Введение в математику
..pdf
(x2 −1)2 0 x1
2 1
Определим знак производной на полученных интервалах :
f (−2) 0 (−;− |
|
|
) |
|
||||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||||
f (−1, 5) 0 (− |
|
|
;−1) |
|
||||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||||
f (−0,5) 0 (−1;0) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
f (0,5) 0 |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (1,5) 0 (1; |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
f (2) 0 ( |
|
|
|
;+ ) |
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ymax = y (− |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
−3 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
3 |
= |
|
−2, 6 |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ymin = y ( |
|
|
)= |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
2, 6 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6)Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика : |
|||||||||
f = − |
4x (x4 − 3x2 ) |
+ |
4x3 − 6x |
|
|||||
|
|
|
|||||||
( |
) |
( |
x2 |
) |
|
||||
|
|
x2 −1 3 |
|
|
|
−1 2 |
|||
f = 0 x1 |
|
|
|
|
|
|
|||
= 0 x 2 |
= 3 |
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Определим знак производной на полученных интервалах :
f (x) 0 |
(−;− |
|
|
|
) функция выпукла вверх |
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
f (x) 0 (− |
3;0) вниз |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
f (x) 0 (0; |
|
|
|
) вверх |
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|||||||||||||||||
f (x) 0 |
( |
|
|
|
|
|
;+ ) |
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
вниз |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ymin = y ( |
− |
|
|
)= |
−3 |
|
|
3 |
−2, 6 |
|
|||||||||
3 |
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ymin = y ( |
|
|
)= |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
2, 6 |
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
min |
||||||||||||||
y (0) = 0 − точка перегиба
-1 |
1 |
x |
|
max
61
Задачи для самостоятельного решения
1.Исследовать функцию 
и построить её график.
2.Исследовать функцию 
с помощью производных и построить график.
3.Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график:
Лабораторная работа №8 Логарифмическая функция
Цель работы: получить навыки исследования логарифмической функции.
Логарифмическая функция
Функцию вида y = loga(x), где a - любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а. Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: loga(b) - данная запись будет обозначать логарифм b по основанию а.
Основные свойства логарифмической функции:
1.Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.
2.Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.
3.Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0<a
4.График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).
5.Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1.
6.Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0<x<1:
На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0<a<1):
62
7.Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.
8.Функция не имеет точек максимума и минимума.
Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.
Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций.
Пример Задание. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.
Решение:
Область определения функции
То есть
63
Вычислим односторонние пределы
64
Задания для самостоятельной работы
1. Исследовать логарифмическую функцию:
f (x) = log |
|
x +1 |
|
||
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Раздел 2. Самостоятельная работа
3.1. Проработка лекционного материала.
3.2. Подготовка к практическим занятиям согласно разделу 1.
65