Основы теории систем и системного анализа

и абсолютность ее единицы. Над показаниями абсолютной шкалы можно не только производить все арифметические операции, но и использовать эти показания в качестве показателей степени и аргумента логарифма.

Выбор типа шкалы, используемой для измерения объектов, в первую очередь зависит от определяющего отношения. Так, шкала наименований используется в случае, если определяющим является отношение эквивалентности, удовлетво-

ряющее аксиомам тождества:

1)А = А (рефлексивность);

2)если А= В, то В = А (симметричность);

3)если А= В и В = С, то А = С (транзитивность). Ранговая шкала используется, если определяющее отно-

шение удовлетворяет аксиомам упорядоченности:

1) если А ≠ В, то либо А > В, либо В > А (антисимметричность);

2) если А >В и В > С, то А > С (транзитивность).

Шкала интервалов применяется не только при выполнении аксиом упорядоченности, но и в случае, если известны расстояния между объектами, причем расстояния измеряются

вединицах, одинаковых по всей длине шкалы. Использование шкалы отношений допустимо, только если

вдополнение к аксиомам упорядоченности выполняются и

аксиомы аддитивности:

1) если А = Р и В > 0, то А + В > Р; 2) А + В = В + А;

3) если А = Р и В = Q, то А + В = Р + Q; 4) (А + В)+ С= А + (В + С).

Для того чтобы можно было использовать абсолютную шкалу, помимо выполнения аксиом для всех предыдущих шкал необходимо наличие абсолютного нуля и абсолютной единицы.

Основные сведения обо всех рассмотренных шкалах приведены в табл. 2.3 [2].

Кроме приведенных в таблице основных типов шкал существуют и другие, такие, например, как шкала разностей (циклическая), степенная, логарифмическая и др.

79

2.3.2.Методы измерений/оценки

вусловиях определенности

Виды измерений. Измерения необходимы при решении задач оценивания и выбора, таких как определение уровня развития системы по сравнению с аналогами, анализ динамики изменения состояний системы, выбор оптимального варианта реализации проектируемой системы, выбор оптимальной стратегии развития и т. д.

В данном разделе будут рассмотрены методы измерения свойств системы и их использования для оценивания систем и принятия решений в условиях отсутствия статистической неопределенности (система не подвержена воздействию случайных событий) и отсутствия нечеткости, расплывчатости (мнения экспертов о свойствах системы считаются четкими и достоверными). Измерения могут быть объективными или

субъективными.

Объективные измерения производятся измерительными приборами5: измерение времени с помощью часов, массы с помощью весов, температуры с помощью термометра.

Субъективные измерения — это результат мыслительной деятельности человека, играющего в данном случае роль измерительного прибора. Субъективное измерение обычно производится экспертом (группой экспертов) или лицом, принимающим решения (ЛПР). Сравнивая объекты измерения между собой или с эталоном, эксперт выносит суждения, например, об их предпочтительности, степени соответствия требованиям, уровне их эффективности и т. д.

Чаще всего целью субъективных измерений является оценивание системы по тому или иному качественному признаку. Например, предприятие может оцениваться по качеству продукции, комфортности условий труда, уровню централизации управления и др. Результатом оценивания является оценка — число, отражающее меру (интенсивность) выраженности ка-

5 Объективные измерения иногда могут выполняться человеком без применения приборов (например, подсчет количества чего-либо), но поскольку их результат не связан с субъективным мнением человека, то они считаются объективными.

81

чественного свойства или приоритет объекта среди множества других по данному свойству.

Поскольку объекты могут быть измерены с помощью субъективных и объективных измерений по множеству различных признаков, как качественных, так и количественных, для удобства сравнения объектов друг с другом необходима обобщенная или интегральная оценка. В самом деле, зачастую по одному признаку наилучшим является один объект, по другому — другой. Например, один вариант реализации бизнес-процесса может быть лучше другого по критерию стоимости, но хуже по средней продолжительности или по качеству. Таким образом, возникает проблема сведения значений частных критериев оценивания, измеряемых в различных шкалах, к значению интегрального критерия. В случае если удается нормализовать значения частных критериев, т. е. привести их к значениям, измеряемым в одной шкале,

используются методы интеграции (свертки).

