15

1.4 Алгоритмические проблемы

Предположим, Вы запрограммировали некоторый алгоритм. Програм­ ма на простых примерах работает прекрасно. Однако, подставляя реальные данные, программа начинает считать … 5 мин, 10 мин .. 1 час … Вы задачу снимаете и начинаете анализировать на предмет зацикливания. Но зацикли­ вания нет. Теперь очередь настает анализу алгоритма. Программист пытает­ ся оценить время выполнения алгоритма. Рассмотрим конкретный пример, предположим имеется следующий фрагмент программы:

unsigned __int64 i, k=0Xffffffffffffffff; for(i=0; i<k; i++);

printf("Hello student!!!\n"); //Интересно, сколько времени ждать привета?

Сколько времени займет вычисление, попробуйте на своем компью­

тере!

Ниже приведен текст программы, который позволяет сделать прибли­ зительные расчеты.

#include <conio.h> #include <stdio.h>

void main(){ //подсчет времени работы фрагмента программы unsigned __int64 i, k=0Xffffffffffffffff;

printf("number of iterations=%Lu\n",k); //число итераций в цикле k=k/1000000000000LU; //1 гигагерц (тактовая частота процессора) k=k*10; // одна итерация ­ 10 тактов процессора printf("second=%Lu\n",k); //всего секунд

k=k/3600; //количество часов непрерывной работы printf("hour=%Lu\n",k);

k=k/24; //количество суток printf("day=%Lu\n",k); k=k/365; //количество лет

int d=k%365; //итого printf("yaers=%Lu days=%d\n",k,d); getch();

}

Листинг работы программы

number of iterations=18446744073709551615 second=184467440

hour=51240

16

day=2135 yaers=5 days=5

Таким образом, это достаточно большое время. Даже увеличивая тактовую частоту в 100 раз, получим 21 день непрерывной работы компью­ тера.

1.5 Функция Аккермана

Еще один наглядный пример простого алгоритма, но показывающего экспоненциальный взрыв времени вычисления.

Функция Аккермана[2] относится к классу дважды рекурсивных и имеет следующий вид:

Ниже приведена рекурсивная функция подсчета.

int Akk(int m,int n){ //реализация подсчета функции Аккермана if(m==0) return n+1;

if(n==0) return Akk(m­1,1); return Akk(m­1,Akk(m,n­1));

}

Теперь необходимо вычислить Akk(4,2)=? … попробуйте поэкспери­ ментировать!

Запишем явно функцию Аккермана для фиксированных значений m (здесь приведены итоговые формулы, те, кто хочет проверить, может сде­ лать это сам, используя метод математической индукции и формулу гео­

Теперь запишем выражение для A(4,2)

A(4, 2) A(3, A(4,1 )) 2 A(4,1 ) 3 3;

17

A(4,1) A(3, A(4, 0)) 2A(4,0) 3 3;

A(4, 0) A(3,1) 21 3 3 16 3 13;

A(4,1) 213 3 3 65536­3 65533;

A(4, 2) 265533 3 3.

Вот итоговый факт, для представления результирующего числа необ­ ходимо 65 килобит. Соответственно для подсчета такого числа необходимо 265533 3 3 вызовов функции Akk!

Вот это и есть экспоненциальный взрыв!

1.6Некоторые примеры решения сложных вычислительных задач

Во многих случаях задача может иметь много различных вариантов решения.

Используя общий метод решения данной конкретной задачи можно решить ее, но при этом вычислительная система может быть сильно загру­ жена. Если рассматривать особенности данной конкретной задачи можно получить более эффективные алгоритмы. Ниже описаны два наглядных примера, показывающие такую ситуацию.

Задача № 1

Необходимо подсчитать количество нулей содержащихся в конце числа, вычисленного по формуле факториала. Например, число 3!=6 имеет ноль нулей, число 5!=120 — один ноль, 10!= 3628800 — два нуля.

Понятно, что самым простым решением является написать функцию вычисления факториала, затем полученное число делить его на 10, пока де­ лимое делится нацело, таким образом подсчитать число нулей. Или преоб­ разовать число в строку символов и подсчитать количество символов ‘0’ в конце строки.

При небольших значениях аргумента факториала можно воспользо­ ваться стандартной арифметикой, но при увеличении аргумента приходится перейти на собственную арифметику (см. раздел ). Однако для совсем больших чисел, например 10000! или 100000! время вычисления будет слишком велико.

Рассмотрим теперь особенности данной конкретной задачи. Если вни­ мательно изучить появление нулей в конце числа, то можно обнаружить, что ноль появляется, если число в произведении кратно 5. Первый ноль по­ является в числе 5!=120, второй ноль в числе 10! Нетрудно подсчитать чис­

18

ло нулей в числе 100! Их будет 24. Числа дающие в произведении по одно­ му нулю (5, 10, 15, 20, 30, 35, 40, 45, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 90, 95), а числа

25, 50, 75, 100 дают по два нуля. Таким образом, алгоритм подсчета нулей в числе n! следующий:

Шаг 5 переходим на шаг 2, пока не достигнем равенства I=n.

//функция подсчета степени кратности 5 int CountZero(int num){

int i=0; while(1){ if(num%5==0) {

i++;

num=num/5;

}

else break;

}

return i;

}

//подсчет числа нулей в конце числа 10000! void main(){

int count=0;

for(int i=1; i<=10000; i++){ int z=CountZero(i); count=count+z;

}

printf("%d\n",count);

}

Задача 1. Найти число, дающее максимальное количество нулей в n! Задача 2. Найти количество чисел, дающее заданное число нулей.

Задача № 2

Дано число n. Необходимо определить является ли число Фибоначчи F(n) четным.

Решение 1. Вычислить число F(n) и проверить делимость на 2. Одна­ ко, учитывая быстрый рост чисел Фибоначчи, такое решение может быть для сравнительно малых чисел.