Квантовая и оптическая электроника

81

Одновременно с этим электромагнитное поле будет взаимодействовать с атомами, находящимися в состоянии E2, и индуцировать их в состояние E1. При каждом переходе 2 → 1 атом излучает квант энергии ħω21. Главная особенность этого процесса в том, что излученное атомом поле является точной копией поля, индуцировавшего переход. Оно тождественно с ним по частоте, фазе, поляризации и направлению распространения. Благодаря этому исходное поле усиливается. Рассмотренный процесс излучения электромагнитных волн носит название индуцированного или вынужденного излучения и является основой работы квантовых устройств. Излучение может быть и самопроизвольным или спонтанным, при котором атом сам по себе совершает переход 2 → 1. При этом излучаемое поле не согласованно с исходным ни по фазе, ни по направлению, ни по поляризации и представляет лишь некоторый шум. Усиления поля при спонтанном переходе не происходит.

Мощность, излучаемая атомами при индуцированных переходах сверху вниз (2 → 1), равна

Суммарная мощность, поглощенная атомами, очевидно равна

В условиях термодинамического равновесия N1 > N2 и, следовательно, P > 0, что обозначает поглощение электромагнитных волн. Если же создать такое состояние вещества, при котором

то в этом случае P < 0. Это обозначало бы усиление электромагнитных волн. В создании ситуации, соответствующей неравенству (5.7), и состоит основная идея получения квантового усиления. Оказывается, что существует достаточно много способов достижения такого состояния вещества, при котором более высокие энергетические уровни имеют большую населенность, чем нижележащие. Если это случается, то говорят, что в среде имеет место инверсия населенностей энергетических уровней. Среду, в которой осуществлена инверсия населенностей, будем называть активной средой. Ниже мы рассмотрим некоторые способы создания инверсии населенности, реализуемые в различных приборах.

82

речного сечения 1 см2 (рис. 5.1) будет определяться следующим образом.

Найдем изменение энергии в слое dz на расстоянии z. Число внутренних переходов с поглощением энергии в слое

dz в единичном частотном интервале в единицу времени определяется зависимостью

Спонтанные переходы на процесс взаимодействия поля с веществом не влияют. Изменение энергии электромагнитного поля в слое dz в единицу времени, то есть изменение мощности, равно

= −[b12 (ω) N2 − b21(ω)N1] ρωHω21dz . (5.11)

Так как в оптике часто применяется сколлимированный пучок света, который характеризуется плотностью мощности (ин-

тенсивностью), то необходимо ввести понятие интенсивности I(ω) (Вт/м2Гц) и ρ(ω) = I(ω)/c, F (ω) = I (ω) / Hω).

Объемная плотность энергии ρω связана с поверхностной

83

где ϑгр — групповая скорость волны в данной среде. Для свето-

В левой части равенства (5.13) отмечено, что мощность является функцией координаты частоты ω. Для определения энергетического эффекта взаимодействия поля и вещества с учетом спектральных зависимостей коэффициента усиления и интенсивности усиливаемого излучения I(ω) необходимо проинтегрировать спектральные плотности мощности, отдаваемой веществом полю. Предположим пока, что объемная плотность энергии поля настолько мала в любом месте образца, что можно пренебречь изменением населенностей N1 и N2 и, следовательно, зависимостью их от координаты z. В этом случае, произведя интегрирование по z =0, где мощность Р(0,ω), до z, получим при малом ρω:

С учетом формы спектральной линии необходимо рассматривать и коэффициент усиления, выражение для которого в соответствии с (4.50) может быть записано в виде:

∫ χ(ω)d ω = χ(ω0 )Δω , а правая часть после интегрирования будет

ω

определяться выражением

84

где χ(ω0 ) — коэффициент усиления, соответствующий центральной частоте перехода, ω — интервал частот. Так как ранее было показано, что В12 = В2 = В, то окончательно

Подставив (5.17) в (5.14), получим закон изменения мощности сигнала в процессе прохождения через вещество для случая, когда частота сигнала совпадает с центральной частотой перехода

Соотношение (5.18) в оптике называют интегральным законом Бугера, в отличие от дифференциального закона Бугера (5.13). В интегральном законе коэффициент χ(ω0 ) в показателе экспоненты не зависит от координаты z, так как ранее было сделано предположение о независимости от координаты населенностей N1

и N2 .

