Основы теории систем и системного анализа

q j (xi ) q j ab (xi ) / q j et .

Например, чтобы нормировать рост человека, измеренный в метрах, можно поделить его на нормирующий показатель, равный максимальному росту (допустим, 2,5 м). Тогда росту 1,5 м будет соответствовать нормированное значение

0,6,; росту 1,8 м — 0,72.

Вкачестве нормирующего значения может выступать сумма нормируемых значений по всем сравниваемым объектам. Например, нормирование объемов производства различных цехов предприятия может осуществляться путем вычисления соответствующих долей в общем объеме производства.

Вслучае, когда чем меньше значение критерия, тем оно должно оцениваться выше, используется отношение разницы между максимальным и абсолютным значением к разнице между минимальным и максимальным значениями:

мальное значения j-го критерия.

Иногда для нормирования используются так называемые «приростные» показатели. В этом случае находится доля прироста – отношение разницы между текущим значением

При этом значения, выходящие за рамки интервала [0;1] обрезаются (значение, превышающее единицу, приравнивается к 1, отрицательное значение считается равным 0). В случае если не увеличение, а снижение значения показателя оценивается как положительная тенденция, определяется не прирост, а убыль текущего значения по отношению к базовому.

Этот способ нормирования чаще всего используют при оценке динамики изменения состояния системы во времени. Текущим считается состояние в настоящий момент времени, базовым — состояние в некоторый предыдущий момент времени.

89

Перейдем к рассмотрению собственно методов интеграции измерений. Используется два основных способа — свертка (аддитивная или мультипликативная) частных критериев и метод идеальной точки.

Аддитивная свертка частных критериев. Значение ин-

тегрального критерия определяется как сумма значений частных критериев, поделенная на количество частных критериев:

В случае если частные критерии имеют различную важность (вес), вместо формулы среднеарифметического для определения значения интегрального критерия используют средневзвешенное арифметическое:

m

qˆ(xi ) v j q j (xi ), i 1, n ,

j 1

где vj — вес j-го критерия, отражающий вклад частного критерия в интегральный. Это число в интервале [0, 1]. Причем сумма весовых коэффициентов всех частных критериев

m

должна быть равна 1: v j 1.

j 1

Для определения весовых коэффициентов может быть использован метод непосредственной оценки. Если оценка производится по 5- (10- ,100- ...) балльной шкале, то для нормирования можно использовать отношение к сумме баллов по всем критериям.

Иногда используют методы ранжирования. В частности, для определения весов на основе рангов используется фор-

m

мула j rj / ri (если наилучший критерий имеет макси-

i 1

m

мальный ранг) или j (m 1 rj ) / ri (если наилучший

i 1

критерий имеет ранг 1).

Однако этот способ позволяет определять веса весьма приблизительно. Рассмотрим пример. Пусть при оценивании степени важности четырех критериев эксперты присвоили ме-

90

тодом непосредственной оценки следующие значения весовых коэффициентов: v1 = 0,15; v2 = 0,23; v3 = 0,27; v4 = 0,35 (0,15 +

+0,23 + 0,27 + 0,35 = 1). При ранжировании критериев полу-

чим ранги: r1 = 4, r2 = 3, r3 = 2, r4 = 1. Сумма рангов равна 10. Значения весовых коэффициентов, вычисленные на основе рангов, будут следующими: v1 = (4 + 1 – 4)/10 = 0,1; v2 = (4 +

+1 – 3)/10 = 0,2; v3 = (4 + 1 – 2)/10 = 0,3; v4 = (4 + 1 – 1)/10 = 0,4.

Эти значения отличаются от весов, полученных методом непосредственной оценки.

Мультипликативная свертка частных критериев. Ес-

ли частные критерии имеют одинаковый вес, значение интегрального критерия определяется по формуле среднегеомет-

m

рического qˆ(xi ) m q j (xi ), i 1, n .

j 1

Если же частные критерии имеют различную важность, то определяется средневзвешенное геометрическое

m v

qˆ(xi ) q j (xi ) j , i 1, n .

j 1

Как и в случае аддитивной свертки, сумма весовых коэффициентов должна быть равна 1.

