Организация ЭВМ и систем

На входы JK-триггеров подаются сигналы 1. Выход каждого предыдущего триггера соединен с входом синхронизации С последующего триггера. По спаду единичного входного сигнала изменяется состояние триггера младшего разряда счетчика на противоположное (т.е. реализуется сложение по модулю 2 в этом разряде). В последующих разрядах аналогичное действие производит сигнал переноса.

Контрольные вопросы

1.Какая связь между понятием функциональной полноты и элементами И-НЕ и ИЛИ-НЕ?

2.Какие существуют критерии минимизации булевых функций?

3.В чем отличие синтеза логических схем в базисе И-НЕ и ИЛИ-

НЕ?

4.Что такое запрещенные состояния для RS-триггера и можно ли их использовать при минимизации?

5.Почему JK-триггер является универсальным?

6.Чем мультиплексор отличается от коммутатора?

Глава 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

3.1 Представление информации в ЭВМ

В ЭВМ на машинном уровне обеспечивается обработка данных трех типов: чисел, символов, логических значений. Адреса представляются целыми числами. Данные других типов на уровне аппаратуры не обрабатываются а обрабатываются на программном уровне путем выполнения команд, возбуждающих в АЛУ обработку данных указанных трех типов.

Число А в позиционной системе счисления можно представить:

m

A a0 akqn-k ,

k 1

где ak {0,1,….q–1}, q – основание системы счисления, обычно принимает значения q=2(8,10,16), a0 – знак числа, ak – цифры числа, qn–k – вес цифры в зависимости от ее позиции, n – количество цифр в целой части числа, m – общее количество цифр.

Пример: А=217,37 – десятичное число, q=10, n=3, m=5.

Множество чисел можно разделить на два подмножества – целые и вещественные. Основной формой представления чисел в ЭВМ являются двоичные числа.

Целые двоичные числа в ЭВМ представлены в следующем формате:

Диапазон представления: (2k–1). Основная проблема заключается в переполнении разрядной сетки при выполнении арифметических операций, если результат операции С удовлетворяет условию |С|2k. Переполнение при сложении возможно обнаружить, если знаки слагаемых различны. В результате переполнения знак суммы изменяется и не совпадает со знаком слагаемых. Переполнение в ЭВМ также обнаруживается путем анализа битов переноса в знаковый разряд сумматора p1 и из знакового разряда p0. Условие переполнения: p0 p1.

Сигнал переполнения формируется схемой сложения по mod 2. Для представления вещественных чисел используются два способа:

правильная дробь и плавающая запятая (формат чисел с плавающей запятой).

Двоичная правильная дробь имеет формат:

Диапазон представления: (1–2–k). Наименьшее число, отличное от нуля, – 2–k=0,0…01. Числа, меньшие чем 2–k, рассматриваются как машинный ноль. Таким образом, если целые числа в ЭВМ представлены точно (без погрешности), то действительные числа – с дискретностью =2–k. То есть разрядность числа k определяет точность представления действительных чисел в k-разрядной сетке. =2–k – это дискретность, с которой идет «прореживание» множества действительных чисел в k-разрядной сетке.

Пример: k=15, =2–150,3 10–4, т.е. точность представления приблизительно три десятичных знака.

Особенности операций над правильными дробями: переполнение разрядной сетки при выполнении операций сложения, вычитания и деления. Условие переполнения |С|1=20, переполнение разрядной сетки при выполнении операции умножения не происходит. Общая для двух форматов с фиксированной запятой – и для целых чисел, и для правильной дроби – особенность: представление отрицательных чисел не в прямом коде (как для положительных чисел), а в дополнительном (или обратном) коде.

52

ние корректирующих кодов, например с избытком три, для представления ВСD-чисел.

Для представления символов текста используется формат данных типа строка байтов. В этом формате каждому символу ставится в соответствие байт строки байтов. Первый символ в виде ASCII-кода располагается в первом (младшем) байте, второй символ – во втором байте, адрес которого на 1 больше, и т.д.

