Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

Приложения

Таккак xn x0 при n , тодлявсякого 0 существует номер N такой, что для всех n N выполнены неравенства(x0,xn ) 2 , (x0,xn 1) 2 , и, следовательно, неравенство

(x0, Ax0) . В силу произвольности из последнего неравенства следует, что (x0, Ax0) 0 , и поэтому Ax0 x0 .

Докажем теперь единственность неподвижной точки у оператора сжатия. Предположим, что существуют два неподвиж-

Если теперь допустить, что (x0,y0) 0 , то из последнего неравенства следует, что 1 , что противоречит условию 0 1 . Полученное противоречие доказывает теорему.

Переходя в (2) к пределу при p, стремящемся к , получаем неравенство (3), служащее оценкой ошибки n-го приближения и одновременно оценкой скорости сходимости.

Замечание 1. Построение последовательности {xn }n 1 можно начинать с любой точки x. Выбор x будет сказываться лишь

нельзя заменить на более слабое (Ax, Ay) (x,y) , и даже на(Ax, Ay) (x,y) . Соответствующий пример смотри в [16 ] на странице 63.

Принцип сжатых отображений применяется для доказательства сходимости итерационных процедур, то есть процедур вида xn 1 Axn с соответственно подобранным оператором A.

Пусть A : Rn Rn — линейный оператор. Тогда Ax b 0

— система n линейных уравнений с n неизвестными. Рассмотрим оператор B : Rn Rn , действующий по формуле Bx Ax b . При b 0 B — оператор, полученный из линейного оператора A сдвигом на вектор b. При b 0 оператор B совпадает с оператором A. Найдем условия сжимаемости опе-

231

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Таким образом, мы получили условие сжимаемости оператора B, а следовательно, и оператора A:

n

max aij 1 .

1 i n i 1

Для Rn условиесжимаемости оператора B, а следовательно, и оператора A имеет вид

n

max aij 1 .

1 i n j 1

Для R2n условие сжимаемости оператора B, а следовательно,

и оператора A

n n

aji 2 1 .

i 1 j 1

Соответствующие вычисления предлагается проделать самостоятельно или посмотреть в [12].

Подводяитоги, получаем, что если систему n линейныхуравнений с n неизвестными удается записать в форме x Ax b с матрицей A, удовлетворяющей одному из полученных условий сжимаемости оператора A, то, по теореме о сжимающем операторе, последовательные приближения xn 1 Axn b сходятся к точке x0, являющейся решением данной системы линейных уравнений. Соответствующий процесс называется итерационным.

На этой идее основаны методы простой итерации и его модификации (метод Зейделя).

232

Приложения

Пусть теперь функция f(x,y) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности (см. п.5.1.4) решения задачи Коши для дифференциального уравнения y f(x,y) с начальными условиями y(x0) y0 , то есть непрерывна по совокупности переменных в некоторой области D и удовлетворяет в

ней условию Липшица по y. Перейдём к эквивалентному ин-

x

тегральному уравнению y y0 f(x,y) dx . Рассмотрим опе-

x0 x

ратор, действующий по формуле y y0 f(x,y) dx . Этот опе-

x0

ратор переводит непрерывную функцию в непрерывную.

Получим условия сжимаемости оператора B в метрике пространства C[a,b]. Имеем

Таким образом, если L b a 1, то оператор B — сжимаю-

щий. Тогда, по теореме о сжимающем операторе, решение ин-

x

тегрального уравнения y y0 f(x,y)dx , а следовательно, и

x0

задачи Коши y f(x,y) y(x0) y0 существует и единственно на отрезке [a,b].

233

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

234

Приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

1. dx 1a d(ax) 1a d(ax b) , где a и b — некоторые числа.

4.exdx d(ex) d(ex b) ;

5.cosxdx d sin x d(sin x b) ;

6.sin xdx d cosx d(cosx b) ;

dx

7. cos2 x dtgx d(tgx b) ;

dx

8. sin2 x dctgx d(ctgx b) ;

dx

9. 1 x2 d(arctg x) d(arcctg x) ;

235