Общая теория связи

21

2) Расстояние между двумя непрерывными сигналами U t и V t , т.е. расстояние между точками, отображающими эти сигналы в евклидовом пространстве,

также может принимать любые неотрицательные значения 0 d . Расстояние между двумя двоичными последовательностями S и C – это

расстояние Хэмминга

комбинациями численно равно количеству символов, в которых они отличаются одна от другой. Возможные значения расстояния Хэмминга

d0;1; 2; ...; n. .

3)Скалярное произведение двух векторов U и V, отображающих непрерывные сигналы, равно

Эти два сигнала считаются ортогональными, если U, V 0.

4) Линейная независимость системы N функций U1 t , U2 t ,..., UN t , как

и системы, состоящей из N векторов, заключается в том, что никакая из этих функций не может быть представлена в виде взвешенной суммы остальных функций, например

при любых значениях коэффициентов K j .

Для системы, состоящей из N двоичных n-разрядных комбинаций, определение линейной независимости аналогично, но при этом предполагается поэлементное суммирование комбинаций по mod 2, а весовые коэффициенты K j – двоичные цифры.

Перечисленные свойства системы N функций U1 t , U2 t ,..., UN t в ев-

клидовом пространстве удобно задать в виде симметрической матрицы Грама

22

а ортогональной системе функций соответствует диагональная матрица Грама.

Система функций называется нормированной, если все сигналы обладают единичной энергией ( jj 1 при всех j). Для такой системы величина

В заключение следует сделать одно замечание. Используя последовательность чисел-отсчётов u1,u2 ,...,un для описания непрерывного сигнала, мы

произвольно задавали их количество и даже использовали условие t 0 , n . Отсюда может сложиться впечатление, что всегда можно сформировать сколь угодно независимых или ортогональных сигналов. Теоретически это верно, но на практике всегда существуют ограничения на длительность сигнала tc T и ширину его спектра fc F . Тогда максимальное число отсче-

тов, значения которых можно задавать произвольно, не нарушая заданных

Вопросы для самоконтроля по главе 1

1.В чем разница понятий “информация” и “сигнал”?

2.Приведите примеры радиоэлектронных устройств, предназначенных не для передачи информации.

3.Назовите два основных признака того, что сигнал не несет информации.

4.Почему для математического описания сигналов используют вероятностные модели?

5.Может ли детерминированный сигнал переносить информацию?

6.Какие случайные события (величины) называются независимыми?

7.Что нужно задать для полного вероятностного описания: символа? последовательности символов?

8.Сформулируйте, в чем состоит отличие цифрового сигнала от дискретного, от непрерывного.

23

9.Сформулируйте, в чем состоит отличие цифрового сигнала от дискретного, от непрерывного.

10.Что нужно задать для полного вероятностного описания: последова-

тельности отсчетов сигнала? непрерывной случайной функции?

11.В чем отличие аддитивной помехи от мультипликативной? Приведите примеры каналов связи с такими помехами.

12.Какие преимущества дает представление сигналов как элементов векторного пространства?

13.В чем отличие Евклидова пространства от пространства Хэмминга? 14.Будут ли линейно независимые сигналы ортогональными?

24

2 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ

2.1 Модель системы передачи информации

На рисунке 2.1 представлена укрупненная схема системы передачи информации (СПИ).

Источник информации – объект, состояние которого интересует получателя. Обозначим передаваемое сообщение как X(t).

Получатель – объект, например человек, который, наблюдая конкретную реализацию сигнала y(t), пытается как можно точнее определить значение переданного сообщения x(t), т.е. сформировать оценку xˆ(t) f [ y(t)]. Зачастую такая оценка формируется уже в приемнике.

Линия – это среда, в которой распространяются сигналы из пункта передачи в пункт приема (электрический или оптический кабель; атмосфера, в которой распространяются радиоволны).

Источник помех – условное обозначение совокупности объектов, воздействие которых приводит к тому, что сигнал на выходе линии v(t) случайным образом отличается от сигнала u(t) на ее входе. В разделе 1.5 были рассмотрены основные виды помех. Следует отметить, что, в принципе, подобные помехи существуют во всех точках тракта передачи от источника информации до получателя, но степень искажения сигнала в наибольшей мере зависит от отношения энергий сигнала и помехи (отношение сигнал/помеха). При передаче по линии большой протяженности сигнал существенно ослабляется, поэтому решающим оказывается влияние помех, возникающих в линии передачи.

В широком смысле функции передатчика можно определить как согласование источника информации с линией. Более конкретно, передатчик выполняет такие функции, как преобразование передаваемого сообщения в форму, пригодную для передачи сигнала по конкретной линии (перевод сообщений в форму электрических или оптических сигналов; квантование непрерывного сигнала, преобразование его в последовательность символов;

25

модуляция несущей передаваемым сообщением и т.п.).