Для представления логических значений истина – 1, ложь – 0 используется строка битов переменной длины или битовое поле фиксированной длины (например, байт).

идополнительном кодах

ВЭВМ для выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. При помощи этих кодов упрощается определение знака результата операции. Операция вычитания (или алгебраического сложения) чисел сводится к арифметическому сложению кодов, облегчается выработка признаков переполнения разрядной сетки. В результате упрощаются устройства ЭВМ, выполняющие арифметические операции.

Для представления чисел со знаком в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды.

Код представляется как число без знака, а диапазон чисел разбивается на два поддиапазона. Один из них представляет положительные числа, другой – отрицательные. Разбиение выполняется таким образом, чтобы принадлежность к поддиапазону определялась максимально просто.

При формировании кодов значение старшего разряда указывает на знак представляемых чисел, т.е. при таком кодировании старший разряд – знаковый (бит знака), остальные разряды – информационные.

Прямой код

Это обычный двоичный код. Если двоичное число является положительным, то бит знака равен 0, если двоичное число – отрицательное, то бит знака равен 1. Цифровые разряды прямого кода содержат модуль представляемого числа, что обеспечивает наглядность представления чисел в прямом коде (ПК).

Однобайтовое представление двоичного числа. Пусть это будет 28(10). В двоичном формате – 0011100(2) (при однобайтовом формате под величину числа отведено 7 разрядов). Двоичное число со знаком будет выглядеть так

+28(10)=00011100(2) –28(10)=10011100(2)

Рис. 3.1.1 Формат двоичного числа:

а – положительное число; б – отрицательное

54

Сложение в прямом коде чисел, имеющих одинаковые знаки: числа складываются, и сумме присваивается знак слагаемых. Значительно более сложным является алгебраическое сложение в прямом коде чисел с разными знаками. В этом случае приходится определять большее по модулю число, производить вычитание модулей и присваивать разности знак большего по модулю числа. Такую операцию значительно проще выполнять, используя обратный и дополнительный коды.

Обратный код

В обратном коде (ОК), так же как и в прямом коде, для обозначения знака положительного числа используется бит, равный нулю, и знака отрицательного числа – единице. Обратный код отрицательного двоичного числа формируется дополнением модуля исходного числа нулями до самого старшего разряда модуля, а затем поразрядной заменой всех нулей числа на единицу и всех единиц на нули (инвертирование). В знаковом разряде обратного кода у положительных чисел будет 0, а у отрицательных – 1.

На рис. 3.1.2 приведен формат однобайтового двоичного числа в обратном коде.

Рис. 3.1.2 Формат двоичного числа со знаком в обратном коде:

а– положительное число; б – отрицательное

Вобщем случае ОК является дополнением модуля исходного числа до наибольшего числа без знака, помещенного в разрядную сетку.

Алгоритм формирования ОК позволяет унифицировать операции сложения и вычитания в АЛУ, которые в прямом коде выполняются поразному. Работа с ОК имеет ряд проблем:

- при выполнении операции возникают два нуля: +0 и –0, т.е. в прямом коде (в котором представлены положительные числа) имеет место (+0) = 000...0, а в обратном коде (в котором представлены отрицательные числа) – (–0) = 111...1;

- в операциях сложения и вычитания требуется дополнительная операция по прибавлению бита переноса в младший разряд суммы.

Алгоритм сложения в ОК включает в себя:

-сложение кодов, включая знаковый разряд;

-прибавление переноса к МЗР (младшему значащему разряду)

суммы. Пример:

Вычислить 7(10) –3(10).

55

Дополнительный код. В современных ЭВМ большинство операций выполняется в дополнительном коде. Дополнительный код (ДК) строится следующим образом. Сначала формируется обратный код (ОК), а затем к младшему разряду (МЗР) добавляют 1. При выполнении арифметических операций положительные числа представляются в прямом коде (ПК), а отрицательные числа – в ДК, причем обратный перевод ДК в ПК осуществляется аналогичными операциями в той же последовательности. На рис. 3.1.3 рассмотрена цепь преобразований числа из ПК в ДК и обратно в двух вариантах.

