шкальных значений используются символы 1, 2, 3, … n, их все равно следует воспринимать не как числа, а как наименования. Над ними нельзя выполнять ка- кие-либо математические операции. Например, если одному спортсмену присвоен номер 2, а другому — 4 (соответствующие номера указаны на их майках), то это не значит, что один из них лучше другого в два раза.

При обработке данных, зафиксированных по шкале наименований, можно выполнять только операцию проверки их совпадения или несовпадения. Для этого используется сим-

вол Кронекера: ij {1: (xi ) (x j ); 0 : (xi ) (x j )} .

С результатами этой операции можно выполнять более сложные преобразования: считать количество совпадений, вычислять относительные частоты классов, сравнивать эти частоты между собой (находя, например, моду — номер наиболее часто встречающегося класса), выполнять различные статистические процедуры и т. д. [2]. Например, для системы, приведенной на рис. 2.8, можно вычислить частоты классов

n

по формуле: pk ( kj ) / n (n — общее число наблюде-

j 1

ний). Для классов «молодой» и «пожилой» частота будет составлять 2/8, для класса «среднего возраста» — 4/8.

Шкала порядка (ранговая). Эта шкала, следующая по силе за номинальной, используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам. Она позволяет расположить объекты в определенной последовательности, например, в соответствии с возрастанием или убыванием какого-либо качества.

Примерами применения ранговой шкалы являются призовые места в конкурсах или соревнованиях, нумерация очередности, номера классов средней школы или курсов высших учебных заведений (1-й, 2-й и т. д.), сила землетрясения по шкале Рихтера, сортность товаров и т. п.

Шкалы порядка кроме отношений эквивалентности сохраняют отношения предпочтения (обозначаемые через )

74

на множестве элементов эмпирической системы, удовлетворяющие аксиомам упорядоченности:

если x1 x2 , то либо x1 x2 , либо x2 x1 ; если x1 x2 и x2 x3 , то x1 x3 .

Между шкальными значениями, сопоставленными элементам эмпирической системы, должны выполняться те же отношения порядка, т. е. если x1 x2 , то (x1) (x2 ) . Ча-

ще всего в качестве шкальных значений используются числа натурального ряда, означающие номер объекта в упорядоченном ряду. Этот номер называется рангом.

На рис. 2.9 изображено измерение в ранговой шкале элементов xi (i 1,8) эмпирической системы, упорядочение которых имеет следующий вид:

x3 x5 x6 x1 x2 x8 x4 x7 .

Рис. 2.9. Измерение объектов в ранговой шкале

Иногда оказывается, что не каждую пару объектов можно упорядочить по предпочтению: некоторые объекты считаются равными. В таком случае используют шкалу квазипорядка. При этом равные объекты могут иметь одинаковый ранг или им присваиваются ранги от младшего до старшего случайным образом.

Важно отметить, что ранги нельзя рассматривать как числа. Нельзя утверждать, что спортсмен, занявший в соревнованиях по бегу четвертое место, пробежал дистанцию в четыре раза быстрее, чем спортсмен, занявший первое место. Судя по рангам, ничего нельзя сказать о расстояниях между сравниваемыми объектами. Поэтому над шкальными значениями в ранговой шкале нельзя производить арифметические операции

75

и вообще любые действия, результат которых изменится при преобразованиях шкалы, не нарушающих порядка.

К допустимым операциям, кроме нахождения частот и мод (как и для номинальной шкалы), относятся: определение медианы (объекта с рангом, ближайшим к числу n/2); разбиение всей выборки на части в любой пропорции; нахождение коэффициентов ранговой корреляции между двумя сериями порядковых наблюдений и некоторые другие [2].

Шкала интервалов. Данный вид шкал используется в случаях, когда упорядочение объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них. Все расстояния выражаются в некоторых единицах, одинаковых по всей длине шкалы. Объективно равные интервалы измеряются одинаковыми по длине отрезками шкалы. Таким образом, в шкале интервалов можно ввести систему координат: одна из точек играет роль начала координат, а расстояние между ней и некоторой другой точкой — роль единичного интервала. В шкале интервалов измеряются величины, которые по физической природе не имеют абсолютного нуля либо допускают свободу выбора в установлении начала отсчета. Примерами таких величин являются температура, время, высота местности.

Можно ввести несколько интервальных шкал для измерения одного и того же свойства элементов эмпирической системы. Например, для измерения температуры используются разные шкалы (шкала Цельсия, шкала Фаренгейта), системы летоисчисления также могут отличаться (у христиан оно ведется от рождества Христова, у мусульман — от переезда Мухаммеда в Медину). Но независимо от того, какое значение принято за начало отсчета и какова единица длины в каждой из шкал, отношения двух интервалов должны быть одинаковыми для всех шкал, т. е.

Это значит, что если расстояние между x1 и x2 (ρ(x1, x2)) в К раз больше расстояния между x3 и x4, (ρ(x3, x4)), то в любой эквивалентной шкале это соотношение сохранится. При-

76

мер измерений на двух эквивалентных интервальных шкалах приведен на рис. 2.10.

Например, для перехода от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта используется преобразование: t F 1,8 t C 32 .

В шкале интервалов только интервалы имеют смысл настоящих чисел, и только над интервалами следует выполнять арифметические операции. Например, нельзя сказать, что тем-

пература воды увеличилась в два раза при ее нагреве от 9 C

до 18 C , так как по шкале Фаренгейта температура изменится от 48,2 до 64,4 [2]. Над интервалами же можно выполнять любые арифметические операции.

Шкала отношений. Это еще более сильная шкала. Она позволяет оценить, во сколько раз свойство одного объекта превосходит то же свойство другого объекта. Величины, измеряемые в шкале отношений, имеют естественный абсолютный нуль, хотя остается свобода в выборе единиц.

Примерами таких величин являются вес и длина объектов. Вес можно измерять в килограммах, в фунтах, в пудах. Длину можно измерять в метрах, в аршинах, в ярдах. Но при этом если в одной системе единиц вес (или длина) объекта x1 в К раз больше, чем вес (длина) объекта x2, то и в другой эквивалентной системе измерений то же отношение весов (длин) сохраняется.

77

Таким образом, основным свойством шкал отношений является сохранение отношения двух шкальных значений

при переходе от одной шкалы к другой:

(x1) ' (x1) . (x2 ) ' (x2 )

Отсюда следует, что шкала отношений единственна с

точностью до линейных преобразований вида

(x) a (x) .

Эта формула выводится из формулы связи между разными системами координат, введенной для интервальных шкал, при условии, что точка отсчета фиксирована и сдвиг равен нулю (b = 0). Нефиксированным остается масштаб измерений (а ≠ 0), т. е. переход от одной шкалы к другой осуществляется с помощью преобразований подобия (растяжения). На рис. 2.11 приведен пример измерений на двух эквивалентных шкалах отношений.

Рис. 2.11. Измерение объектов в шкалах отношений

Значения, измеренные в шкале отношений, являются «полноправными» числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия.

Абсолютная шкала. Эта шкала имеет не только абсолютный нуль, как шкала отношений, но и абсолютную единицу. Это уникальная шкала, т. е. других, эквивалентных ей шкал не существует (существует только одно отображение эмпирических объектов в знаковую систему). Примером абсолютной шкалы является числовая ось. Важной особенностью такой шкалы является отвлеченность (безразмерность)

78