Задача приемника заключается в том, чтобы по принятой реализации v t угадать, какая именно из возможных реализаций сообщения x t была

передана.

Можно сформулировать две крупные статистические задачи, отно-

сящиеся к СПИ в целом.

Задача статистического анализа конкретной СПИ заключается в определении количественных значений основных показателей (скорости пе-

редачи информации и помехоустойчивости) в ситуации, когда заданы спосо-

бы преобразований сигналов во всех звеньях тракта и их количественные характеристики.

Задача статистического синтеза СПИ заключается в выборе наилучших способов преобразований сигналов, позволяющих построить оптимальную систему. При этом бессмысленно требование одновременно обеспечить максимальные значения обоих показателей, поскольку повышение скорости передачи при прочих постоянных условиях, как правило, ведет к снижению помехоустойчивости и наоборот. Поэтому оптимальной можно назвать та-

кую СПИ, которая при заданной скорости передачи обеспечивает максимально возможную помехоустойчивость, либо при заданной помехоустойчи-

вости – максимальную скорость. При корректном решении задачи синтеза оба критерия приводят к одному и тому же результату.

Наиболее сложной в математическом отношении является задача совместной оптимизации способа передачи и способа приема. Впервые такую задачу удалось решить (разумеется, частично, по отношению к кодеру и декодеру цифровой СПИ) в 1948 году Клоду Шеннону – творцу теории информации. Насколько сложной (с точки зрения теории и при практической реализации) является задача полного синтеза СПИ даже при самых благоприятных условиях ее функционирования, мы попытаемся показать в разд. 2.13. Поэтому наибольшее количество работ посвящено задаче частичного синтеза СПИ, а именно, оптимизации способа приема при заданных характеристиках передатчика и линии с помехами. Более того, по той же причине зачастую рассматриваются “наилучшие” способы реализации тех или иных операций над сигналами в передатчике или в приемнике (кавычки здесь использованы потому, что при этом обычно нет уверенности в том, являются ли наилучшими и другие операции над сигналами в остальных звеньях передатчика и приемника).

Поэтому и мы при изучении курса обычно будем говорить об оптимизации отдельных звеньев передатчика и приемника. Для этого кратко охарактеризуем назначение и суть основных преобразований, которым подвергается электрический сигнал в передатчике и приемнике СПИ. При этом из соображений удобства будем оперировать либо самим сигналом u(t) , принимающим действительные значения, либо его спектром S( ) . Известно, что

27

значения функции u(t) с шагом t (разд. 2.4).

Во-вторых, это квантование по уровню, то есть преобразование непрерывной случайной величины u, заданной на интервале (uн, uв), в дискретную случайную величину (m-ичный символ). Обычно m=2k, где k – целое число, и для реализации этого преобразования достаточно последовательно провести k операций сравнения величины u с заданными опорными значениями (разд.

2.6).

Дискретный сигнал u0 ,...,un 1 (разд. 1.3) обычно получается в результате квантования по времени на интервале 0 t n t c шагом t непрерывного сигнала u(t) , поэтому он может подвергаться тем же преобразованиям, но в несколько иной форме.

Преобразования (2.1) проводятся в форме прямого и обратного дискретных преобразований Фурье (ДПФ)

ключен в интервале 0... 21 t .

Такие преобразования выполняются в числовом процессоре с использованием операций над числами с плавающей точкой, при этом применяется более экономный алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Фильтрация дискретного сигнала проводится при помощи цифрового фильтра (разд. 2.7).

Пожалуй, наиболее разнообразным и интересным оказывается набор преобразований цифровых сигналов.

Сигналом, применяемым для передачи символа, обычно является импульс тока или напряжения, поэтому естественно, что имеется широкий набор элементарных преобразований, необходимых для преобразования формы импульсов, изменения порядка их следования, хранения, выполнения ряда логических операций и т.п. (разд.2.2).

Более сложные преобразования, в которых участвуют целые группы символов, объединены под общим названием “кодирование”. Типичная ситуация такова. На вход кодирующего устройства поступает последовательность m-ичных символов длиной k (всего возможны Nвх = mk вариантов), и в ответ кодер выдает на выход последовательность таких же m-ичных символов длиной n (всего возможны Nвых = mn вариантов).

