Математические модели и САПР электронных приборов и устройств

91

сопротивление увеличивается, CД не существует и ток течет через CБ .

Емкость CБ является функцией напряжения на диоде, для

моделирования которой пользуются экспериментальным подходом. Измеренная зависимость СБ (U) показана на рис. 5.14.

Рисунок 5.14 – Моделирование емкости CБ :

1 – измеренная емкость СБ (U), 2 – зависимость (71а), 3 – касательная линия к кривой СБ (U) в точке U=ϕ -Z

Ее можно аппроксимировать следующей функцией:

где коэффициенты определяются экспериментально в рабочей точке U=ϕ -

материала (~ 0,8 В для кремния, ~ 0,4 В для германия), а γ принимает значение, лежащее между 1/2 и 1/3. Емкость СБ0 обычно составляет несколько пикофарад.

Отметим, что CД обычно много больше CБ и может принимать значения в диапазоне 50…1000 пФ.

92

5.8.4 Модель диода для приращений

При использовании ЭВМ требуются и линеаризованные модели

Этому уравнению соответствует эквивалентная схема на рис. 5.15, где параллельно проводимости Yэкв подключен источник тока. Поскольку идеальный диод представляет собой ни что иное, как резистор с нелинейным сопротивлением, такая схема иллюстрирует линеаризацию любого нелинейного элемента.

Рисунок 5.15 – Модель диода для приращений

Так как эквивалентный источник Jэкв не влияет на линейную проводимость, Yэкв может характеризовать элементы модели диода на малом сигнале при достаточно высоких частотах.

5.8.5 Одномерная модель биполярного транзистора

Наиболее распространенные модели биполярного транзистора получены в одномерном приближении для сплавного бездрейфового транзистора, которому свойственна симметричная структура относительно базы – примерно одинаковые площади эмиттерного и коллекторного переходов. Транзисторы этого типа работают при низких уровнях инжекции, имеют примерно равные концентрации примесей в эмиттере и коллекторе, основным механизмом перемещения через базу является диффузия, дрейфом носителей пренебрегают.

Из полученных выражений оценим коэффициент передачи тока:

Так как w << Lp , можно разложить в ряд Тейлора. В результате

На основе полученных аналитических выражений перейдем к рассмотрению схемных форм модели биполярного транзистора.

95

5.8.6 Схемные модели биполярного транзистора

Одной из наиболее известных моделей биполярного транзистора является модель Эберса-Молла, для которой уравнения (5.52) и (5.53) принимают вид:

где IЭнас , IКнас - токи насыщения переходов база-эммитер и база-коллектор; VБЭ, VБК - напряжения на переходах база-эммитер и база-коллектор; αF, αR

– коэффициенты прямой и обратной передачи тока транзистора в схеме с общей базой, а VТ= kTe .

Уравнения (5.56), (5.57) представляют инжекционный вариант модели Эберса-Молла, соответствующий эквивалентой схеме рис. 5.16. Несмотря на то, что из (5.52) и (5.53) следует, что αF =αR = sch(WLp ), в

более общем случае области коллекора и эмиттера могут отличаться своими физическими характеристиками, что определит отличие αF и αR. В

этой модели константы αF, αR и токи насыщения IЭнас , IКнас независимы. Однако физические свойства транзистора требуют, как это и

показано в (5.52) и (5.53), чтобы выполнялось условие αF IЭнас = αR IКнас ≡

Iнас.

Рисунок 5.17 –Инжекционный вариант модели Эберса-Молла

Используя Iнас , можно записать уравнения (5.56), (5.57) в форме, наиболее подходящей для ЭВМ, и уменьшить число констант с четырех до трех:

IЭи= Iнас[exp(VБК/VT)-1]- эмиттерный источник тока.

Уравнения (5.58), (5.59) представляют передаточный вариант модели Эберса-Молла, эквивалентная схема которого показана на рис. 5.18.

Рисунок 5.18 – Передаточный вариант модели Эберса-Молла

Еще одну модель можно получить, если воспользоваться связью между прямым и обратным коэффициентами усиления тока в схеме с общей базой (αR,F) или с общим эмиттером (βR,F):

смоделируем эти уравнения схемой с одним источником тока (рис. 5.19).

