Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математические методы финансового анализа..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Так как Cov(

(где

( x

)

) z

min

i 1

zi i zT ), то в результате эффективное множество в системе

i 1

координат ( x , x ) будет определяться следующими формулами:

min

6.4. Модель Марковица с безрисковым активом


Пусть инвестор формирует портфель из N	рисковых активов Ai , i 1, N с
	N
вектором ожидаемых доходностей μ ( i )i1 и матрицей ковариаций V (Vij
и безрискового актива A с детерминированной доходностью .
0	0
Предполагается, что i 1,...,N : и матрица ковариаций V
i	0

положительно определена, т.е. решение задачи оптимизации существует и единственно. Для любого портфеля x из достижимого множества

i, j 1

, x ,...,

имеем:

x x0 0 xi i ,

i 1

или в векторной форме

xi x jVij

i 1 j 1

, x (x

, ..., x

)

где

(1, ...,1) R

x		N
x	N	):	x 1
	N		i
		i0

x x0 0 μT x,x2 xTVx,

(6.8)

Определение эффективного портфеля может быть сведено к следующим задачам оптимизации.

1. Если критерием оптимальности является минимальный риск при заданном значении m ожидаемой доходности портфеля, то получаем задачу оптимизации:

xTVx min

0x0 μT x m,

x eT x 1.
0
Решение задачи находится из системы N 3	линейных уравнений с N 3

неизвестными:

где

																85
									0,
									1		0				2
									2Vx μ e 0,
									x						1			2
									x			μ					x m,
									0		0				T
									0		0
									x	e			T		x	1,
									x	e					x	1,
									0
		,			– множители Лагранжа. Получаем:
1			2
								1	(m )						T		1		e),
							x				0				T		1
							x							e V			(μ
							0		d	2										0
										2
																(m )
							x (x ,					T				(m )					1
							x (x ,		..., x		N	)								V	(μ e).
								1			N						d	2			0
																		2

d	2				T	V	1	(μ e)
d				(μ e)		V		(μ e)
					0				0

Решая задачу оптимизации для каждого m [ 0, max{ i, i 1, N}], получаем эффективное множество, которое в случае существования безрискового

актива будет иметь в системе координат (	x	,	x	) форму луча (рис. 6.4).
	x		x
Для справки

2 x

x	T	Vx			(m				0
	T								0
							4
						d	4
						d
				(m			0	)
			x				0
						d


		x			0	d
		x			0

0 xmin

)

2 (μ

m 0

	T	1	(μ	e)
0	e) V
			0
d x ; так как x

(m		)	2
(m		)
	0		,
	2		,
d	2
d

	x	T x
0	0

, то

Рис. 6.4. Эффективное множество при наличии безрискового актива

2. Если эффективный портфель определяется с учетом отношения инвестора к риску, то задача оптимизации будет иметь следующий вид:

2	( x			T	T
2	( x			μ x) x Vx max
	0	0
x	e	T	x 1,
x	e		x 1,
0

где 0

характеризует терпимость инвестора к риску. Решение задачи

находится из системы N 2	линейных уравнений с N 2	неизвестными:
	2 0,
	0
	2 μ 2Vx e 0,
	T
	x e x 1,
	0
где – множитель Лагранжа.

Решение имеет вид:

(6.9)

x V	1	(		T		1	(
x V		(	e) , x	1 e	V		(	e) .
		0	0				0

Таким образом, эффективный портфель можно представить в следующем виде:

(x , x ,..., x

)T x

(z z) ,

(6.10)

0 1

min

где x

N 1

– портфель с минимальной дисперсией, для

min

(1, 0,..., 0)

которого

;

( e);

z e V

z (z ,...,z

– вектор, обладающий свойством: z

0 , причем:

)

i 1 i

z V 1 ( e)

Решая задачу оптимизации для каждого 0

, получаем эффективное множество

(рис. 6.4) в виде луча.

