r

= 8 % годовых -

действующая процентная ставка в момент инвестирования.

Значения цен и дюраций облигаций A1

и A2 в момент t = 0:

P

0

= 103,566,

D

0

= 1,910; P

0

= 106,624, D

0

= 3,504.

1

1

2

2

решить систему:

3,504213x 3,

1, 910596x

1

2

x

x

1,

1

2

x

0,

x

0.

1

2

Так как D

0

3

D

0

, то система разрешима.

x

0

= 0,316396 – доля облигаций 1-го

1

2

1

вида в портфеле, x

0

= 0,683604 – доля облигаций 2-го вида.

2

Таким образом, в начальный момент времени сформирован портфель

облигаций

(V

0

,V

0

) ,

0

1

2

стоимость которого равна V = 1000 д.е. Сумма инвестиций в облигации каждого

вида V 0 x0V

= 316,395; V 0

x0V = 683,604. Дюрация портфеля совпадает с

1

1

2

2

t

1

2

3

4

i

0

94,663

400,163

64,113

705,247

R

i

Проверка иммунизации портфеля

0

Сразу после t

= 0 процентные ставки изменились с

r

= 0,08 на

r1

= 0,09 и

В момент t 1 от портфеля

0

поступает первый платеж R0

= 94,663391.

1

Стоимость инвестиции в портфель 0

в момент t 1 равна

x 2,738954x

2

2,

1

x

x

1,

1

2

x

0,

x

0.

2

1

1

1

, то система разрешима.

1

= 0,424 – доля облигаций 1-го

Так как D 2 D

x

1

2

1

вида в новом портфеле,

1

x = 0,575 – доля облигаций 2-го вида.

2

Таким образом, в момент t 1

сформирован портфель облигаций

(V1,V1) ,

1

1

2

стоимость которого

V1 V 0 (r ,1)

= 1060,329018

д.е. Инвестиции в облигации

1

каждого вида V

1

1

1

= 450,577 д.е.;

V

1

1

1

= 609,751 д.е. Дюрация этого

x V

x V

1

1

2

2

t

2

3

4

i

Ri1

550,599

59,469

654,167

где i

= 1, 2, 3 – номер платежа от портфеля 1 .

Проверка иммунизации портфеля 1

в момент

t

= 1. Обозначим через

vi

и

yi , где

i

= 1, 2, денежные суммы,

переформировании портфеля. Тогда в момент

t

= 1 облигации A1 куплены в

количестве:

на сумму 0,464

1

= 0,464·102,531 = 47,611 =

y

.

P

2

2

Поступивший в момент t = 1 платеж R0

= 94,663. Имеем равенство

1

v

R0

y

1

1

2

облигаций в

момент t

=1 происходит следующим образом. На поступивший

платеж R0

и выручку

от продажи части облигаций одного вида покупаются

1

момент t = 1, т.е. P1 , P1

1

2

Момент времени t

= 2.

От портфеля

поступает платеж R1

= 550,599 д.е. Облигация

A

1

1

1

погашена. На рынке действует ставка

r2 = 0,04. Дюрация портфеля 1 в момент

1

A

, оставшихся в портфеле.

t = 2 равна D = 1,910 – дюрации облигаций

2

2

Инвестиционный горизонт портфеля

1 в момент

t

= 2 равен 1 году. Так как

стоимость инвестиции в 0

в момент t T

равна (формула 4.13):

V

0

(r ,T ) V

0

(r,T ) .

(5.16)

1

Таким образом, портфель

0

иммунизирован против изменения

процентных

ставок на рынке до момента t1 .

Момент времени t t1

. Переформирование портфеля облигаций.

Таким образом, в момент времени

t1 инвестор располагает денежной суммой

n

0

R10

и портфелем облигаций стоимостью

Ri

. Инвестиционный горизонт

i 2 (1

r1)ti t1

портфеля составляет

(T t1 ) лет. Чтобы

обеспечить равенство дюрации

портфеля (T t1 ) годам, портфель необходимо переформировать.

Опишем условия, в которых происходит переформирование портфеля 0 в

момент t1 :

переформирование

портфеля

потребует

от

инвестора трансакционных

расходов;

рыночный уровень доходности

r1 ;

m

1

j

T

1

x

D

j

t ,

j 1

m

(5.18)

x j

1,

j 1

x

0,

j 1,..., m.

j

Пусть

1

1

1

– решение

этой

системы. Для переформирования

x

, x

,..., x

1

2

m

продаже облигаций удерживаются комиссионные, то часть стоимости

V

0

(r ,t

)

1

1

через C .