При рассмотрении усиления сигнала, спектральная ширина которого заметно меньше ширины спектральной линии, в форму-

ле для мощности

∞

P = ∫ c(w) I (w)dw

0

коэффициент усиления d(w21) на частоте сигнала w21 можно полагать постоянным и выражение для мощности, передаваемой сигналу единицей объема вещества, можно представить в виде:

сии. В этом случае энергия внешнего поля поглощается, а χ (ω0 ) имеет смысл коэффициента поглощения и показывает, на какой длине мощность сигнала уменьшается в е = 2,72 раза. Формально

85

при χ (ω0 ) < 0 происходит рост мощности сигнала P(z,ω0 ) с увеличением координаты z. Коэффициент χ (ω0 ) может стать отрицательным только при N2 > N1, т.е. в случае, когда нет термодинамического равновесия и распределение населенностей не подчи-

няется закону Больцмана (5.1).

Инверсия населенностей. Еще раз об инверсии населенности. Состояние, при котором населенность верхнего уровня N2 больше, чем нижнего N1, называют состоянием с инверсией населенности. Среда, в которой возникает инверсия населенности, называется активной средой. Таким образом, при прохождении излучения через среду с инверсией населенности уровней возможно усиление этого излучения и тогда уравнение для излучаемой мощности можно записать в виде:

можно назвать показателем усиления активной среды.

В итоге можно записать, что квантовая двухуровневая система с энергиями Еn и Ет (причем Ет > Еn) в термодинамическом равновесии имеет населенность верхнего уровня значительно меньше населенности нижнего уровня (Nm < Nn). Полное число частиц в единице объема N0 = Nm + Nn. При взаимодействии квантовой системы с электромагнитной волной населенности уровней изменяются. Для получения усиления поля электромагнитной волны населенность верхнего уровня должна быть больше нижнего

где Nm (0) — число частиц на верхнем уровне при t = 0.

Если частота электромагнитной волны равна частоте квантового перехода [ωmn = (Em − En )/ H], происходит уменьшение числа

частиц с энергией Ет. При этом электромагнитная волна усиливается. Состояние квантовой системы, при котором Nm > Nn, называется состоянием с инверсией населенности.

86

Как видно из (5.22), населенность верхнего уровня увеличивается, поскольку N0 > 2Nm (0). Это означает, что квантовая система поглощает энергию электромагнитной волны. При t→ ∞ величина Nm (t) стремится к N0 /2, происходит выравнивание населенностей энергетических уровней. При равенстве населенностей ( N1 = N2 ) χ (ω0 ) = 0 и мощность сигнала в среде не ослабляется и не усиливается, т.е. остается неизменной. В этом случае среду можно рассматривать как прозрачную для внешнего сигнала. Состояние с равными населенностями уровней принято называть состоянием насыщения перехода.

Зависимость мощности сигнала от расстояния при прохождении через вещество для различ-

населенности в системе, содержащей 3 или более уровней.

Отрицательная температура. Закон Больцмана (5.1), спра-

ведливый для термодинамического равновесия, можно также записать в виде

этому температура положительна ( T >0). Если формально воспользоваться соотношением (5.21) для состояния с инверсией населенности N1 < N2 , то получим значение температуры отрицательным (T < 0).

87

Условную величину (5.21), характеризующую отношение населенностей двух уровней, между которыми происходят квантовые переходы, принято называть температурой перехода Тп. Только в состоянии термодинамического равновесия температура перехода совпадает с истиной температурой вещества. Условие инверсии населенности N1 < N2 эквивалентно отрицательной температуре, в конечном виде представленной выражением

где k — постоянная Больцмана.

Состояние системы, когда населенность верхних уровней больше населенности нижних, принято характеризовать отрицательной температурой. На рис. 5.3 показана зависимость абсолютной температуры от отношения населенно-

стей энергетических уровней. Таким образом, можно за-

ключить, что состояние с инверсией населенности является неравновесным. Если не будет притока энергии извне, система быстро перейдет в равновесное состояние с положительной температурой за счет спонтанного излучения.

Переход от положительной к отрицательной температуре происходит через бесконечно боль-

шую температуру. Можно сказать, что отрицательная температура выше бесконечно высокой. В состоянии с отрицательной температурой квантовая система обладает запасом энергии, которую она может излучать в виде электромагнитных волн. Именно на этом явлении основана работа квантовых генераторов и усилителей.

Рассмотренный выше вероятностный метод описания взаимодействия излучения с веществом достаточно полно вскрывает энергетическую сторону квантовых процессов и дает возможность анализировать процессы возбуждения частиц, определять условия, при которых возможно когерентное усиление и генерирование

88

света, рассчитывать энергетические характеристики усилителей и генераторов в стационарных режимах, определять оптимальные параметры элементов лазерных приборов. Однако в этом методе не затрагиваются непосредственно явления, связанные с волновым характером излучения, который необходимо учитывать для анализа спектральных, интерференционных, дифракционных и других волновых свойств излучения.