Докажем, что в случае наличия безрискового актива эффективное множество в
системе координат (										x	,		x			) является лучом.
										x			x
	2	xTVx 2				( e)T V 1VV 1( e)
	x										0													0
		2			T		V	1	( e)										2	d		2	,	где d		2					T	1	( e) .
			( e)				V		( e)											d			,	где d			( e) V						( e) .
				0											0															0				0
Таким образом,						x d												1										T		1
				x	T	x										T		1			( e)							T	V	1	(			e)
	x		0	0					0															0									0
( e)T V						1( e) d 2																		.
				0								0					0							0
Окончательно получим:														x		d 2								d	x				, т.е. получили уравнение луча
														x								0			x		0
с началом в точке								(0, 0 ) , которая соответствует портфелю с минимальной

дисперсией xmin (1, 0,..., 0) . Луч будет касаться эффективного множества, не

имеющего безрискового актива (рис.6.4). Точка касания R соответствует портфелю, состоящему только из рисковых активов. Любая точка L слева от характеризует портфель, для которого x0 0 , т.е. когда инвестор делает

вложения в безрисковый актив. Для любой точки B справа от R x0 0 , т.е. инвестор заимствует безрисковый актив.

6.5. Модель Марковитца в случае наличия дополнительных линейных

ограничений

Предположим, что инвестор формирует портфель из N рисковых активов с

вектором весов x (x )N

, вектором ожидаемых доходностей

i 1

μ (

)

( i j :

, i, j 1,N)

и положительно определенной матрицей

i 1

ковариаций V (V )

. При этом существуют дополнительные линейные

i, j

ограничения на эффективное или достижимое множество, например, запрет на

осуществление короткой продажи	x 0,	i 1,N		или требование покупки одних
	i		K 1,...,N и т.д. Отметим, что
активов за счет продажи других:	xk 0 , где		K 1,...,N и т.д. Отметим, что
k K

ограничение на достижимое множество (6.1) может принять следующую форму:

N x 1.i i1

Задачу оптимизации в случае наличия дополнительных линейных ограничений можно сформулировать в общем виде следующим образом:

2 μ x x Vx max

(6.11)

Ax b

где A

– матрица [M , N], b – вектор [M ,1], определяющие ограничения на

достижимое или эффективное множество.

Функция Лагранжа определяется следующим образом:

(Ax b),

L(x,λ) 2 μ x x Vx λ

где λ

( ,...,

) – вектор множителей Лагранжа. В соответствии с теоремой

Куна-Таккера решение задачи (6.11) должно удовлетворять системе:

2 μ 2Vx A λ 0

(Ax b) 0

i 1,M

Решением системы является кусочно-непрерывная функция x*( ) , имеющая

разрывы в некоторых точках

,...

, в которых не выполняются ограничения

задачи оптимизации. Следовательно, эффективное множество в системе

координат	(	x	,	x	)	будет также кусочно-непрерывным (рис.6.5).
		x		x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023696.39 Кб9Математические методы финансового анализа. Индивидуальные задания.pdf
#
05.02.2023161.79 Кб13Математические методы финансового анализа.-1.pdf
#
05.02.20232.9 Mб11Математические методы финансового анализа.-2.pdf
#
05.02.2023498.84 Кб2Математические методы финансового анализа.-3.pdf
#
05.02.2023791.63 Кб7Математические методы финансового анализа.-4.pdf
#
05.02.20232.72 Mб9Математические методы финансового анализа..pdf
#
05.02.2023426.72 Кб2Математические модели в экономике.-1.pdf
#
05.02.2023971.14 Кб2Математические модели в экономике.-2.pdf
#
05.02.20231.09 Mб6Математические модели в экономике.-3.pdf
#
05.02.20231.04 Mб2Математические модели в экономике.-5.pdf
#
05.02.20232.41 Mб22Математические модели в экономике..pdf