Различают три вида кодирования 1. Кодирование источника с целью сокращения избыточности, содер-

28

жащейся в сигнале, то есть представление сигнала u(t) в наиболее экономном виде так, чтобы в конечном итоге произведение его длительности на занимаемую полосу частот было минимальным. Например, безызбыточное кодирование позволяет передать сообщение, используя минимальное количество символов n в последовательности на выходе кодера, в итоге оказывается n < k. Добиться такого результата можно лишь в том случае, когда возможные сигналы на входе кодера имеют существенно разные вероятности. Точнее, среди возможных последовательностей имеются столь маловероятные экземпляры, что можно даже не резервировать сигналы для их передачи, будучи почти уверенными в том, что ни одна из них на входе кодера не появится. Результат такого кодирования – это повышение скорости передачи информации

(разд. 4.2).

2.Канальное (помехоустойчивое) кодирование, т.е. формирование циф-

рового сигнала u(t) таким образом, чтобы в процессе приема появилась возможность обнаружить и исправить большую часть ошибок, возникших в принятом сигнале v(t) из-за влияния помех. Эта операция, наоборот, обычно требует введения в передаваемый сигнал дополнительных, избыточных элементов, в итоге окажется n > k. Обсуждению проблем помехоустойчивого кодирования почти целиком посвящен разд. 3.

3.Шифрование, т.е. использование такого кода, способ декодирования которого известен лишь законному адресату (при этом обычно n = k).

Можно заметить, что передача сигналов во многом напоминает обычную транспортировку грузов из одного пункта в другой. Различные предметы перевозят лишь потому, что они несут в себе возможность удовлетворения некоторых человеческих потребностей (сигналы передают ради информации,

вних содержащейся). В чем высшая суть этих потребностей, вряд ли кто сможет сформулировать, хотя и предлагается немало способов, как количественно оценить степень их удовлетворения (в настоящее время имеется несколько различных способов определения количества информации, содержащейся в сигнале).

Вагон, движущийся по рельсам (линия передачи), имеет ограниченный объем, поэтому естественной является задача экономной укладки груза, даже путем частичной разборки некоторых громоздких конструкций (задача безизбыточного кодирования), при этом в пункте назначения проводится сборка.

Разумеется, такая экономная укладка допустима лишь в случае, когда в пути отсутствуют факторы, способные испортить груз (помехи). Для защиты от вредных воздействий приходится перевозить дополнительные предметы – упаковку (помехоустойчивое кодирование). В пункте назначения упаковка, выполнившая свою функцию, отделяется от полезного груза (удаление избыточных символов после обнаружения и исправления ошибок).

Итак, можно наметить следующий порядок преобразований сигнала в

29

передатчике цифровой системы.

1)Аналого-цифровое преобразование, т.е. преобразование непрерывного сигнала в последовательность символов.

2)Кодирование источника.

3)Шифрование.

4)Канальное кодирование.

5)Модуляция гармонической несущей передаваемым сигналом с целью переноса его спектра в выделенную полосу частот.

6)Расширение спектра (такое преобразование, в результате которого ширина спектра сигнала u(t) на входе линии оказывается существенно больше, чем та ширина, которая была бы минимально необходима для нормальной передачи этого сообщения), например, для обеспечения скрытности передачи.

Разумеется, не все перечисленные операции необходимо проводить в каждой СПИ, и последовательность перечисленных преобразований может несколько отличаться от указанной. В приемнике, естественно, проводятся обратные преобразования.

В заключение отметим те дополнительные операции с сигналами, которые нужно проводить в том случае, когда для одновременной передачи

сигналов от нескольких источников используются общие ресурсы.

1)На рис. 2.1. изображена схема симплексной СПИ, предназначенной для передачи информации в одном направлении. Для организации одновременной двусторонней передачи, например, в телефонии, с использованием общей линии, необходимо решить проблему дуплексирования, т.е. сформиро-

вать сигналы uп(t) и uо(t) таким образом, чтобы при приеме разделять сигналы прямого и обратного направлений без их взаимного искажения.

2)Для одновременной передачи сигналов от n источников, находящихся на одном конце общей линии, к n получателям, находящимся на другом ее конце, осуществляется уплотнение (мультиплексирование) предварительно преобразованных сигналов (обычно это суммирование). Для этого передаваемые сигналы должны иметь такой вид, который позволяет в пункте приема выделять каждый сигнал из суммы и направлять своему получателю без взаимных искажений. Такая система называется многоканальной (n-канальной)

СПИ.

3)В системах радиосвязи обычно возникает потребность в совместном использовании общего ретранслятора-приемопередатчика, находящегося на базовой станции в системах сотовой связи или на ИСЗ. При этом все источники и все получатели находятся в различных пунктах. Такая организация совместной работы называется многостанционным (множественным) до-

ступом, при этом, в основном, используются те же методы, что и при многоканальной связи.

4)При построении системы обмена информацией (сети электросвязи),