Организация ЭВМ и систем

конъюнкт содержит в точности по одной все (взятые с отрицаниями или без них) двоичные переменные функции, ДНФ называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой этой функции (СДНФ).

Представление булевой функции в форме конъюнкции:

f(х1, х2, …, хn) = D1 /\ D2 /\ …/\ Dm), m ≥ 1,

где каждый терм Di (или дизъюнкт) представляет собой дизъюнкцию взятых с отрицаниями или без них двоичных переменных функции, называется конъюнктивной нормальной формой этой функции (КНФ). Если каждый конъюнкт содержит в точности по одной все (взятые с отрицаниями или без них) двоичные переменные функции, КНФ называется совершенной конъюнктивной нормальной формой этой функции (СКНФ).

Любая булева функция может быть представлена в СДНФ (кроме тождественного ноля) или в СКНФ (кроме тождественной единицы), причем представление функции в СДНФ или СКНФ единственно.

Функции базиса – это полный набор строительных блоков, из которых можно строить все другие двоичные функции от любого числа переменных, а следовательно, реализовать любые конечные функциональные преобразователи.

Определение функциональной полноты или неполноты булевых функций выполняется на основе пяти замечательных свойств булевых функций:

1.Функция f(х1, х2, …, хn) называется сохраняющей ноль, если на наборе из нулей принимает значение ноль, т.е. f(0, 0, …, 0) = 0.

2.Функция f(х1, х2, …, хn) называется сохраняющей единицу, если на наборе из единиц принимает значение единица, т.е. f(1, 1, …, 1) = 1.

3.Функция f(х1, х2, …, хn) называется самодвойственной, если для

любого набора <х1, х2, …, хn> f(х1, х2, …, хn) = ⌐f(⌐х1, ⌐х2, …, ⌐хn). Набор x = <х1, х2, …, хn> предшествует набору y = <y1, y2, …, yn>, если xn ≤ yn (i = 1,

2, …, n). Этот факт обозначается x << y.

4.Функция f(х1, х2, …, хn) называется монотонной, если для любой пары наборов x = <х1, х2, …, хn> и y = <y1, y2, …, yn> таких, что x << y, f(x)

≤f(y).

5.Функция f(х1, х2, …, хn) называется линейной, если ее полином имеет вид f(х1, х2, …, хn) = a0 a1x1 … anxn, где ai € {0, 1} (i = 0, 1, …, n).

Критерий полноты системы булевых функций: необходимо и достаточно, чтобы эта система содержала функцию, не сохраняющую ноль; функцию, не сохраняющую единицу; несамодвойственную функцию, немонотонную функцию, нелинейную функцию. Таблица 2.4

Если проанализировать перечисленные булевы функции, то окажется, что только две функции являются функционально полными. Это – восьмая функция, реализующая логическую операцию И-НЕ, и четырнадцатая функция, реализующая ИЛИ-НЕ.

21

Таблица 2.4 – Свойства функций двух переменных

2.3 Минимизация булевых функций

Сложность схемы, реализующей булеву функцию, определяется сложностью ее аналитической записи. Поэтому булеву функцию упрощают (минимизируют) в целях экономии материалов, объема, веса, и энергопотребления логической схемы.

Для упрощения логических выражений на первом этапе выполняется ряд алгебраических операций, основанных на логических законах: дистрибутивном

x(y + z) = xy + xz,

законе исключенного третьего:

x + ⌐x = 1, где знак ⌐ это отрицание

22

идистрибутивном законе:

x+ yz = (x + y)(x + z).

Простые логические схемы, содержащие меньше электронных схем и входных значений, легче и дешевле реализовать на практике. Так что стремление минимизировать логические выражения имеет под собой чисто практическое основание. Законы, которые используются для манипулирования логическими выражениями, объединены в табл. 2.5.

Таблица 2.5 – Законы двоичной логики

Минимизация функций с использованием карты Карно

Для быстрого получения минимального выражения, представляющего логическую функцию нескольких переменных, используют графическое представление таблицы истинности, называемым картой Карно. Для функции трех переменных карта Карно представляет собой прямоугольник, составленный из восьми квадратов, расположенных в два ряда по четыре в каждом. Каждый квадрат соответствует конкретному набору значений входных переменных. Например, третий квадрат в верхнем ряду представляет значения (х1, х2, х3) = 1, 1, 0). Поскольку в таблице истинности функции трех переменных содержится восемь строк, карта должна состоять из восьми квадратов. Значения внутри квадратов – это значения функции при соответствующих значениях переменных.

