Исследование операций и методы оптимизации. Часть 1. Лекционный курс

Ответ: x* = (6, 4, 0, 0,1, 3); f* = 24. Таким образом, мы можем записать

x1 = 6 + 15 x3 − 53 x4,

x2 = 4 − 52 x3 + 15 x4,

x5 = 3 + 52 x3 − 15 x4,3 9x6 = 3 − 5 x3 + 5 x4.

Коэффициенты целевой функции, полученные в последней строке, мы взяли со знаком «минус», так как мы умножали целевую функцию на (-1). Оптимальное значение целевой функции берем со знаком «плюс» (потому что в исходной задаче мы ищем максимум f ).

Пример 2.7. Решить ЗЛП симплекс методом (эта задача является двойственной к задаче 2.6)

Z =18y1 +16y2 + 5y3 + 21y4 → min

при ограничениях

y1 + 2y2 + 3y4 ≥ 2,3y1 + y2 + y3 ≥ 3,

yi ≥ 0, i =1, 2, 3, 4.

Решение. Вводим дополнительные переменные y5, y6 со знаком «минус». Получим стандартную ЗЛП

y1 + 2y2 + 3y4 − y5 = 2,3y1 + y2 + y3 − y6 = 3,

yi ≥ 0, i =1, 2, 3, 4, 5, 6.

В качестве базисных переменных возьмем y3, y4 . Для этого первое уравнение

разделим на 3. Выразим базисные переменные через свободные y3 = 3 − 3y1 − y2 + y6,

31

и подставим в целевую функцию, получим

Z = 29 − 4y1 − 3y2 + 7y5 + 5y6 Дальше решаем симплексным методом.

Таблица 2.4

Z = 24 + y3 + 3y4 + 6y5 + 4y6

2.5 Поиск начального базиса

Для решения задачи ЛП симплексным методом, необходимо получить начальный опорный план (начальный базис).

Рассмотрим способ получения начального базиса (начальной угловой точки многогранника допустимой области). Если в исходной задаче ЛП ограничения заданы в

2.5.1. Метод симплексного преобразования

Если ограничения исходной задачи ЛП заданы в виде равенств (то есть имеем сразу стандартную форму ЗЛП), то для получения начального базиса можно воспользоваться методом симплексного преобразования, который является одной из модификаций метода Гаусса – Жордана.

преобразования основан на идее исключения переменных методом, во многом схожим с методом преобразования симплекс-таблиц.

Шаг 1 Среди столбцов из коэффициентов при неизвестных выбирается столбец, в котором

имеется хотя бы один положительный элемент. Если в таком столбце несколько положительных элементов, то из них выбирается тот, который отвечает наименьшему частному при делении соответствующих свободных членов на положительные элементы выбранного столбца. Выделенный таким образом элемент называется разрешающим.

Шаг 2.

Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и переписываются в новую таблицу.

Шаг 3.

Каждая новая строка новой таблицы образуется следующим образом: из строки элементов исходной таблицы вычитается разрешающая строка, полученная в Шаг 2, которая предварительно умножается на соответствующий элемент разрешающего столбца. При этом в клетках выделенного (разрешающего) столбца появятся нули. На этом заполнение новой таблицы заканчивается и происходит переход к Шаг 1.

Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено неотрицательное базисное решение.

Пример 2.8 Найти неотрицательное базисное решение системы

33

x3 − 3x5 + x6 = −7

x4 + x5 − 3x6 = −4

Воспользуемся методом симплексного преобразования. Перед составлением начальной таблицы с целью получения неотрицательных свободных членов первое, третье и четвертое уравнения умножим на (-1). Дальнейшие преобразования по нахождению начального базиса приведены в табл. 2.6.

Таблица 2.6.

Итак, получили базисное решение (63/8, 109/8, 0, 0, 25/8, 19/8) , что при необходимости позволяет составить первую симплекс таблицу с начальным базисом

Б= (x1,x2,x5,x6 )

Вканонической системе (2.17) каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная.

2.5.2. Метод искусственного базиса

Другим методом поиска начального базиса является метод искусственного базиса. В систему ограничений вводятся искусственные переменные xn+i ≥ 0 (i =1,...,m) и

m

вводится искусственная целевая функция z(x) = ∑xn+i . Таким образом, приходим к

i=1

следующей задаче линейного программирования

34

z(x) → min

− x4 − x5 + 3x6 = 4

Введем в систему ограничений дополнительные переменные x7, x8, x9, x10 , которые будем называть искусственными. В результате получим систему

−x1 + 5x5 − 2x6 + x7 = 3 x2 − 2x5 − x6 + x8 = 5

−x3 + 3x5 − x6 + x9 = 7

−x4 − x5 + 3x6 + x10 = 4

Запишем искусственную целевую функцию

z(x) = x7 + x8 + x9 + x10 .