Рассмотрим процессы усиления монохроматического излучения на центральной частоте квантового перехода w21 в простейшем лазерном усилителе, представляющем собой слой активной сре-

ды протяженностью l в направлении распространения света в среде. В элементарном слое dx активной среды (см. рис. 5.4) интенсивность I волны

будет увеличиваться вследствие индуцированных переходов на величину

dIyc, определяемую выражением dIус = c(w21)×Idx.

В реальных активных средах наряду с усилением имеют место потери излучения из-за рассеяния на неоднородностях, примесях, дефектах, резонансного поглощения на запрещенных переходах и др. Запишем выражение для уменьшения интенсивности волны в слое dx: dIпот = – a×I dx. Здесь a — коэффициент потерь на единицу длины. Он характеризует распределенные по активной среде потери и постоянен в пределах спектральной линии. Результирующее изменение интенсивности волны в слое dx будет равно:

Из выражения (5.25) следует, что усиление в среде будет наблюдаться при c(w21) > a. т.е. когда полный коэффициент усиления (c(w21) – a) >0. В этом случае мощность индуцированного излучения в единице объема будет преобладать над мощностью потерь. Условию c(w21) = a соответствует пороговая инверсная населенность DNп, которая в соответствии с (5.16) равна

89

Уровень накачки, необходимый для обеспечения Nп в стационарном режиме усиления сигнала I(ω21), когда скорость накачки выравнивается со скоростью ухода возбужденных частиц в результате индуцированного испускания и других релаксационных процессов, можно оценить уровнем инверсии N0, который обеспечивался бы накачкой в отсутствие усиливаемого сигнала.

Коэффициент усиления активной среды протяженностью l в предположении, что коэффициенты χ(ω) и α постоянны по объему среды и не зависят от интенсивности излучения, может быть получен в результате интегрирования уравнения типа (5.25) в пределах изменения х от 0 до l:

где IBX — интенсивность света на входе активной среды; IBЫX — интенсивность света на выходе активной среды протяженностью l;

длиной l.

Однако коэффициент усиления не зависит от интенсивности распространяющегося в среде излучения только при малых интенсивностях (линейный режим усиления), когда скорость умень-шения N вследствие индуцированных переходов значительно меньше скорости увеличения N под действием накачки. По мере увеличения интенсивности излучения вследствие увеличения вероятности индуцированных переходов будет происходить уменьшение инверсной населенности. Соответственно уменьшается и коэффициент усиления среды. Усилитель переходит в режим нелинейного усиления. Поэтому коэффициент усиления χ0, определяемый по уровню инверсии в отсутствие усиливаемого сигнала, часто называют коэффициентом усиления слабого сигнала.

5.2 Явление насыщения перехода

Мы рассмотрели влияние инверсной среды на характеристики проходящего излучения. Однако сама инвертированная пара состояний претерпевает определенные изменения под воздействием проходящего через среду сильного потока излучения, если

90

спектр излучения и спектральный контур инвертированного перехода перекрываются.

Увеличение плотности излучения в среде вызовет уменьшение плотности инверсии на рабочих уровнях. Показатель усиления пропорционален плотности инверсии, т.е. величине Ni – Nk gi / gk. При уменьшении инверсной разности населенностей будет уменьшаться и показатель усиления.

Таким образом, с увеличением величины плотности излучения инверсия и показатель усиления уменьшаются. Этот процесс называется насыщением усиления и определяет нелинейный характер усиления излучения инверсной средой. Количественно процесс насыщения описывается зависимостью χ(ω), которая принимает определенное значение при нулевой плотности излучения и затем монотонно падает с увеличением плотности излучения, стремясь к нулю при I(ω) → ∞. Значение показателя усиления при нулевой плотности излучения, так называемый ненасыщенный показатель усиления — χ0(ω), характеризует исходное состояние инверсной среды. Любое другое значение χ0(ω), определяется не только свойствами среды, но и уровнем плотности излучения. «Скорость» убывания показателя усиления с ростом объемной плотности излучения характеризуется так называемым параметром насыщения η /.

Уменьшение коэффициента усиления с ростом интенсивности излучения ограничивает максимальную величину интенсивности, которая может быть получена в процессе усиления. При достижении предельной интенсивности Iпр усиление прекращается (χ = α), и наступает насыщение усиления.

Явление насыщения усиления проявляется на выходной (амплитудной) характеристике усилителя — зависимости интенсивности волны на выходе IВЫХ от входной интенсивности IВХ . При небольшой интенсивности входного сигнала и длине активного элемента, меньшей критической длины, усилитель будет работать в линейном режиме (область I на рис. 5.5).