Исследование операций и методы оптимизации. Часть 1. Лекционный курс

не содержит отрицательных элементов свободных клеток, следовательно полученный план перевозок оптимальный. Суммарная стоимость перевозок составит

f (X) =1 35 + 2 5 + 3 20 + 3 40 + +4 25 + 2 65 + 0 10 = 455

В случае, когда суммарная мощность поставщиков больше суммарной мощности потребителей, в рассмотрение вводится «фиктивный потребитель», а к таблице поставок присоединяется дополнительный столбец. Коэффициенты затрат этого добавленного столбца соответствуют затратам на хранение не отправленного груза (поставки последнего столбца – не отправленный груз для каждого из поставщиков). Если информация об этих затратах отсутствует, то их принимают равными одному и тому же числу (например, нулю).

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте экономико – математическую модель транспортной задачи

2.Приведите отрытую модель транспортной задачи

3.Опишите многопродуктовую модель транспортной задачи

4.Сформулируйте модель производства с запасами

5.Укажите эквивалентность элементов производственной и транспортной системы

6.Как решить транспортную задачу симплексным методом?

7.В чем состоит суть метода северо-западного угла поиска начального базиса при решении транспортной задачи?

8.В чем состоит суть метода наименьших стоимостей поиска начального базиса при решении транспортной задачи?

9.Опишите суть метода потенциалов

10.Как улучшить оптимальный план перевозок в транспортной задаче (циклы перераспределения)?

11.Как решить открытую транспортную задачу?

61

Тема 5. Целочисленное программирование

Целочисленным (иногда его называют также дискретным) программированием называется раздел математического программирования, изучающий экстремальные задачи, в которых на искомые переменные накладывается условие целочисленности, а область допустимых решений конечна. Изучение этого раздела вызывается тем, что огромное количество экономических задач носит дискретный, чаще всего целочисленный характер, что связано, как правило, с физической неделимостью многих элементов расчета: например, нельзя построить два с половиной завода, купить полтора автомобиля и т.д. В ряде случаев такие задачи решаются обычными методами, например, симплексным методом, с последующим округлением до целых чисел. Однако такой, подход оправдан, когда отдельная единица составляет очень малую часть всего объема (например, товарных запасов); в противном случае он может внести значительные искажения в действительно оптимальное решение.

Из рисунка видно, что в случае непрерывной переменной оптимум есть точка

C(5,4.5), т.е.

x = (5,4.5); f = −85

62

Простой метод округления привел бы к решению x1 = 5;x2 = 5, которое не удовлетворяет ограничениям. отсюда следует, что точка минимума ЦФ на допустимом

эта точка будет удовлетворять ограничениям задачи.

Для решения целочисленных задач разработаны специальные методы, которые можно разделить на две группы: методы отсечения (отсекающих плоскостей) и комбинаторные методы.

Метод отсекающих плоскостей состоит в построении дополнительных ограничений и применении модифицированного симплексного метода (метод Гомори). Представление о комбинаторных методах дает широко используемый на практике метод ветвей и границ.

По методу Гомори первый этап решения целочисленных задач не отличается от обычного расчета по симплексному алгоритму. Если среди значений переменных в оптимальном плане есть дробные, то составляется дополнительное ограничение, отсекающее дробную часть решения, но оставляющее в силе все прочие условия, которым должен удовлетворять оптимальный план. Это дополнительное ограничение присоединяется к исходным ограничениям задачи, и вновь применяется процедура симплексного метода. Алгоритм Гомори позволяет прийти к оптимальному целочисленному решению за конечное число шагов.

5.2 Метод Гомори (МГ)

МГ используется для решения задач ЦП с произвольным числом переменных. Суть МГ: последовательное отсечение от допустимого множества S

нецелочисленной задачи частей, не содержащих точек с целыми координатами. Эти отсечения производятся включением в задачу дополнительных ограничений на

63

(здесь для определенности полагаем, что свободные переменные x j имеют номера

m +1, m + 2,…, n ).

Спомощью вспомогательной переменной xn+1 ≥ 0 это ограничение

в) совершается преобразование СТ с опорным элементом αn+1,ℓ. Если в новой СТ

по-прежнему есть хотя бы один отрицательный свободный член, то описанная процедура повторяется, начиная с операции (а), необходимое число раз.

Если все элементы bi новой СТ ≥ 0, то допустимое базисное решение найдено. Отметим, что выбор опорного элемента αn+1,ℓ гарантирует неотрицательность

коэффициентов bi новой СТ. Поэтому найденное допустимое решение является и

оптимальным.

Шаг 4 Если найденное на Ш. 3 решение ЗЛП удовлетворяет условию целочисленности, то – «останов», если нет → Ш. 2.

Описанный алгоритм позволяет найти решение полностью целочисленной ЗЛП или установить отсутствие решений за конечное число итераций.

Пример 5.2. Пусть для приобретения оборудования, размещаемого на производственной площади 38 м2, фирма выделяет 20 млн. руб. Имеются единицы оборудования двух типов: типа А стоимостью 5 млн. руб., требующее производственную площадь 8 м2 и имеющее производительность 7 тыс. единиц продукции за смену, и типа Б — стоимостью 2 млн. руб., занимающее площадь 4 м2 и дающее за смену 3 тыс. единиц продукции. Требуется рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум производительности участка.

5.3. Метод ветвей и границ

Метод ветвей и границ (МВГ) широко используется на практике для решения как полностью целочисленных задач, так и смешанных задач ЦЛП. Он применяется в большинстве коммерческих программ решения задач ЦП. По существу МВГ представляет собой эффективную процедуру перебора всех целочисленных допустимых решений.

Как известно, в методе Гомори решение основано на отсечении нецелочисленных допустимых решений. В МВГ используется округление нецелочисленного оптимального решения ЗЛП.

Пример 5.4. Пусть оптимальное решение двумерной ЗЛП есть x* = (3,5;4,4). В качестве

кандидатов на роль приближенного целочисленного оптимального решения необходимо рассматривать решения (3;4), (4;4), (4;5), (3;5), полученные в результате округления. Истинное оптимальное целочисленное решение может не совпадать ни с одним из 4-х,

поскольку целое значение x1 в оптимальном решении может быть >4 или <3. Таким образом, для получения истинного оптимального целочисленного решения приходится рассматривать все возможные значения x1 большие и меньшие 3,5. Другими словами, оптимальное целочисленное значение x1 должно удовлетворять неравенству x1 ≤ 3 либо неравенству x1 ≥ 4 . Аналогично по переменной x2 – либо x2 ≤ 4, либо x2 ≥ 5. При

наличии в задаче ЦЛП большого количества переменных важно иметь процедуру, позволяющую систематически перебирать все возможные целочисленные решения, получаемые при округлении оптимального решения ЗЛП. МВГ по существу представляет собой такую процедуру эффективного перебора целочисленных решений, получаемых при округлении оптимального решения.

Для иллюстрации основных принципов МВГ рассмотрим следующую задачу ЦП

учета целочисленности x1 и x2 . На рис. 5.2 представлено графическое решение ЗЛП. Оптимальное решение задачи ЛП-1 имеет вид x* = (2;1,5); F* = 9.

Так как x2 =1,5, то найденное решение не может быть оптимальным решением исходной

задачи ЦЛП. Но найденное значение F* = 9 представляет собой верхнюю границу истинного оптимального решения, поскольку при выполнении требования

целочисленности x2 значение F может лишь уменьшиться.