Оценивание играет важную роль при решении задач выбора, так как позволяет выявить предпочтения на множестве альтернативных вариантов (например: вариантов реализации системы, вариантов развития системы, вариантов управления). Варианты оцениваются по одному или множеству признаков, выступающих в роли критериев выбора, и осуществляется выбор наиболее предпочтительных.

В рамках теории принятия решений разработано множество методов количественного и качественного оценивания и выбора, основанных на объективном и субъективном измерениях: методы теории полезности, методы векторной оптимизации, методы экспертных оценок, эвристические процедуры принятия решений и др. Рассмотрим две группы методов экспертных оценок — методы выявления предпочтений экспертов и методы интеграции измерений.

Методы выявления предпочтений экспертов. По сути,

это методы субъективного измерения (оценивания) по одному признаку. Имеется конечное число объектов X {x1, xn} , оцениваемых экспертами по некоторому признаку q. Необходимо получить экспертные оценки q(x1), q(xn ) объектов,

82

представляющие собой в зависимости от используемого вида шкалы либо ранги ri , i 1, n , либо числовые значения (бал-

лы, действительные числа) ai , i 1, n .

Ранжирование. Представляет собой процедуру упорядочения объектов, выполняемую экспертом. На основе знаний и опыта эксперт располагает объекты в порядке предпочтения. Ранги присваиваются в порядке увеличения или убывания предпочтения. Если упорядочение образует нестрогий линейный порядок, то для эквивалентных объектов удобно с точки зрения технологии последующей обработки экспертных оценок назначать одинаковые ранги, равные среднеарифметическому значению присваиваемых им рангов. Такие ранги называют связанными [37, 38]. Например, пусть упорядочение объектов имеет следующий вид: x1 x2 x3 x4 x5 x6 .

Тогда для объектов x3, x4, x5 связанные ранги r3 = r4 = r5 =(3 + 4 + 5) / 3 = 4.

При групповом ранжировании каждый j-й эксперт присваивает каждому i-му объекту ранг rij. В результате прове-

дения экспертизы получается матрица рангов rij .

Для агрегирования мнений нескольких экспертов чаще всего используется метод суммы мест. Для каждого объекта ранги, присвоенные экспертами, суммируются. Обобщенные ранги присваиваются в соответствии с увеличением (убыванием) сумм рангов.

В табл. 2.4 приведен пример результатов ранжирования семи объектов тремя экспертами и обобщенные ранги, полученные методом суммы мест.

Таблица 2.4

Пример результатов ранжирования

83

Необходимо подчеркнуть, что данный метод допустимо использовать только когда предполагается, что «расстояние» между рангами приблизительно одинаковы, т. е. когда ранги, по сути, являются баллами, а шкала в строгом смысле не является порядковой и может быть отнесена к интервальной.

Для оценки согласованности мнений экспертов используется дисперсионный коэффициент конкордации. При наличии связанных рангов используется формула [38]:

где m — количество экспертов; n — количество объектов ран-

где HS — число групп равных рангов в s-й ранжировке;

hk — число равных рангов в k-й группе связанных рангов. Если совпадающих рангов нет, то Ts = 0.

Качественная оценка согласованности мнений экспертов, определяемая на основе коэффициента конкордации K, приведена в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Парное сравнение. Этот метод представляет собой процедуру установления предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар. Результаты сравнения всех пар объектов удобно представлять в виде матрицы с булевыми значе-

84

Втабл. 2.6 приведен пример матрицы парных сравнений

сбулевыми значениями для объектов, имеющих следующий

порядок: x1 x5 x3 x4 x2 .

На основе матрицы парных сравнений с булевыми значениями можно определить ранги объектов. Сумма элементов матрицы по строке даст ранг объекта в порядке увеличения предпочтения (самый худший объект получит ранг 1, самый лучший — максимальный ранг), сумма элементов матрицы по столбцу — ранг объекта в порядке убывания предпочтения. Например, суммирование по строкам матрицы, приведенной в табл. 2.6, дает следующие ранги: r1 = 5, r2 = 1, r3 = 3,

r4 = 2, r5 = 4.

