Исследование операций и методы оптимизации. Часть 1. Лекционный курс

20

Тема 2. Решение задач линейного программирования

2.1 Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод применяют, когда число переменных не превосходит 2. На практике задачи такой размерности встречаются редко, однако графический метод хорошо иллюстрирует основные понятия, используемые при решении ЗЛП большой размерности. Графический метод рассмотрим на примере задачи 5 (задача технического контроля)

Пример 2.1

min f = 40x1 + 36x2 5x1 + 3x2 ≥ 45,

который содержит бесконечное число допустимых точек. Нужно найти точку, в которой f (x)= min .

Если зафиксировать значение ЦФ f = 40x1 + 36x2 , то соответствующие ему точки

будут лежать на некоторой прямой. При изменении величины f прямая подвергается параллельному переносу. Рассмотрим прямые, соответствующие различным значениям f , имеющие с ОДР хотя бы одну общую точку. Положим f0 = 680. Тогда прямая ЦФ

пройдет через точку B(8,10). При приближении прямой ЦФ к началу координат значение f уменьшается. Минимальное значение ЦФ достигается в узловой точке A(8, 5/3).

Следовательно, x = (8, 5/3); f = 380 - оптимальное решение задачи. Таким образом

21

Итак, для оптимального режима работы ОТК необходимо использовать 8 контролеров 1-го разряда и 1,6 контролера 2-го разряда. Дробное значение x2 =1.6

соответствует ситуации, когда один из двух К2 используется в течении неполного рабочего дня. При недопустимости неполной загрузки контролеров дробные значения обычно округляются, получая приближенное оптимальное целочисленное решение x1 = 8, x2 = 2.

Итак, мы рассмотрели линейные уравнения и неравенства с двумя переменными. Если перейти к линейным зависимостям с тремя переменными, то тогда они будут описывать плоскость в трехмерном пространстве; линейное неравенство характеризует полупространство, а система линейных неравенств — многогранник как область допустимых решений в трехмерном пространстве.

С увеличением числа переменных выше трех, геометрическая интерпретация невозможна, так как система неравенств определяет область допустимых решений в k - мерном пространстве.

При этом мерность пространства определяют так: если ограничения заданы неравенствами, то k = n , где n — число переменных; если ограничения в виде уравнений, то k = n − m, где m — число уравнений.

Из рассмотренного примера решения задачи ОТК мы видели, что оптимальное решение задачи соответствует одной из вершин многогранника.

•Отсюда можно сделать исключительно важный вывод: оптимальное решение —

координаты вершины области допустимых решений.

Из этого вывода следует метод решения задач линейного программирования, который заключается в следующем:

1.Найти вершины области допустимых решений как точки пересечения ограничений.

2.Определить последовательно значения целевой функции в вершинах.

3.Вершина, в которой целевая функция приобретает оптимальное (max или min) значение, является оптимальной вершиной.

4.Координаты оптимальной вершины есть оптимальные значения искомых переменных.

2.2Формы записи задач (ЗЛП)

Всамом общем виде ЗЛП записывается в следующем виде Найти min (max)

ЗЛП (2.1) – (2.3) можно записать, например таким образом Здесь n - число переменных; m - число ограничений.

Запишем ЗЛП в матричном виде

23

Следует подчеркнуть, что дополнительные переменные столь же необходимы, как и исходные переменные задачи.

В некоторых случаях возникает необходимость рассмотрения переменных x j , на которые не наложены ограничения, т. е. x j может принимать и положительные, и

отрицательные значения. Поскольку переменные задачи линейного программирования в стандартной форме предполагаются неотрицательными, неограниченные переменные заменяют выражением:

x j = u j − v j , где u j ≥ 0,v j ≥ 0.

Значения x j могут быть > 0 или < 0 в зависимости от соотношения величин u j

и vj .

Пример 2.3. Рассмотрим задачу линейного программирования в нестандартной форме или в общем виде:

f (x) = x1 − 2x2 + 3x3 → max ;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 (≥ / ≤) 0,

где x3 – переменная, неограниченная по знаку. Преобразуем эту задачу к стандартной форме (СФ):

1)заменим x3 на x4 − x5 , где x4 , x5≥ 0;

2)умножим обе части уравнения (2.9) на (-1);

3)введем дополнительные переменные x6 , x7 в ограничения (2.7) и (2.8)

соответственно;

4) припишем нулевой коэффициент переменным x6 , x7 , а целевую функцию умножим на (-1).

Таким образом, рассматриваемая задача сводится к следующей задаче линейного программирования в СФ:

− f (x) = −x1 + 2x2 − 3x4 + 3x5 − 0 x6 − 0 x7 → min;

при ограничениях:

x1 + x2 + x4 − x5 + x6 = 7, x1 − x2 + x4 − x5 − x7 = 2,

− 3x1 + x2 + 2x4 − 2x5 = 5; x j ≥ 0; j =1,…,7.

