Автоматизированные информационно-управляющие системы

Обратим внимание, что каждая переменная модели записана в отдельном столбце. Это позволяет лучше воспринимать структуру модели, и мы будем придерживаться такой записи и в дальнейшем. Ограничения, описывающие перевыполнение плана:

Ограничения, обеспечивающие полную загрузку оборудования:

3.1.2. Задачи получения смесей

Задача рационального составления комбикорма. Пусть крупная свино-

ферма имеет возможность покупать от одного до трех различных видов зерна и готовить различного вида смеси (комбикорма). Различные зерновые культуры содержат разное количество питательных компонентов. Существенными являются четыре компонента. Управляющему фермой известно минимальное содержание каждого компонента, которое должен содержать комбикорм. Известно, что период планирования равен двум неделям, то есть зерно покупается в количестве, достаточном для прокорма свиней в течение двух недель. Все данные, относящиеся к рассматриваемой задаче, приведены на рис. 10.

25

Для описания взаимодействий между отдельными отрезками планового периода вводятся дополнительные управляемые переменные. Примером таких переменных являются объемы запасов, возникшие на t-ых отрезках планового периода ( t 1,T ), которые могут быть использованы на последующих отрезках.

В качестве примера рассмотрим последнюю задачу составления жидких смесей с учетом следующих изменений:

а) производятся только 2 продукта: 1 и 2; б) длительность планового периода равна Т, причем объемы химических

компонентов, спрос на готовую продукцию, а также доход с единицы продукции зависят от того, какой единичный отрезок планового периода рассматривается. Обозначим соответствующие величины как

в) излишки химических компонентов 1 и 2 можно складировать для того чтобы использовать их в последующие временные отрезки. Хранение единицы i-го компонента в течении t-го единичного периода обходится при этом в cit рублей затрат;

г) излишки готовых продуктов 1,2, произведенных на t-м единичном отрезке, можно складировать, чтобы реализовать их в последующие периоды. При этом хранение единицы j-го продукта в течении t-го единичного периода обходится в rjt рублей затрат.

Построение математической модели начнем с введения управляемых переменных. Во-первых, это xijt (i 1,2; j 1,2; t 1,T ) . xijt показывает, сколько

нента находится на складе в конце t-го единичного периода. Последняя группа переменных – zjt ( j 1,2, t 1,T 1) . zjt показывает, сколько литров j-го готового продукта складируется в конце t-го периода.

Запишем целевую функцию, имеющую смысл прибыли, а также ограничения модели:

Рассмотрим ограничения, относящиеся к t-му временному отрезку. Первые два из них описывают ограниченность поступления химических компонентов из среды на t-ом отрезке. Левая часть каждого из этих неравенств содержит затраты одного из компонентов. Эти затраты обусловлены как нуждами производства на данном этапе (xi1t+xi2t), так и увеличением запасов сырья на данном этапе (yit-yi,t-1).

27

Следующие два ограничения описывают необходимость удовлетворения спроса на t-м этапе на готовую продукцию. Левая часть каждого из этих неравенств описывает тот объем соответствующего готового продукта, который на t-м этапе потребляется. Он образуется за счет производства на данном эта-

пе (x1jt+x2jt) и за счет уменьшения складских запасов продукции (zj,t-1-zj,t). Отличия в записи ограничений для 1-го и T-го этапов обусловлены тем,

что для первого из них нет запасов на начало, а для второго – на конец соответствующего отрезка.

Нетрудно заметить, что если запретить создание запасов сырья и продукции, то данная модель разобьется на T независимых статических моделей.

Подобно задаче составления жидких смесей другие рассмотренные нами статические модели могут быть также положены в основу построения соответствующих динамических моделей. Приведем лишь управляемые переменные этих моделей.

1. Для динамической модели задачи распределения ресурсов:

ским процессом на t-м интервале времени;

ским процессом и хранящийся на складе в конце t-го отрезка времени;

конце t-го отрезка времени.