Если имеется несколько экспертов, то каждый из экспертов строит свою матрицу парных сравнений. Для построения обобщенной матрицы чаще всего используют метод нахождения медианы. При этом вводится понятие расстояния между матрицами, которое определяется числом поразрядных несовпадений всех значений элементов матрицы (метрика Хэмминга). Медианой называют матрицу, сумма расстояний от которой до всех матриц, построенных экспертами, является минимальной. В [38] показано, что все элементы медианы определяются по правилу большинства голосов, т. е. элемент обобщенной матрицы равен 1 только в том случае, если половина или больше экспертов посчитали этот элемент равным 1.

На рис. 2.12 в качестве примера приведены матрицы парных сравнений, построенные тремя экспертами, и соответствующая обобщенная матрица.

85

зуют лингвистические значения, которые затем переводятся в балльные значения, например: «отлично» — 1,0; «очень хорошо» — 0,75; «хорошо» — 0,625; «удовлетворительно» — 0,5; «посредственно» — 0,25; «неудовлетворительно» — 0.

В случае групповой экспертизы обобщенные оценки объектов строятся на основе применения методов осреднения. Например, обобщенная оценка ai объекта xi может вычисляться по формуле среднего арифметического:

где aij — оценка i-го объекта, выставленная j-м экспертом; m — количество экспертов.

При вычислении обобщенной оценки может быть учтена компетентность экспертов. В этом случае вводятся коэффициенты компетентности экспертов kj – числа в интервале [0, 1].

m

Причем сумма коэффициентов должна быть равна 1: k j 1 .

j 1

Обобщенная оценка в этом случае определяется по формуле

m

ai k j aij . j 1

Коэффициенты компетентности могут быть определены методом непосредственной оценки.

Последовательное сравнение (метод Черчмена–Акоф-

фа). Данный метод представляет собой комплексную процедуру измерения, включающую как ранжирование, так и непосредственную оценку. При последовательном сравнении эксперт выполняет следующие операции:

1)осуществляет ранжирование объектов;

2)производит непосредственную оценку объектов на отрезке [0,1], полагая, что чем предпочтительнее объект xi, тем

больше его числовая оценка q(xi ) ;

3) решает, будет ли первый объект превосходить по предпочтительности все остальные объекты вместе взятые. Если да, то эксперт увеличивает значение числовой оценки первого объекта так, чтобы она стала больше суммы числовых оценок остальных объектов:

87

m

q(x1) q(xi )

i 2 .

В противном случае он изменяет величину q(x1 ) так, что-

бы она стала меньше, чем сумма оценок остальных объектов; 4) решает, будет ли второй объект предпочтительнее, чем все последующие вместе взятые объекты, и изменяет

q(x2 ) так же, как это описано для q(x1) в пункте 3;

5) продолжает операцию сравнения предпочтительности последующих объектов и изменяет числовые оценки этих объектов в зависимости от своего решения о предпочтительности.

Методы интеграции измерений (свертки). Имеется конечное число объектов X {x1, , xn} , сравниваемых по

множеству частных признаков (критериев) q1, , qm . Для каждого объекта определены значения частных критериев: q1(xi ), , qm (xi ), i 1, n . Это могут быть как экспертные

оценки (в случае групповой экспертизы используются обобщенные оценки), так и результаты объективных измерений. Необходимо определить интегральные оценки объектов

qˆ(xi ), i 1, n . Оценки по интегральному критерию зависят от значений частных критериев, т. е. являются их функцией:

qˆ(xi ) f (q1 (xi ), qm (xi )), i 1, n .

В случае если частные критерии имеют различную размерность (измеряются в различных шкалах), предварительно необходимо нормировать значения частных критериев, т. е. привести их к одному масштабу. Большинство способов свертки предполагает, что значения должны быть представлены в шкале, по типу являющейся шкалой отношений. Для нормирования абсолютные «натуральные» значения критериев переводятся в относительные безразмерные значения, Чаще всего используется отношение абсолютного значения крите-

рия q j ab (xi ) к некоторому нормирующему значению q j et

(«идеальному», эталонному, максимальному), измеренному в тех же единицах:

88