Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

6. Контрольные вопросы

Вариант 7.9

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) xy x2 xy y 0;

3. Для уравнения y 3y 2y f(x) :

а) найтиобщеерешениесоответствующего однородногоурав-

нения yоо;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) 8e4x; записать общее решение этого уравнения;

в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y(0) 1, y (0) 1, y (0) 1, y (0) 1;

г) записать частное решение с неопределёнными коэффициентами, если f(x) ex (sin2x 3x) x2.

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Вариант 7.10

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) x2y y(x y);

б) 2 x y2 dy ydx;

в) 2xy ey 2y .

221

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

2. Решить задачу Коши

2yy (y )2 0, y(1) 1, y (1) 1.

3. Для уравнения y y 2y f(x) :

а) найтиобщеерешениесоответствующего однородногоурав-

нения yоо;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) 4cosx; записать общее решение этого уравнения;

в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y(0) 1, y (0) 1, y (0) 0;

г) записать частное решение с неопределёнными коэффици-

ентами, если f(x) e x (sin x 3cosx) x2.

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

222

Приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Числа вида z x iy назовём комплексными числами. Назовём x действительной, а y мнимой частями комплексного числа z x iy и будем обозначать их соответственно x Rez, y Imz. Два комплексных числа будем считать равными, если совпадают их действительные и мнимые части. На множестве комплексных чисел введём операции сложения и умножения по формулам:

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2) (x1 x2) i(y1 y2) ,

z1z2 (x1 iy1)(x2 iy2) (x1x2 y1y2) i(x1y2 x2y1) .

Обратные операции имеют вид:

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2) (x1 x2) i(y1 y2) ,

z1 x1 iy1 (x1 iy1)(x2 iy2) (x1x2 y1y2) i(x2y1 x1y2) . z2 x2 iy2 (x2 iy2)(x2 iy2)

Каждому комплексному числу z x iy сопоставим точку (x,y) плоскости R2. Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числамии точкамиплоскости. Операция сложения комплексных чисел совпадает с операцией сложения радиус-векторов точек (x,y). Для операции умножения комплексных чисел не находится соответствующей операции над векторами.

Если действительные числа отождествить с комплексными числами вида x 0 i , то эти операции совпадают с обычными операцияминад действительнымичислами, и поэтому комплексные числа являются расширением множества действительных чисел. Из введённых выше операций над комплексными числами следует, что для комплексного числа i 0 i 1 получаем

223

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

нусом и синусом угла между радиус-вектором точки (x,y) и осью OX. Поэтому можем записать, что z z (cos i sin ) . Эта форма записи числа z называется тригонометрической формой комплексного числа. Угол при этом называется аргументом числа z. Совершенно ясно, что числа, аргументы которых отличаются на 2 , совпадают. Среди всех значений аргумента числа z выбирают значение, называемое главным, и обозначают его arg z . Наиболее удобным является выбор глав-

ногозначенияаргументаизпромежутков [0,2 ) , [ , ), , 3 .

2 2

В пакете Mathcad главное значение аргумента выбирается из промежутка [ , ) . При выборе главного значения аргумента из промежутка [0,2 ) его находят по формулам

Формулы для нахождения главного значения аргумента при выборе его из других промежутков предлагается написать самостоятельно. Все значения аргумента обозначают Arg z . Отме-

Эта форма записи числа z называется показательной формой записи комплексного числа. Так как e i cos( ) isin( )cos isin , то, складывая и вычитая с ei , получаемформулы Эйлера:

224

Приложения

Поэтому

z1z2 z1 (cos 1 i sin 1) z2 (cos 2 i sin 2)

Таким образом, мы получили, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Какследствие этих результатовполучаем формулыМуавра:

Придавая k последовательно значения 0,1,2, получаем три значения корня кубического из единицы:

но значения 0,1, получаем два значения корня квадратного из 1 i :

225

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ

Достаточно интересной для практических применений является теорема Стефана Банаха о сжимающем операторе, называемая также принципом сжатых отображений и справедливая в полных метрических пространствах [12]. Прежде чем приступать к её изложению, дадим необходимые определения.

Определение 1. Множество M элементов произвольной природы называется метрическим пространством, если каждой паре точек x,y из M поставлено в соответствие положительное число (x,y), удовлетворяющееусловиям, называемым аксиомами метрического пространства:

1)(x,y) 0 , причем (x,y) 0 x y ;

2)(x,y) (y,x) для всех x,y из M;

3)(x,y) (x,z) (z,y) для всех x,y,z из M.

Примерами метрических пространств являются следующие. 1. Множество действительных чисел R с расстоянием(x,y) x y . Справедливость аксиом 1 и 2 очевидна из свойств модуля. Из свойства x y x z z y следует со-

отношение

доказывающее справедливость аксиомы 3.