2. Для динамической модели задачи загрузки оборудования:

xijt (i 1,2, j 1,2,3, t 1,T ) - количество станков типа i , занятых изготов-

лением ткани Tj на отрезке времени t;

y jt ( j 1,2,3, t 1,T 1) - количество ткани Tj , хранящейся на складе в

конце отрезка t.

3. Для динамической модели составления комбикорма:

28

3.2 Предварительное преобразование линейной модели

Выявленная на этапе построения математической модели линейная оптимизационная модель включает целевую функцию вида:

c1x1 c2x2 ... cnxn,

значение которой в зависимости от содержания задачи должно быть максимизировано или минимизировано при наличии ограничений на управляемые

Кроме того, могут иметься ограничения xj 0.

Для того чтобы применить для нахождения решения данной модели стандартный симплексный алгоритм, необходимо представить модель в стандартной (канонической) форме. Вообще говоря, существуют несколько канонических форм записи моделей линейного программирования. Приведем две наиболее распространенные:

x j 0 ( j 1,n).

Рассмотрим приемы, пользуясь которыми любую линейную оптимизационную модель можно привести к любой из этих канонических форм.

1. Переход от максимизации к минимизации и наоборот. Данный переход осуществим всегда. Для этого одновременно с изменением знака оптими-

зации необходимо произвести изменения знаков перед всеми коэффициента- n

ми в целевой функции. Например, максимизация c j x j эквивалентна ми- j 1

29

мер, неравенство x1 x2 6 эквивалентно неравенству x1+x2 6.

3. Обращение неравенств в равенства. Любое неравенство можно представить в виде равенства, введя новую неотрицательную переменную сле-

Переменная s называется остаточной переменной, переменная t называется избыточной переменной. Например, в п.3.1.1 ограничение на затраты материала Y имело вид:

10x1 + 8x2 + 6x3 + 5x4 100,

что эквивалентно равенству

10x1 + 8x2 + 6x3 + 5x4 + y = 100, где y 0.

Здесь y есть остаток, т.е. неиспользованная часть материала Y. Аналогично, для модели в п.3.1.2, ограничение, относящееся к веществу

A, можно записать в виде:

4x1 + 6x2 + 14x3 - z = 2500, где z 0.

Здесь z есть мера превышения потребности в веществе A, т.е. z является избыточной переменной.

3. Обращение равенств в неравенства. Любое линейное уравнение, а также любую систему линейных уравнений можно представить в виде совокупности линейных неравенств с помощью одного дополнительного ограничения. Например, равенство x=10 эквивалентно комбинации неравенств x 10 и x 10, которая в свою очередь может быть записана в виде пары неравенств: x 10 и -x -10.

Система уравнений x=2, y=4 эквивалентна комбинации неравенств x 2, y 4, x+y 6, которую в свою очередь можно представить в виде: x 2, y 4,

30

4. Переход от переменных, не имеющих ограничений в знаке, к неотрицательным переменным. Допустим, что переменная xj не ограничена в знаке. В этом случае xj полагается разности двух неотрицательных переменных:

5. Переход от переменных, значения которых ограничены снизу, к неотрицательным переменным. Когда xj ограничена снизу некоторой константой

подставляется всюду в модели вместо xj.

3.3. Графическая интерпретация линейных моделей

Графическая интерпретация элементов линейной модели очень полезна для более глубокого понимания свойств таких моделей. В качестве примера рассмотрим модель:

7x1 14x2 max,

5x1 10x2 20,

6x1 3x2 12, x1 0, x2 0.

Эта же модель графически представлена на рис.11. На этом рисунке многоугольник Оabc есть область допустимых значений x1 и x2. Иными словами это графическое изображение множества решений. Данное множество является выпуклым, так как любой отрезок, соединяющий любые две точки многоугольника Oabc, лежит или внутри его, или на границе. Вершины O, a, b, c называются экстремальными точками. Они не могут принадлежать внутренней части ни одного из отрезков, соединяющих две различные точки рассматриваемого множества.