Эту модель называют нелинейной гибридной П-моделью.

Рисунок 5.19 –Нелинейная гибридная П-модель Эберса-Молла

97

Рассмотренные модели пригодны только для низких частот, так как они не учитывают зарядов, накопленных в полупроводниковом материале. На высоких частотах, а также для более точного определения режима по постоянному току необходимо учесть дополнительные компоненты.

Модель, часто используемая на высоких частотах, показана на рис. 5.19. В нее введены три сопротивления rк, rэ, rб, которые являются объемными, и четыре нелинейные емкости. Низкочастотные модели, о которых речь шла выше, могут быть подключены к точкам Б’, К’, Э’.

Рисунок 5.19 – Общая модель Эберса-Молла

Обычно сопротивления считаются постоянными. Здесь:

rк – сопротивление коллектора (от нескольких Ом донескольких сотен

Ом),

rэ – сопротивление эмиттера (обычно 1 Ом, и им часто пренебрегают),

rб − сопротивление базы (около 10 Ом для СВЧ и до нескольких кОм для низкочастотных транзисторов).

Емкости переходов являются функциями напряжений и описываются уравнением (5.42). Параметры для барьерной емкости

коллекторного перехода: K1=1+ββF F , при VБК=фК-ZК. При ZК, лежащем

обычно в диапазоне 0,01…0,5, фК=0,8 и γк=0.5. Для емкости эмиттерного перехода константы имеют следующие типичные значения: фЭ=0,6 и

γэ=1/3.

Эмиттерная диффузионная емкость определяется экспериментально. Пусть fT – частота, на которой малосигнальный коэффициент усиления тока βF уменьшается до единицы, и коллекторный ток равен IКF. Тогда

98

Если транзистор работает при малых сигналах относительно постоянных напряжений и токов в рабочей точке, то целесообразно использовать напряжения VБЭ и VКЭ как независимые переменные, а токи IБ и IК как зависимые переменные. Этот эквивалент с «общим эмиттером» описывается так

IБ = g1 (VБЭ, VКЭ);

(5.68)

IК = g2 (VБЭ, VКЭ).

99

Рисунок 5.21 – Представление уравнения (5.68) схемой с двумя управляемыми источниками тока

Рисунок 5.22 – Представление уравнения (5.68) схемой с одним управляемым напряжением источником тока

Рабочая точка определяется подачей постоянных напряжений

IБо = g1 (VБЭо, VКЭо), (5.69)

IКо = g2 (VБЭо, VКЭо).

Малые вариации в рабочей точке определяются разложением (5.67) в ряд Тейлора. Сохраняя только линейные члены, имеем:

dIБ=(∂g1/∂VБЭ)dVБЭ +(∂g1/∂VКЭ)d VКЭ, (5.70) dIК=(∂g2/∂VБЭ)dVБЭ +(∂g2/∂VКЭ)d VКЭ.

Так как нас интересуют приращения, то можно заменить производные на малосигнальные полные проводимости (так называемые y- параметры, которые могут быть определены из нескольких опытов короткого замыкания):

100

Этим уравнением соответствует эквивалентная цепь на рис. 5.20. Два управляемых напряжением источника тока заменяют передаточные проводимости. Поскольку для транзисторов y21>y12, то можно переписать

(5.71) в форме:

IК = y21 VБЭ + y22VКЭ +( y21 - y22 ) VБЭ.

Множитель в скобках представляет собой управляемый напряжением источник тока, подключенный к правым зажимам модели, а остальная часть описывает пассивный двухполюсник. Эквивалентная схема показана на рис. 5.22. Эта модель называется гибридной П-моделью. Для высоких частот нельзя пренебречь емкостями и нужно перейти к более общей модели (рис. 5.23).

Рисунок 5.23 – Малосигнальная гибридная П-модель биполярного транзистора

Типичные значения элементов лежат в следующих пределах:

Сопротивления RЭЭ’ и RКК’ обычно малы, и ими пренебрегают. Емкости СБЭ, СКЭ и СБК – паразитные и имеют значения от 0,4 до 2 пФ.