Основным недостатком методов свертки является то, что низкие значения по одним критериям компенсируются высокими значениями по другим. Если же требуется обеспечить равномерное подтягивание всех показателей к наилучшему уровню (к «идеалу»), то используется метод идеальной точки.

Метод идеальной точки. Прежде всего, необходимо задать идеальную точку x0, т. е. объект с наилучшими значениями по всем критериям. Для этого по каждому из частных критериев qj необходимо определить наилучшее значение

qj(x0). Как правило, q j (x0 ) max q j (xi ) .

i

Значение интегрального критерия для объекта xi определяется через евклидовое расстояние между ним и идеальной точкой x0 по всем частным критериям:

91

Наилучшим является объект, имеющий минимальное значение критерия.

В случае различной важности частных критериев используется взвешенная сумма расстояний

Если оценки объектов по частным критериям получены в порядковой (ранговой) шкале измерений, то расстояние между точками xi и x0 определяется по формулам:

наковый вес, вторая — если разный.

Существуют и различные модификации метода идеальной точки. В частности, расстояния по каждому из частных критериев не суммируются, а находится максимальное от-

Наилучшим считается объект, у которого максимальное отклонение минимально. Этот критерий позволяет «отбраковывать» альтернативы с большими отклонениями по отдельным критериям.

Рассмотрим пример. В табл. 2.7 приведены результаты измерения трех фирм-конкурентов Ф1, Ф2, Ф3 по трем частным критериям — «Стоимость продукции», «Время изготовления» и «Качество продукции», а также максимальные (max) и минимальные (min) значения критериев и их оценки важности (вес).

Таблица 2.7

92

Вычислим значения интегральных критериев с помощью аддитивной, мультипликативной свертки и метода идеальной точки.

Поскольку критерии имеют различную размерность, необходимо нормировать результаты измерений. При выборе способа нормирования по критерию стоимости нужно учесть, что чем меньше стоимость, тем оценка должна быть выше. Поэтому следует использовать отношение разницы между максимальным и абсолютным значением к разнице между минимальным и максимальным значениями:

1)для Ф1: (900 – 700) / (900 – 100) = 200 / 800 = 0,25;

2)для Ф2: (900 – 300) / (900 – 100) = 600 / 800 = 0,75;

3)для Ф3: (900 – 500) / (900 – 100) = 400 / 800 = 0,5.

По критерию времени нормирование осуществляется аналогично:

1)для Ф1: (56 – 32) / (56 – 16) = 24 / 40 = 0,6;

2)для Ф2: (56 – 24) / (56 – 16) = 32 / 40 = 0,8;

3)для Ф3: (56 – 48) / (56 – 16) = 8 / 40 = 0,2.

Для нормирования по критерию «Качество продукции» используем отношение к максимальному значению: 1) для Ф1: 80/100 = 0,8; 2) для Ф2: 50/100 = 0,5; 3) для Ф3: 5/100 = 0,75.

Значения интегрального критерия по формуле аддитивной свертки:

1)для Ф1: 0,25 · 0,5 + 0,6 · 0,3 + 0,8 · 0,2 = 0,125 + 0,18 + 0,16 = 0,465;

2)для Ф2: 0,75 · 0,5 + 0,8 · 0,3 + 0,5 · 0,2 = 0,375 + 0,24 + 0,1 = 0,715;

3)для Ф3: 0,5 · 0,5 + 0,2 · 0,3 + 0,75 · 0,2 = 0,25 + 0,06 + 0,15 = 0,46.