Главная идея карты Карно заключается в том, что расположенные рядом по горизонтали и по вертикали квадраты отличаются значениями только одной переменной. Если два смежных квадрата содержат единицы, это означает возможность алгебраического упрощения соответствующей пары термов.

23

Минимизированное произведение, соответствующее группе квадратов, – это произведение входных переменных, значения которых одинаковы для всех квадратов этой группы. Если значение входной переменной xi равно нулю для всех квадратов группы, тогда переменная xi входит в результирующее произведение. Квадраты с левого края карты считаются смежными с квадратами с ее правого края.

Общая процедура формирования на карте Карно групп из двух, четырех, восьми и т.д. квадратов определяется просто. Две смежные пары квадратов, содержащих единицы, можно объединить в группу из четырех квадратов. Две смежные группы по четыре квадрата можно объединить в группу из восьми квадратов. В общем случае количество квадратов в группе должно быть равным 2k, где k – целое число.

На рис 2.3.1 представлена карта Карно для трех аргументов с указанием номеров минтермов. Доказательство положений в карте минтермов на основе теорем склеивания поглощения.

c

Рис. 2.3.1 Карта Карно для трех аргументов a, b, c

На рис 2.3.2. представлена карта Карно для четырех аргументов.

a

24 c

1») и инверсный ⌐Q («выход 0»). В единичном состоянии триггера на выходе Q высокий уровень сигнала, а в нулевом – низкий. На выходе ⌐Q наоборот.

В зависимости от количества входов и особенностей схемы, управляющей ими, меняется логика работы триггера. Схемы триггера можно разделить на несколько типов: с установочными входами – RS-триггер, со счетным входом – T-триггер, а также D-триггер и специфический для интегральных схем, универсальный JK-триггер.

Если хотя бы с одного входа информация в триггер заносится принудительно под воздействием синхронизирующего сигнала, то триггер называется синхронным. Если занесение информации в триггер с любого входа производится без синхронизирующего сигнала, то триггер называется асинхронным.

Состояние триггера определяется сигналом Q на прямом выходе триггера (или сигналом ⌐Q на его инверсном выходе).

Законы функционирования триггеров задаются таблицей истинности, при которой в столбце состояний может быть указано, что новое состояние совпадает с предыдущим или является его отрицанием. Ниже рассматриваются логические принципы построения наиболее распространенных триггерных схем для потенциальных элементов.

Асинхронный RS-триггер

Асинхронный RS-триггер на интегральных элементах ИЛИ-НЕ показан на рис. 2.4.3,а. Триггер образован из двух комбинационных схем ИЛИ-НЕ, соединенных таким образом, что возникают положительные обратные связи, благодаря которым в устойчивом состоянии входной транзистор одной схемы ИЛИ-НЕ закрыт, а у другой открыт. Таблица на рис. 2.4.3,б, называемая таблицей истинности, определяет закон функционирования этого триггера. В таблице истинности приводятся выходные значения схемы, соответствующие каждой комбинации входных значений. Логические схемы, выходные значения которых однозначно определены для каждого входного значения, называются комбинационными. Схемы, содержащие запоминающие элементы, относятся к другому классу и называются последовательными (рис. 2.4.3). Выходное значение любой такой схемы является функцией значений входных переменных и предшествующего состояния.

В приведенной на рис. 2.4.3,б таблице истинности, которая описывает поведение асинхронного RS-триггера, предыдущее состояние схемы обозначено как Q(t). Переход в следующее состояние, обозначаемое как Q(t + 1), происходит после поступления тактового импульса. При R = 1, S = 0 триггер устанавливается в нулевое состояние Q = 0; при R = 0, S = 1 триггер устанавливается в единичное состояние Q = 1; при R = S = 0 триггер сохраняет состояние, в котором он находился до момента поступления на его входы нулевых сигналов. При R = S = 1 на прямом и инверсном входах

27