Квантовая и оптическая электроника

71

Из (4.53) следует, что неопределенность энергии Е уменьшается при увеличении неопределенности времени t. Грубо говоря, чем с большей точностью определяется энергия E, тем с меньшей точностью мы знаем, какому моменту времени она соот-

с энергией E2. Время жизни в возбужденном состоянии определяется выражением (4.13) τ2 =1/ A21. Так как спонтанные переходы имеют статистический характер, то величину τ2 называют неоп-

энергии уровня 2 DE2 ³ h / t2 . Это рассуждение можно применить к многоуровневой системе. Неопределенность энергии уровня i равна

i−1

Ai = ∑ Aik вероятностями спонтанных переходов на нижние уровни.

i

Ширина энергетического уровня регламентируется принципом неопределенности и зависит от времени пребывания частицы в данном состоянии i. Время жизни данного состояния в свою очередь определяется суммой вероятностей всех спонтанных переходов в низшие состояния k.

Соотношение (4.54) определяет зависимость конечной ширины любого энергетического уровня ΔΕi от среднего значения

уровня, бесконечно мала. Считают, что основной уровень беско-

72

нечно узкий. Наиболее широкими оказываются уровни с малыми временами жизни.

Неопределенность в значении частоты перехода между двумя

и определяется суммой неопределенностей энергии обоих уровней. Ширина спектральной линии изолированного и неподвижного атома, определяемая только временем жизни по спонтанному излучению, является минимальной и называется естественной шириной спектральной линии.

Рис. 4.3

Спектральная линия — это узкая область с одним максимумом в спектре поглощения (излучения) рис. 4.3, б. Ширину спектральной линии определяют как разность частот, на которых интенсивность равна половине максимального значения.

Наиболее широкими оказываются уровни с малым временем жизни, которые являются исходными для большого числа разрешенных переходов. Метастабильные долгоживущие уровни, напротив, имеют малую ширину. Основному состоянию атома, характеризуемому бесконечным временем жизни, соответствует бес-

конечно узкий энергетический уровень.

Естественная ширина спектральной линии. Наличие оп-

ределенной размытости энергетических уровней не возмущаемых неподвижных атомов приводит к тому, что излучаемые и погло-

73

щаемые в этих условиях спектральные линии (так называемые естественные линии) также имеют конечную ширину.

Из рис. 4.4, который приведен для понятия определения естественной ширины линии, видно, что неопределенность в значении частоты перехода между двумя уровнями определяется суммарной шириной комбинирующих уровней:

спектральной линии изолированного, не претерпевающего возмущений, неподвижного атома называется

естественной шириной линии. Следует отметить, что естественная ширина линии, как правило, больше, чем величина, регламентируемая вероятностью перехода, но однозначной связи между интенсивностью и шириной спектральной линии нет.

Представим себе три возможных состояния атома, изображенных на рис. 4.5, где, показана связь ширины энергетических

Каждая из трех линий характеризуется своей интенсивностью и шириной. Наиболее интенсивной будет линия 2 → 1, так как этому переходу соответствует наибольшая вероятность. Линия 2 → 1 будет широкая из-за значительной размытости верхнего уровня 2. Интенсивность двух других линий 3 → 2 и 3 → 1 относи-

74

тельно невелика, так как вероятности соответствующих переходов малы. Но эти линии должны существенно различаться по ширине, поскольку суммарная размытость уровней 2 и 3 значительно больше, чем уровней 3 и 1. Поэтому линия 3 → 2 оказывается более широкой.

В отсутствие внешних воздействий спонтанное излучение определяет время жизни состояний. Поэтому наименьшая возможная, естественная ширина линии равна Δωл = A21 , то есть определяется вероятностью спонтанных переходов с него на нижние уровни.

Узкую область с одним максимумом интенсивности в спектре излучения называют спектральной линией, а графическое изо-

бражение ее формы — контуром спектральной линии.

типа с максимумом при ω = ω0. Шириной (или полушириной) линии принято называть частотный интервал Δω, в пределах которого интенсивность в спектре равно половине максимальной интенсивности.

следовательно, его вероятность зависит от частоты и имеет неко-

Bероятность индуцированного излучения имеет спектральную плотность:

одинакова и совпадает с формой контура спектральной линии, данного перехода — лоренцевой или гауссовой кривыми. Однако с введением коэффициентов aki , bki , bik следует уточнить также понятие населенности. Под населенностью Ni любого уровня следует понимать число частиц в единице объема, энергия которых попадает в пределы размытости этого уровня по энергии.

Таким образом, числа спонтанных и вынужденных переходов в единичном частотном интервале вблизи частоты ω в единицу времени можно записать с использованием дифференциальных коэффициентов Эйнштейна

Уширение спектральных линий. Практически наблюдае-

мые спектральные линии всегда значительно шире естественных. Это объясняется тем, что в реальных условиях действует ряд механизмов, приводящих к уширению спектральных линий.

Назовем причины уширения спектральной линии. Воздейст-

вие постоянных электрических и магнитных полей на уровни энергии атомов и молекул может приводить к сдвигу этих уровней и к их расщеплению на несколько подуровней (см. Штарка эффект) (воздействие электрического поля). Под действием электрического поля уровни могут расщепиться на несколько близких энергетических уровней (поле снимает вырождение энергетических уровней). Эффект Штарка наблюдается, главным образом, в твёрдотельных лазерах большой мощности. Так, в случае лазера на рубине штарковское уширение линии излучения имеет порядок

0,1 нм.

Зеемана эффект наблюдается от влияния магнитного поля. Под действием магнитного поля происходит искривление энергетических уровней. Уширение спектральных линий за счет насы- щения. Уширение спектральной линии в кристаллах за счет колебаний кристаллической решетки. Важное значение имеет уширение спектральных линий, связанное с взаимодействием между

76

частицами. Упругие и неупругие столкновения частиц приводят к уширению линии. Взаимодействие между частицами практически всегда, за исключением разреженных газов, определяет действительную ширину спектральной линии.

Эффект Доплера (зависимость наблюдаемой частоты излучения от скорости движения излучателя) приводит к уширению линии. Допплеровское уширение особенно существенно для разреженных газов, поэтому рассмотрим его подробнее. Частицы газа, как известно, никогда не находятся в покое — они участвуют в непрерывном хаотическом движении. Частота излучения движущегося излучателя, принимаемая неподвижным приемником, зависит от скорости и направления движения излучателя.

Поэтому любое монохроматическое излучение частиц будет восприниматься как спектральная линия конечной ширины. Линия, ширина и контур которой определяются уширяющим эффектом Допплера, называется допплеровской (рис. 4.8). Такое уширение называется также неоднородным. Контур допплеровской линии определяется выражением

Согласно (4.67) полуширина допплеровской линии определяется температурой газа и массой движущихся частиц:

Все виды уширения приводят к тому, что линия излучения лазера становится более широкой по сравнению с той, которая определяется добротностью резонатора. Таким образом, спектр излучения лазера представляет собой ряд равноотстоящих друг от друга спектральных линий, приходящихся на моды резонатора Фабри-Перо. Огибающей этих линий служит кривая, обусловленная главной причиной уширения для рассматриваемого типа лазера. Можно показать, что в действительности ширина каждой из рассматриваемых линий меньше той ширины, которая обусловлена резонатором Фабри-Перо, и эта разница тем больше, чем больше отдаваемая мощность.

77

На практике важно различать основные два вида паразитного уширения спектральной линии:

1.Однородное уширение (Штарковское или обусловленное давлением), при котором все атомы играют одинаковую роль в статическом смысле.

2.Неоднородное уширение (доплеровское), когда волна часто-

ты ν может взаимодействовать только с атомами, частота которых равна

ность, излучаемую или поглощаемую во всем спектральном диапазоне данного перехода между уровнями i и k. Поэтому их называют интегральными коэффициентами Эйнштейна. Когда интересуются частотным распределением излучаемой или поглощаемой мощности, то вводят так называемые спектральные коэффициен-

ты Эйнштейна aik, bik, bki.

