5.1. Иммунизация портфеля облигаций без трансакционных расходов

Пусть

V

– сумма, которую в момент

t

= 0 инвестор вкладывает в покупку

(инвестиционный горизонт) –

T

лет. От этой инвестиции он рассчитывает

Момент времени

t

= 0. Формирование иммунизированного портфеля

облигаций.

Портфель формируется из

m

видов облигаций без кредитного риска.

P

0

и

j

D0j – цены и дюрации облигаций в момент t

= 0 ( j 1,2,...,m ).

после

t

= 0 необходимо,

чтобы дюрация портфеля совпадала с его

инвестиционным горизонтом

T

лет (принцип Реддингтона). Следовательно, в

момент t

= 0 портфель должен быть сформирован в соответствии с решением

системы:

m

x j D0j T ,

j 1

(5.1)

m

x j 1,

j 1

x

j

0, j 1, 2,..., m.

Если

срок

портфеля

T

лет

удовлетворяет

неравенству

min D0j

T

max D0j

, то система (5.1) разрешима. Пусть

x10, x20,..., xm0 –

j

j

V

0

(r,T ) V (1

T

(5.2)

r) .

Дюрация портфеля 0

равна его сроку

T лет.

Ожидаемый поток платежей от этого портфеля

R

0

, R

0

,..., R

0

в моменты

1

2

n

времени t1,t2 ,..., tn .

Если сразу после формирования портфеля (или до момента

t1 , первого

платежа от портфеля)

процентные ставки изменились

до

значений

r1

и

стоимость инвестиции в 0

в момент t T

равна (формула 4.13):

V 0 (r1, T )

Ri0 (1 r1)T ti

Ri0

.

(5.3)

r1)ti T

i;t T

i;t T (1

i

i

n

R0

и портфелем облигаций стоимостью

i

. Инвестиционный горизонт

(1

r1)ti t1

i 2

портфеля составляет (T t1) лет.

Чтобы

портфель был иммунизирован от

62

t1

лет. Поэтому в момент t1 портфель должен быть сбалансирован заново так,

чтобы обеспечить равенство его дюрации (T t1) годам.

Опишем условия, в которых происходит переформирование портфеля

0 в

момент t1

:

1

1

1

–

решение этой системы. Тогда в момент t t сформирован

Пусть x

, x

,..., x

1

2

m

1

портфель

(V

1

, V

1

,..., V

1

) ).

1

1

2

m

Для переформирования

портфеля

часть облигаций

придется

купить,

часть –

продать. При этом поступивший платеж

R

0

реинвестируется в облигации. Так как

1

при покупке

и

продаже

облигаций

трансакционные

расходы

отсутствуют, то

стоимость портфеля

равна V

1

V

0

(r ,t )

(см. (5.6)). Инвестиции в облигации

1

1

1

1

1

1

1

0

(r1,t1), j

1, 2,..., m . Дюрация этого

каждого вида составляют V j

x jV

x jV

портфеля равна его сроку

(T t1)

лет. Планируемая стоимость инвестиции в

портфель 1

на момент

T

равна

V

1

(r ,T ) V

1

T t

.

(5.8)

(1 r )

1

1

1

Заметим, что V1 V 0 (r ,t ) V

0 (r )(1 r )t1

(см. формулу (4.15)). Тогда

1

1

1

1

V

1

(r ,T )

V

0

T t

V

0

(r )(1

T

V

0

(r ,T )

(см.

(5.5)).

Таким

(r ,t )(1 r )

1

r )

1

1

1

1

1

1

1

образом,

V

1

(r ,T ) V

0

(r ,T )

(5.9)

1

1

–

планируемая

стоимость

инвестиции

в портфель

1

на момент

T

равна

фактической стоимости инвестиции в портфель 0 на момент T .

Ожидаемый поток платежей от этого портфеля

R11, R21 , ..., Rn1 1

в моменты

времени

t2 ,..., tn .

V

1

(r

,T ) V

1

(r ,T ) V

0

(r ,T ) V

0

(r,T ) V (1

T

(5.12)

r) .

2

1

1

Таким образом,

в отсутствие

трансакционных расходов

сумма

V (1 r)

T

портфеля можно повторить в момент

t2

, когда поступит платеж от портфеля.

Вид

Номинал

Купонная

Число платежей

Срок до погашения

облигации

(д.е.)

ставка

за год

(годы)

A1

100

10%

1

2

A

100

10%

1

4

2

после формирования портфеля, 8 % годовых – непосредственно после момента

t

= 1.

Сумма инвестиции (д.е.)

V

1000 д.е.

Срок инвестиции (годы)

T

3 года

Рыночная ставка для всех сроков в момент 0

r

8%

Рыночная ставка для всех сроков сразу после 0

r1

9%

Рыночная ставка для всех сроков сразу после 1

r2

8%