2. Множество Rn упорядоченных наборов из n вещественных чисел (векторов размерности n) x ( 1, 2,..., n) с расстоянием

Для удобства, там где может возникнуть неоднозначность, будем обозначать это пространство R2n . Справедливость аксиомы 1 следует из того, что арифметический корень всегда неотрицателен и сумма квадратов действительных чисел равна нулютогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Справедливость аксиомы 2 следует из равенств

226

Приложения

Справедливость аксиомы 3 следует из неравенства КошиБуняковского[1]. Соответствующее доказательствоможнонайти, например, в [1].

3. То же, что и в предыдущем примере, множество Rn векторов x ( 1, 2,..., n) размерности n с расстоянием

n

(x,y) i i .

i 1

Для удобства, там где может возникнуть неоднозначность, будем обозначать это пространство R1n .

Справедливость аксиомы 1 следует из того, что модуль всегда неотрицателен и сумма модулей равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Справедливость аксиомы 2 следует из равенств

Справедливость аксиомы 3 устанавливается следующей цепочкой вычислений:

В случае возникновения неоднозначности будем обозначать это пространство Rn .

Справедливость аксиомы 1 следует из того, что модуль всегда неотрицателен и максимум конечного числа модулей равен нулю тогда и только тогда, когда каждый из модулей равеннулю. Справедливостьаксиомы2 следуетиз цепочкиравенств

227

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Понятие расстояния позволяет ввести определение окрестности конечной точки в метрическом пространстве.

Определение 2. Окрестностьюточки x0 M назовем множество точек U (x0) x M : (x0,x) .

Тогда, по аналогии с определением предела последовательности в Rn [3], можем ввести следующее ниже определение предела последовательности точек метрического пространства.

Определение 3. Точка A называется пределом последовательности {an }n 1 при n, стремящемся к бесконечности

( A lim an ), если длявсякого 0 существует N, завися-

n

щее от выбора , такое, что для всех n N выполнено неравенство (A,an ) .

Последовательность, имеющуюпредел A, назовем сходящейся. Будем при этом говорить, что последовательность {an }n 1 сходится к точке A. Если же предела не существует, то последовательность назовем расходящейся. Так как бесконечно удаленная точка не является элементом из R, то числовая последовательность, имеющая пределом , является расходящейся.

Определение 4. Последовательностьметрическогопространства X называется фундаментальной, если для всякого0 существует номер N такой, что для всех n,m N выполнено неравенство (am,an ) .

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна.

228

Приложения

Доказательство. Так как A lim an , то для всякого 0

n

существует N такое, что для всех n,m N выполнены неравенства (A,an ) 2 , (A,am ) 2 , поэтому

(am,an) (A,an ) (A,am ) 2 2 .

Теорема доказана.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, то есть существуют метрические пространства, в которых не каждая фундаментальнаяпоследовательность имеет предел. Например вомножестве рациональных чисел Q с тем же, что и в R, расстоянием(x,y) x y , любая последовательностьрациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу, предела в Q не имеет.

Определение 5. Mетрическое пространство X называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится.

Приведённые выше примеры 1,2,3,4 метрических пространств являются полными метрическими пространствами.

Если в линейном пространстве C[a,b] непрерывных на отрезке [a,b] функций (см. п.5.2.3) ввести расстояние по формуле

(x,y) max x(t) y(t) ,

t [a,b]

то это пространство становится полным метрическим пространством. Заметим, что пространство, полное в одной метрике, может не быть полным в другой метрике. Если в C[a,b] ввести

расстояние по формуле (x,y) x(t) y(t) dt , то в этой метри-

ке пространство не является полным. Соответствующий пример последовательности непрерывных функций, сходящейся в этой метрике к разрывной функции, можно найти в книгах по функциональному анализу, например в [12].

Теорема (о сжимающем операторе). Пусть на полном метрическом пространстве X задан оператор A : X X (то есть переводящий X в себя) такой, что для x,y X выполняется неравенство

229

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

где 0 1 и не зависит от x и y. Тогда существует единственная точка x0 такая, что

Ax0 x0 .

Оператор A, обладающий свойством (1), называется сжимающим, а точка x0 — неподвижной точкой оператора A.

Доказательство. Пусть x0 X — произвольная точка. За-

фиксируем её на процесс дальнейших рассуждений и положим

x1 Ax,x2 Ax1,...,xn Axn 1,....

откуда и следует утверждение о фундаментальности последовательности {xn }n 1 . Так как X — полное пространство, то существует элемент x0 X такой, что

x0 lim xn .

n

Докажем, что Ax0 x0 . Для этого достаточно показать, что

(x0, Ax0) 0 . Действительно,

(x0, Ax0) (x0,xn ) (xn, Ax0) (x0,xn ) (Ax0, Axn 1)

(x0,xn ) (x0,xn 1) .

230