Автоматизированные информационно-управляющие системы

82

ван за счет включения в него данной переменной. Данное предельное значение можно найти из следующих соображений. Так как на последней итерации

насколько может быть изменен соответствующий коэффициент cij без нарушения оптимальности прежнего решения.

Например, для рассмотренного ранее примера применения метода потенциалов на заключительной итерации получили матрицу условий (см. рис. 41) и матрицу оценок (см. рис.42), из которой видно, что коэффициент c13 может быть изменен на 42 единицы с 50 до 8. Аналогично c33 может быть уменьшен с 70 до 8. При большем уменьшении c33 прежнее решение будет неоптимальным.

Увеличение мощности любого поставщика на единицу. Допустим,

что увеличилась мощность Sp какого-то поставщика p. Естественно предположить, что значение целевой функции при этом не ухудшится, то есть не увеличится. Так как оптимальное значение целевой функции исходной задачи равно оптимальному значению целевой функции двойственной задачи, то для определения изменения первой из этих функций можно рассмотреть изменение второй. Целевая функция двойственной задачи имеет вид:

Так как S p увеличилась на единицу, целевая функция (4.25) увеличи-

дачи. Так как суммарная мощность поставщиков равна сумме спросов, то увеличение поставок от источника p должно сопровождаться соответствующим уменьшением поставок от других поставщиков. Всего выгоднее уменьшить поставки от того поставщика, которому соответствует наибольшее значение *.

на единицу, значение целевой функции уменьшится на величину

Например, для рассмотренного ранее примера применения метода потенциалов при увеличении S1 с 7 до 8, целевая функция уменьшится на (32-0)=32. Покажем, что это так, воспользовавшись матрицей условий на заключительной итерации (рис.48). Во-первых, естественно выделить новую единицу мощности на увеличение x14 (так как c14<c11). Теперь x14=3. Поток x34 необходимо уменьшить на единицу, так как D4 по-прежнему равно 14. Освободившуюся единицу S3 можно направить на увеличение x32, что позволит

83

уменьшить на единицу x22. Общее приращение целевой функции будет: 10-20+8-30 = -32. Заметим, что неиспользованная единица мощности обяза-

пункт отправления 2). Кроме того, обратим внимание, что контур перераспределения в данном случае не является замкнутым. Этот контур начинается в строке матрицы условий с увеличенной поставкой и заканчивается в строке с уменьшенной поставкой.

Рис. 48. Матрица условий для последней итерации при увеличении S1

Воспользовавшись матрицей условий на рис. 48, нетрудно найти предельное увеличение 1 ( 1>0) мощности S1 поставщика 1, при которой прежний план остается оптимальным. Для этого на рис.48 достаточно заменить приращение «1» на приращение « 1». Предельное значение 1 определяется клеткой (2,2) и составляет 2 единицы.

Одновременное увеличение на единицу мощности любого поставщика Si и спроса любого потребителя Dj. Из выражения для целевой функ-

ции двойственной задачи (4.25) видно, что ее оптимальное значение увели-

чение целевой функции исходной задачи.

Например, для рассматриваемого примера при S1=8 и D2=9 целевая функция увеличится на (0-2) = -2 единицы, то есть несмотря на увеличение суммарного объема перевозок, целевая функция даже улучшилась. Рассмотрим прошедшие при этом изменения в решении исходной задачи (рис. 49). Избыточную единицу S1 направим на увеличение x14 до 3-х. Это приведет к уменьшению на 1 x34, и, следовательно, к увеличению на 1 x32. Изменения при этом заканчиваются, так как увеличение x32 до 7 соответствует увеличенному до 9 значению D2. Приращение целевой функции составит: 10-20+8 = -2.

Рис. 50. Пример сети задачи коммивояжера

Для записи соответствующей математической модели введем управляемые переменные xij:

Без условия (4.30), которое записано вообще говоря не в математической форме, совокупности условий (4.27) и (4.28), которые описывают соответственно, обязательный въезд коммивояжера в каждый город, причем один раз, и аналогично выезд из него, могут удовлетворять маршруты, каждый из которых есть набор несвязанных подциклов. Например, один из подциклов включает только пункты 1 и 2, а второй – все остальные.

87

Шаг 4. Если полученное оптимальное решение задачи о назначениях яв-

назначениях подцикл, содержащий минимальное число вершин. Каждой дуге (i,j) в выбранном подцикле поставить в соответствие задачу коммивояжера, отличающуюся от задачи, выбранной на шаге 2 тем, что теперь cij= . Все полученные задачи внести в дерево задач в качестве «дочерних» задачи, выбранной ранее на шаге 2. Переход на шаг 2.

Пример. Детали алгоритма поясним на примере задачи коммивояжера, сеть которой приведена на рис.50.

Шаг 1. Исходная задача заносится в дерево задач в качестве задачи 1 (рис.51). В качестве исходного допустимого решения берем решение: x12=x23=x34=x45=x51=1. Соответствующее значение целевой функции возьмем в качестве верхней границы оптимального значения целевой функции на первой итерации:

x1 =10+10+20+15+10=65. OB

Это значение x1OB запишем в прямоугольник, соответствующий задаче 1 (рис. 51).

Задача 1 (t=1)

Рис. 51. Дерево задач для примера задачи коммивояжера

89

Шаг 3. Решаем задачу о назначениях, соответствующую задаче 2. Полученное решение: xOH =65.

Так как xOH xOB2 , то принимаем xOB3 xOB2 65. Переход на шаг 2.

Итерация 3

Шаг 2. Выбираем задачу 3.

Шаг 3. Решаем задачу о назначениях, соответствующую задаче 3. Полу-

ченное решение: x15=x52=x23=x34=x41=1, xO=62. Здесь записано xO, а не xOH, так как решение – цикл.

Шаг 4. Так как решение задачи о назначениях есть цикл, то

Итерация 4 Шаг 2. Так как нерассмотренных ранее висячих вершин дерева задач

больше нет, то выполнение алгоритма закончено. Оптимальное решение:

4.6. Примеры задач

Задача 4.1.

При составлении расписания использования аудиторий в одном из университетов требуется выделить n аудиторий для n учебных групп. Некоторые возможности исключены по одной из следующих причин: численность группы превышает количество мест в аудитории, в нужное время аудитория занята, аудитория находится на слишком большом расстоянии от преподавательской. Предложите математическую модель, которая может оказать помощь в решении этой задачи.

Пусть cij – оценки, полученные обработкой экспертной информации. cij показывает, каковы потери, если группа i будет заниматься в аудитории j. Для исключения некоторых возможностей, указанных в условии задачи, припишем соответствующим cij значения, очень большие по величине (например, 1000). Целевая функция модели:

Задача 4.2

Фирма является владельцем мелкосерийного металлообрабатывающего завода. Дневной портфель заказов включает n деталей, каждая из которых может обрабатываться на n различных станках. Пусть tij – общая продолжительность обработки детали i на станке j (включая время наладки станка). Требуется построить оптимизационную модель, минимизирующую общую продолжительность выполнения всех заказов. (Данная задача целесообразна тогда, когда нужно минимизировать затраты рабочей силы.)

Решение 1. Введем управляемые переменные:

Задача 4.3

В одном из цехов металлообрабатывающего завода работает дорогостоящий сверлильный станок, который по мере износа необходимо периодически заменять. Вице-президент фирмы, ведающий вопросами производства, разрешил установить новую модель станка, но при этом поручил начальнику цеха составить план замены на ближайшие семь лет, после чего станок больше не понадобится.