Если необходимо учитывать частотные распределения излучаемой или поглощаемой мощности, то используют спектральные коэффициенты Эйнштейна aki , bki , bik , которые связаны с Aki , Bki

и Bik соотношениями

∞

Aik = ∫ aik (ω) dω ≈ aik (ωik ) Δωik ,

0

∞

Bik = ∫ bik (ω) dω ≈ bik (ωik ) Δωik ,

0

сти испускания или поглощения в единицу времени в единичном

частотном интервале; aik(ωik), bik(ωik), bki(ωki), σik(ωik) — значения соответствующих параметров на центральной частоте спектраль-

78

ной линии ωki; ωki — ширина спектральной линии на половинном уровне от максимального значения. Между спектральными коэффициентами сохраняются соотношения, действительные для интегральных. Спектральные коэффициенты aik(ω), bik(ω), bki(ω), σik(ωik) связаны между собой теми же соотношениями, что и интегральные. Очевидно также, что полученные выше выражения останутся справедливыми при замене интегральных величин их спектральными плотностями.

79

5. УСИЛЕНИЕ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Принцип квантового усиления электромагнитных волн лежит в основе построения устройств квантовой электроники. Создан-

ные на основе этого принципа квантовые приборы позволили сделать скачок по частоте от 1011 до 1015 Гц.

Рассмотрим суть принципа квантового усиления электромагнитных волн. Прежде всего, отметим, что квантовыми системами называют системы, состоящие из микрочастиц (электронов, атомов, молекул и т.д.) и подчиняющиеся квантовым законам, характерным для микромира.

Вквантовой теории отдельная частица (электрон, ядро, атом или молекула) может быть рассмотрена как объект, существующий в некотором разрешенном квантовом состоянии. Важнейшим свойством квантовой системы является то, что ее внутренняя энергия (энергия, не определяемая движением системы как целого) при определенных условиях может принимать лишь разрешенные дискретные значения Е . Каждому из этих разрешенных значений энергии соответствует одно или несколько устойчивых состояний движения частиц в системе. Квантование энергии является следствием волновых свойств микрочастиц. Так как любая система стремится к устойчивому состоянию, то частицы по уров-

ням распределены так, что En энергией обладает Nn число частиц, энергией Em – Nm число частиц и так далее. Число частиц на каждом уровне различно. Среднее число частиц, обладающее одинаковой энергией, приходящееся, как правило, на см3, называют населенностью данного уровня.

Вусловиях термодинамического равновесия распределение числа частиц по энергетическим уровням подчинено закону Больцмана

Nn gn

где gm, gn — кратность вырождения уровней (или число возможных состояний квантовой системы с определенным значением

энергии), Т — абсолютная температура, k — постоянная Больцма-

на (1,38·10–23 Дж/град).

80

В определенных условиях взаимодействия электрон может совершать скачкообразный переход с одного уровня на другой.

Преобразуем распределение Больцмана, учитывая постулат Бора. Будем считать, что уровни не вырождены т.е. gm = gn = 1,

Nn

Поскольку Hω в оптическом диапазоне много больше Hω СВЧ-диапазона, то легко показать, что в оптическом диапазоне почти все частицы находятся на основном энергетическом уровне. В СВЧ-диапазоне частицы по уровням распределены более равномерно.

5.1Возможность усиления и генерации в квантовых системах

Рассмотрим двухуровневую систему. В состоянии термоди-

Представим, что квантовая система атомов находится в электромагнитном поле с частотой ω и что ω = ω12 соответствует частоте перехода между первым и вторым энергетическими уровнями (уровни не вырожденны и E2 − E1 = Hω21 ). Тогда, как известно, между полем и системой атомов будет происходить эффективное взаимодействие. Поле будет индуцировать переход атомов, находящихся в состоянии с энергией E1, в состояние с энергией E2. При этом переходе атом отбирает у поля квант энергии ħω21. В результате происходит поглощение электромагнитной энергии веществом. Мощность, теряемую полем, можно подсчитать, зная вероятность индуцированного перехода в единицу времени. Допустим, что вероятность индуцированного перехода атома из состояния E1 в состояние E2 в единицу времени равно W12. Число переходов, совершенных в единицу времени, будет N1W12. Общая мощность поглощения поля веществом составит