Рис. 3.1.3 Два варианта преобразования чисел из ПК в ДК и обратно

Пример:

Число –5(10) перевести в ДК и обратно (первый вариант).

Пример:

Число –5(10) перевести в ДК и обратно (второй вариант).

56

ДК для записи отрицательных чисел перекрывает диапазон десятичных чисел от 2k–1 до +2k–1–1, где k – число используемых двоичных разрядов, включая знаковый.

В ЭВМ используется быстрый способ формирования ДК. Его суть заключается в следующем. Двоичное число в ПК просматривается от МЗР к СЗР. Пока встречаются нули, их копируют в одноименные разряды результата. Первая встретившаяся единица также копируется в соответствующий разряд, а каждый последующий бит исходного числа заменяется на противоположный (0 – на 1, 1 – на 0).

Пример:

Число –44(10) (10101100 (2)) перевести в ДК и обратно. Проверка:

3.2 Алгоритмы сложения и вычитания

При выполнении арифметических операций в современных ЭВМ используется представление положительных чисел в прямом коде (ПК), а отрицательных – в обратном (ОК) или в дополнительном (ДК) кодах. Это можно проиллюстрировать схемой на рис. 3.3.1.

Рис. 3.2.1 Представление чисел в ЭВМ:

а – положительное число; б – отрицательное число

При алгебраическом сложении двух двоичных чисел, представленных обратным (или дополнительным) кодом, производится арифметическое суммирование этих кодов, включая разряды знаков. При возникновении пе-

57

ницы в множителе). Положение точки в дробном числе определяется так же, как и при умножении десятичных чисел.

Вычислить произведение 17(10) * 12(10) в двоичной форме.

При сложении частичных произведений в общем случае возникают переносы.

Машинный вариант операции перемножения. Общий алгоритм перемножения имеет вид:

Операция перемножения состоит в формировании суммы частичных произведений, которые суммируются с соответствующими сдвигами друг относительно друга. Процесс суммирования начинают либо с младшего, либо со старшего частичного произведения. В компьютере формируют одно частичное произведение, к нему с соответствующим сдвигом прибавляют следующее и т.д. (т.е. не формируют все частичные произведения, а потом их складывают). В зависимости от того, с какого частичного произведения начинается суммирование (старшего или младшего), сдвиг текущей суммы осуществляется влево или вправо. Компьютерный вариант выполнения умножения целых чисел: начиная Умножение младшими разрядами вперед.

59

Деление

Деление – операция, обратная умножению, поэтому при делении двоичных чисел, так же как и в десятичной системе счисления, операция вычитания повторяется до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше вычитаемого. Число этих повторений показывает, сколько раз вычитаемое укладывается в уменьшаемом.

3.4 Сложение (вычитание) чисел с плавающей запятой (ЧПЗ)

Требуется вычислить Z=X Y, при условии, что |X| |Y|. Формальное выражение для выполнения этой операции можно записать следующим образом:

Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:

1.Производится выравнивание порядков. Порядок меньшего по модулю числа принимается равным порядку большего, а мантисса меньшего

числа сдвигается вправо на число разрядов S, равное разности (Px–Py), т.е. происходит денормализация.

2.Производится сложение (вычитание) мантисс, в результате чего получается мантисса суммы (разности).

3.Порядок результата равен порядку большего числа.

4.Полученный результат нормализуется.

В общем случае сложение и вычитание q производится по правилам сложения и вычитания чисел с фиксированной точкой, т.е. с использованием прямого, обратного и дополнительного кодов.

Операции сложения и вычитания чисел с плавающей запятой, в отличие от операций с фиксированной запятой, выполняются приближенно, т.к. при выравнивании порядков происходит потеря младших разрядов одного из слагаемых (меньшего) в результате его сдвига вправо (погрешность всегда отрицательна).

Сложить два числа (ЧПЗ) Z=X+Y для S = 2.

60