Пусть v j , y j ,

где

j 1,2,...,m

– денежные суммы, затраченные на

покупку,

и вырученные

от

продажи

облигаций соответственно. Тогда

Стоимость портфеля равна

V1 V 0 (r ,t ) C1 . Инвестиции в облигации каждого

1

1

вида составляют V 1

x1V 1

,

j 1,2,...,m . Дюрация этого портфеля равна его

j

j

сроку (T t1 ) лет. Планируемая стоимость инвестиции в портфель 1

на момент

T равна

V1(r ,T ) V1(1 r )T t1 .

(5.20)

1

1

не будут, то фактическая стоимость инвестиции в 1

в момент t T

равна

1

1

1

T t

R

(r , T )

i

V

R (1 r )

i

T

. (5.22)

t

2

i

2

(1

r

i 1;t T

i 1;t T

) i

2

i

i

Согласно иммунизирующему свойству дюрации портфеля

V

1

(r

,T ) V

1

(r ,T ),

(5.23)

2

1

Следовательно, портфель

1

иммунизирован

против изменения

процентных

ставок сразу после t1

(или до момента t2 ).

момент процентную ставку до окончания срока

T . Вследствие наличия

Вид

Номинал

Купонная

Число платежей за

Срок до погашения

облигации

(д.е.)

ставка

год

(годы)

А1

100

8 %

1

2

А2

100

8 %

1

4

Затраты на формирование портфеля

V (1 Cb )

10 050 д.е.

Комиссионные

Cb Ca

0,5%

Сумма инвестиций в портфель

V

10 000 д.е.

Срок инвестиций

T

3 года

Рыночная ставка для всех сроков в момент 0

r

10%

Рыночная ставка для всех сроков сразу после 0

r

9%

1

Рыночная ставка для всех сроков сразу после 1

r

8%

2

r

= 10% годовых - действующая процентная ставка в момент

P

0

= 96,528,

D

0

= 1,924;

P

0

= 93,660,

D

0

= 3,561.

1

1

2

2

3,561x

3,

1,924x

1

2

x

x

1,

1

2

x

, x

0.

1

2

t

1

2

3

4

i

R0

845,441

4399,986

561,077

7574,548

i

Проверка иммунизации портфеля 0 .

Сразу после t = 0 процентные ставки изменились с r = 0,1 на

r1

= 0,09 и

проверить иммунизацию портфеля 0 .

Планируемая стоимость инвестиции в портфель на момент

T

= 3 года

равна:

V

0

(r, 3) = 10000(1 + 0,1)3 = 13 310,00.

Фактическая стоимость инвестиции в портфель на момент Т = 3 года равна:

V

0

(r ,3)

= 845,441 (1 + 0,09)2 + 4399,986 (1 + 0,09) +

1

Так как V

0

(r ,3) V

0

(r,3)

, портфель

иммунизирован против

изменения

0

1

процентных ставок сразу после t = 0.

Момент времени t 1

. Переформирование портфеля облигаций.

От портфеля

0

поступает первый платеж

R

0

= 845,441287.

Стоимость

1

инвестиции в портфель 0

в момент t

= 1 равна

момент действия ставки

r1

= 0,09. Цены и дюрации облигаций в момент

t = 1:

1

1

1

1

P

= 99,082, D = 1;

P

= 97,468; D = 2,780.

1

1

2

2

Чтобы в момент

t

=

1

сформировать

новый иммунизированный

портфель

облигаций, дюрация которого равна 2 годам, необходимо решить систему:

x

2,780x 2,

1

2

x1 x2 1,

x1, x2 0.

73

Решение системы:

1

= 0,438;

1

= 0,561.

x

x

1

2

C – величина трансакционных расходов на переформирование портфеля;

Cb Ca

= 0,005 – комиссионные при покупке и продаже облигаций

V1

x1V1

= 4906,198 д.е.; V1

x1V1

= 6287,452 д.е. Дюрация этого портфеля

1

1

2

2

1

приведен в таблице:

t

2

3

4

i

1

5863,815

516,059

6966,799

R

i

где i = 1,

2, 3 – номер

платежа от портфеля 1 .

Проверка иммунизации портфеля 1 .

Сразу после

t 1 процентные ставки снизились с

r1

= 0,09 до

r2

= 0,08 и

Планируемая стоимость инвестиции в портфель

1 на момент

T 3

года

равна:

V

1

(r ,3) = 11193,651503 (1 + 0,09)2 = 13299,177.

1

Фактическая стоимость инвестиции в портфель на момент T 3

года равна:

Так как

V

1

(r

,3)

>

V

1

(r

,3)

, портфель

иммунизирован против изменения

2

1

1