По формуле мультипликативной свертки получим сле-

дующие значения интегрального критерия:

1)для Ф1: 0,250,5 · 0,60,3 · 0,80,2 = 0,5 · 0,858 · 0,956 = 0,41;

2)для Ф2: 0,750,5 · 0,80,3 · 0,50,2 = 0,866 · 0,935 · 0,87 = 0,704;

3)для Ф3: 0,50,5 · 0,20,3 · 0,750,2 = 0,71 · 0,617 · 0,944 = 0,4135.

Наконец, по методу идеальной точки получим следующие значения:

1) для Ф1: 0,5 (1 0,25)2 0,3 (1 0,6)2 0,2 (1 0,8)2 0,64;

2) для Ф2: 0,5 (1 0,75)2 0,3 (1 0,8)2 0,2 (1 0,5)2 0,3; 3) для Ф3: 0,5 (1 0,5)2 0,3 (1 0,2)2 0,2 (1 0,75)2 0,57.

93

Как видим, наилучшее значение интегрального критерия по всем трем методам получила фирма Ф2. По методу аддитивной свертки на втором месте оказалась фирма Ф1, на третьем — Ф3. Методы мультипликативной свертки и идеальной точки дали несколько другой результат: второе место заняла фирма Ф3, а третье — Ф1.

2.3.3.Методы измерений/оценки

вусловиях неопределенности

Виды неопределенности. В процессе моделирования происходит отображение реальной ситуации на некоторый формализованный язык. В случае, когда отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между объектами отображаемой реальности и объектами языка, имеет место моделирование в условиях определенности. В противном случае говорят о наличии неопределенности. Виды неопределенности можно представить с помощью дерева (рис. 2.13) [39].

Рис. 2.13. Виды неопределенности

Первый уровень дерева образован терминами, качественно характеризующими количество отсутствующей информации.

94

В случае неизвестности информация практически отсутствует. Это, как правило, бывает на начальной стадии изучения ситуации.

Недостоверность присутствует, когда информация собрана не полностью или собранная информация характеризует объекты реальности приблизительно (неадекватно). Наличие этого вида неопределенности связано либо с тем, что процесс сбора информации временно приостановлен, либо с нехваткой ресурсов, выделенных для сбора информации.

Неопределенность типа неоднозначности имеет место, когда вся возможная информация собрана, однако полностью определенное описание не получено и не может быть полу-

чено [39].

Второй уровень дерева описывает источники (причины) неоднозначности, которыми являются внешняя среда (физическая неопределенность) или используемый исследователем профессиональный язык (лингвистическая неопределенность).

Физическая неопределенность типа случайности (стохастическая неопределенность) связана с наличием во внешней среде нескольких возможностей, каждая из которых случайным образом становится действительностью. Другим видом физической неопределенности является неточность, которая связана с неточностью измерений вполне определенной величины, выполняемых физическими приборами [39].

Лингвистическая неопределенность связана с использованием естественного языка. Она обусловлена необходимостью оперировать конечным числом слов и ограниченным числом структур фраз для описания бесконечного множества разнообразных ситуаций. Лингвистическая неопределенность порож-

дается, с одной стороны, неопределенностью значений слов (по-

нятий и отношений) языка, которую условно называют поли-

семией, а, с другой стороны, неоднозначностью смысла фраз.

Можно выделить два вида полисемии: омонимия и нечеткость. Если отображаемые одним и тем же словом объекты существенно различны, то соответствующую ситуацию относят к омонимии. Например, словом «коса» обозначают такие разные объекты, как вид побережья, сельскохозяйственный инструмент, вид прически. Полисемия типа нечеткости имеет

95

место, когда применение того или иного слова для отображения объектов неоднозначно. Например, рост 177 см можно обозначить словом «высокий», а можно — словом «средний».

Неоднозначность смысла фраз может быть синтаксиче-

ской, семантической и прагматической. В первом случае уточнение синтаксиса позволяет понять смысл фразы. Например, правильная расстановка знаков препинания в предложении «казнить нельзя помиловать» позволяет избежать неоднозначности. При семантической неопределенности, несмотря на правильность синтаксиса, смысл отдельных слов и всей фразы неясен. Классический пример — фраза «глокая куздра штеко будланула бокра и кудрячит бокренка». Прагматическая неопределенность связана с неоднозначностью использования понятной информации для достижения целей деятельности [39].

В данном разделе будут рассмотрены некоторые процедуры оценивания систем в условиях физической неопределенности (неопределенности состояний внешней среды), а также в условиях лингвистической неопределенности (нечеткости понятий, используемых для оценки).

Измерения в условиях неопределенности состояний внешней среды. Рассмотрим процедуры оценки, используе-

мые в задачах выбора управления в условиях риска.

Имеется ряд альтернативных вариантов управления ui (i

=1, …, m) системой, а также ряд возможных состояний wj (j

=1, … n) внешней среды. Каждому i-му варианту управления для каждого j-го состояния среды могут быть сопоставлены

значения эффективности системы kij. Оценки эффективности системы можно представить в виде таблицы (табл. 2.8). Каждая строка таблицы содержит значения эффективности системы для одного варианта управления при всех состояниях среды, а каждый столбец — значения эффективности для всех вариантов управления при одном и том же состоянии среды.

Необходимо выбрать наиболее предпочтительный вариант управления. В зависимости от характера предпочтений лица, принимающего решения, используются различные критерии выбора [37].

96

Критерий среднего выигрыша. Данный критерий пред-

полагает задание вероятностей состояний среды pj. Эффективность вариантов управления оценивается как среднее ожидаемое значение (математическое ожидание) оценок эффективности по всем состояниям среды:

n

K ui p j kij , i 1, , m .

j 1

Наилучшим считается вариант, имеющий максимальную

эффективность: uopt arg max K ui .

i

Критерий Лапласа представляет собой частный случай критерия среднего выигрыша. Он применяется в случае, когда неизвестны вероятности состояний среды. В основе критерия лежит предположение, что поскольку о состояниях обстановки ничего не известно, то их можно считать равновероятными. Исходя из этого

Критерий максимина (Вальда). Другое название — критерий осторожного наблюдателя, так как он гарантирует определенный выигрыш при наихудших условиях. Критерий основывается на том, что, если состояние обстановки неизвестно, нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффективности каждого варианта.

Для каждого варианта находится минимальная из оценок по различным состояниям среды:

K ui min kij , i 1, , m , j 1, , n.

j

97

Оптимальным считается вариант с максимальным значе-

нием минимальной оценки: uopt arg max K ui .

i

Критерий максимакса. Это самый оптимистический критерий. Те, кто предпочитает им пользоваться, всегда надеются на лучшее состояние обстановки и, естественно, в большой степени рискуют. Варианты оцениваются по максимальному значению эффективности и в качестве оптимального выбирается вариант, обладающий наибольшим из максимумов:

Критерий пессимизма-оптимизма (Гурвица). Соглас-

но данному критерию при оценке и выборе систем неразумно проявлять как осторожность, так и азарт, а следует, учитывая самое высокое и самое низкое значения эффективности, занимать промежуточную позицию (взвешивать наихудшие и наилучшие условия). Для этого вводится коэффициент оптимизма α 0 α 1 , характеризующий отношение к риску

лица, принимающего решение. Эффективность систем находится как взвешенная с помощью коэффициента α сумма максимальной и минимальной оценок:

может определяться методом экспертных оценок.

Критерий минимакса (Сэвиджа). Как и критерий мак-

симина (Вальда) он минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. Для оценки систем на основе данного критерия матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь (риска). Каждый элемент матрицы потерь определяется как разность между максимальным (по всем вариантам) и текущим (для данного варианта) значе-

ниями оценок эффективности: kij max kij kij .

i

После преобразования матрицы оптимальным считается вариант с минимальной из максимальных оценок потерь по всем состояниям среды:

98