Ранее мы отмечали, что если b вектор ресурсов, то в (2.6) дополнительная переменная x4 означает резерв ресурса b2 = 4 . В первом ограничении введена

переменная x3 со знаком (-). Это значит, что переменная x3 представляет собой количество дополнительного ресурса, необходимого для выполнения плана.

26

выполнять 105 переборов вариантов в 1 сек., то ей потребуется 40 лет для поиска решения.

Обычно n =1500 2000; m =1000 1500

Идея СМ состоит в направленном переборе угловых точек допустимого множества S с последовательным уменьшением ЦФ f (x).

СМ разработал ДЖ. Данциг (американский ученый) в 1947 г. Этот метод называют

так же методом последовательного улучшения решения (плана).

Гарантии результативности СМ обеспечиваются следующей теоремой.

Теорема 3 (о конечности алгоритма симплекс метода). Если существует оптимальное решение ЗЛП, то существует и базисное оптимальное решение. Это решение может быть получено через конечное число шагов симплекс-методом, причем, начать можно с любого исходного базиса.

2.4. Алгоритм симплекс метода

Ручные вычисления по симплекс-методу удобно оформлять в виде так называемых симплекс-таблиц. Для удобства составления симплекс-таблицы (СТ) будем считать, что ЦФ и система ограничений переписаны в форме (2.11), (2.12)

По исходным данным заполняется исходная СТ. В первый столбец выписывают базисные переменные, в последний столбец свободные члены. В первую строку выписывают небазисные переменные, в последнюю строку – коэффициенты при

переменных в целевой функции. В последней клетке последней строки заносим p00 со

знаком “минус”.

В остальные клетки заносятся коэффициенты ограничений Таблица 2.1

Сформулируем сейчас алгоритм СМ применительно к данным, внесенным в табл.

1.

Шаг 1. Выяснить, имеются ли в последней строке таблицы отрицательные числа ( p00не принимается во внимание). Если все числа неотрицательны, то процесс закончен; базисное решение (b10,…,b0m,0,…,0)является оптимальным; f = p00.

Если в последней строке имеются отрицательные числа p0m+1,p0m+2,…,p0n ,

перейти к Шаг 2. Шаг 2.

Просмотреть столбец, соответствующий наименьшему отрицательному числу p0k , m +1≤ k ≤ n и выяснить, имеются ли в нем положительные числа aik , i =1,m.

Если ни в одном из таких столбцов нет положительных чисел, то оптимального решения не существует.

Если найден столбец, содержащий хотя бы один положительный элемент (если таких столбцов несколько взять любой из них), отметить его вертикальной стрелкой (см. табл. 2.1) и перейти к Шаг 3.

Шаг 3. Разделить свободные члены на соответствующие положительные числа из выделенного столбца и выбрать наименьшее частное. Отметить строку, соответствующую

наименьшему частному горизонтальной стрелкой. Выделить разрешающий элемент a0jk ,

стоящий на пересечении отмеченных строки и столбца. Перейти к Шаг 4. Шаг 4.

1.Поменять местами переменные xk и x j, остальные переменные оставить на прежних местах.

1

2. На место опорного элемента поставить число . a0jk

3.На остальных местах разрешающей (опорной) строки записать соответствующие элементы исходной таблицы, делённые на опорный элемент.

4.На свободные места разрешающего столбца поставить со знаком минус соответствующие элементы исходной таблицы, делённые на опорный элемент.

Шаг 5

Оставшиеся свободные места в новой СТ заполнить построчно следующим образом: из строки элементов исходной таблицы вычесть произведение ее элемента из разрешающего столбца на уже заполненную разрешающую строку новой таблицы.

Например, для строки i – ой базисной переменной имеем:

28

Знак ← стоит на месте элемента разрешающего столбца, заполненного согласно определению операции 4.

На этом заполнение новой таблицы заканчивается и происходит переход к Шаг 1. Замечание. Если целевую функцию необходимо максимизировать, то предварительно нужно умножить ее на (-1).

Пример 2.5. Решить ЗЛП симплекс-методом

x1 − x4 + x5 = 2

x2 + 2x4 + 3x5 = 7

x3 + x4 − 2x5 =1

f = 3 + x4 − 2x5 → min

Из системы ограничений видно, что переменные x1,x2,x3 являются базисными. Эти

переменные используем в качестве начального опорного плана (начального базиса). Поэтому 1, 2 и второй столбцы исключаем из таблицы. Результаты расчета представлены в табл.2.2

Таблица 2.2

Ответ: x* = (0, 0, 5.2, 0.2, 2.2); f* = −1.2.

Пример 2.6. Решить ЗЛП симплекс методом

f (x)= 2x1 + 3x2 → max

при ограничениях

Решение. Приведем задачу к стандартному виду с помощью дополнительных переменных.

x1 + 3x2 + x3 =18 2x1 + x2 + x4 =16 x2 + x5 = 5

3x1 + x6 = 21

Дальше решаем симплексным методом. Таблица 2.3