Из системы ограничений выразим дополнительные переменные x7, x8, x9, x10 через

исходные, получим

x7 = 3+ x1 − 5x5 + 2x6 x8 = 5− x2 + 2x5 + x6 x9 = 7 + x3 − 3x5 + x6

x10 = 4 + x4 + x5 − 3x6

Подставим в целевую функцию, получим

z(x) = 19 + x1 − x2 + x3 + x4 − 5x5 + x6 .

Дальше решаем задачу симплекс-методом. В результате решения все искусственные переменные должны выйти из базиса. Решение приведено в табл. 2.7

Таблица 2.7

35

решение совпало с решением, полученным симплексным преобразованием таблицы ограничений. Значение искусственной целевой функции рано нулю.

В результате получим следующую систему уравнений-ограничений

37

Вопросы для самопроверки

1.Как построить на графике область допустимых решений?

2.В чем состоит суть графического метода решения задач линейного программирования

3.Где расположено оптимальное решение на допустимой области?

4.Приведите стандартную форму записи задач линейного программирования

5.Как привести ЗЛП к стандартной форме?

6.Приведите основные определения и теоремы линейного программирования

7.Приведите алгоритм симплекс метода

8.Сформулируйте алгоритм поиска начального базиса в задаче линейного программирования

9.В чем состоит суть метода симплексного преобразования таблицы ограничений?

10.В чем состоит суть метода искусственного базиса?

11.Каким образом найти начальное приближение, когда часть ограничений задана в виде равенств, а часть – в виде неравенств?

38

Тема 3. Двойственная задача линейного программирования

3.1 Постановка двойственной задачи

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности оказалась полезной для проведения качественных исследований задач линейного программирования.

В теме 1 была рассмотрена задача об использовании ресурсов (экономико-математическая модель и содержательная интерпретация этой задачи представлены в левой части табл. 3.1). В

приведенной модели bi ( i =1,...,m ) обозначает запас ресурса Si; aij — число единиц ресурса Si, потребляемого при производстве единицы продукции Pj ( j =1,...,n ); cj —

прибыль (выручка) от реализации единицы продукции Pj (или цена продукции Pj). Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S1, S2, …, Sm

предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы y1, y2,...,ym . Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все

ресурсы Z в количествах b1, b2,...,bm по ценам соответственно y1, y2,...,ym были минимальны, то есть

m

Z = ∑biyi → min

i=1

С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции P1

расходуется a11 единиц ресурса S1, a21 единиц ресурса S2, …, am1, единиц ресурса Sm по цене соответственно y1, y2,...,ym . Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции P1, должны быть не менее ее цены c1, т.е.

a11y1 + a21y2 + ... + am1ym ≥ c1

Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции P1, P2, ..., Pn. Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи II приведены в правой части табл. 3.1.

Таблица 3.1 Исходная и двойственная задачи

39

Цены ресурсов y1, y2,...,ym в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, "ненастоящие" цены. В отличие от "внешних" цен c1, c2,...,cn на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов y1, y2,...,ym являются внутренними,

ибо они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.

3.2 Свойства взаимно двойственных задач

Рассмотрим формально две задачи I и II линейного программирования, представленные в табл. 3.1, абстрагируясь от содержательной интерпретации параметров, входящих в их экономико-математические модели. Обе задачи обладают следующими свойствами:

1.В одной задаче ищут максимум целевой функции, в другой — минимум.

2.Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.

3.В задаче максимизации все неравенства ограничений вида "≤", а в задаче

минимизации — все неравенства вида "≥".

4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу:

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных

вдругой задаче.

6.Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Две задачи I и II линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами. В дальнейшем для простоты будем называть их просто двойственными задачами.

Примечание. Если в прямой задаче ограничения заданы в форме равенств, то в двойственной задаче ограничение (3.6) отсутствует, т.е. переменные yi могут быть и положительными и отрицательными.

Пример 3.1. Составить задачу, двойственную следующей задаче:

f = −x1 + 2x2 → max

при ограничениях: