Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4626 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Атомная физика и физика твёрдого тела

..pdf
Скачиваний:
76
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
1.21 Mб
Скачать
☆

Таким образом, r rem re .

n nmмe 207n

В итоге радиус первой орбиты мюона определяется как

r

r0

0,529 10 10

2, 44 10 13 м, а отношение: r

r 1/ 207 .

 

1

207

207

1

0

 

 

 

б) Ядро считаем неподвижным, поэтому внутренняя энергия атома равна сумме кинетической энергии мюона и потенциальной энергии взаимодействия мюона с ядром:

 

m v2

1

e2

 

E

м n

 

 

.

(5)

 

n

2

 

4 0

rn

 

 

 

 

Решив совместно уравнения (1) и (2) и (5), находим допустимые значения энергии мюонного атома и энергию связи Eсв, которая рав-

на энергии ионизации атома. Это энергия, которую надо сообщить мюону, чтобы удалить его за пределы атома. Очевидно, эта энергия равна энергии мюона в невозбужденном состоянии.

Подставив выражения (4) и (3) в формулу (5), для энергии мюона получаем:

 

m e4

 

 

m e4

 

 

m e4

1

 

 

En

м

 

 

м

 

 

м

 

 

.

 

32 2 02n2 2

4 0

4 0n2 2

 

32 2 02 2

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m e4

Тогда энергия связи мюона в атоме (n

= 1): Eсв

 

 

м

 

.

32 2 02 2

Подставим значения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m e4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

207

 

 

 

e

 

 

 

 

207

13,6 эВ 2,82 кэВ,

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

св

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m e4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где E1

 

e

 

– энергия связи электрона в атоме водорода.

 

32 2 02

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Подставив выражение (4) для радиуса в формулу (3), получа-

ем скорость мюона на первой орбите:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n m e2

 

e2

 

 

 

 

 

 

vn

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

.

(6)

 

 

 

 

 

m

 

 

4

0

n2 2

4 0n

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

Видно, что от массы частицы эта скорость не зависит, следовательно, скорость мюона на каждой орбите совпадает со скоростью электрона на этой орбите.

Подставим значения для n = 1, имеем:

v

 

 

1,62 10 38

 

2, 2 106 м/с.

 

 

 

 

1

4

3,14

8,85 10 12 1,05

10 34

 

 

 

г) Чтобы найти число оборотов, которое совершит мюон до своего распада, найдем период обращения мюона:

T 2 rn vn .

(7)

Период обращения мюона после подстановки формулы (3) в выражение (7):

 

 

2 r

 

2 r2m

 

T

n

m r

 

n

м

.

 

 

n

 

 

 

n

м n

 

 

 

Подставив радиус орбиты (4) rn , получаем:

T

2 mм 16 2 02n4 4

 

32 3 02n3 3

 

m2 e4

 

 

m e4 .

n

 

 

 

 

м

 

 

м

Число оборотов мюона до его распада – n T .

 

 

m e4

Число оборотов

N

м

 

.

32 3 02n3 3

Подставим значения при n = 1:

N2, 2 10 6 207 9,1 10 31 1,64 10 76 3 1012 оборотов. 32 3,142 8,852 10 24 1,053 10 102

 

 

 

4

 

n2 2

 

 

re

–13

 

 

Ответ:

r

 

 

0

 

;

r

n

; r1 = 2,44 10

 

м; Eсв = 2,82 кэВ;

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

mмe2

 

n

207

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

= 2,2 106 м/с; v

ve ; N = 3 1012 оборотов.

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Потенциал ионизации водородного атома i = 13,6 В.

Вычислить: а) значение постоянной Ридберга; б) первый потенциал возбуждения 1; в) энергию фотона, соответствующую второй линии серии Бальмера; г) длину волны первой линии 1 и длину волны коротковолновой границы серий Лаймана, Бальмера, Пашена; д) сколько линий серии Бальмера попадает в видимую часть спектра?

12

Дано:

i = 13,6 В

а) R =

б) 1 =

в) Е21 = г) 1 = ?;

= ? д) N =

Решение. В задаче рассматриваются спектральные закономерности атома водорода, поэтому для ее решения воспользуемся обобщенной формулой Бальмера – Ридберга:

R 1/ ni2 1/ n2j ,

где ni = 1, 2, 3, ..., nj = ( ni + 1); ( nj + 2); ...

а) Энергия ионизации атома Еi e i – это

та энергия, которую необходимо сообщить валентному электрону в атоме, находящемуся в основном состоянии, чтобы удалить его за пределы атома. Для атома водорода это переход из состояния ni 1 в

бесконечность, потому из формулы Бальмера – Ридберга имеем: ni = 1, nj . Тогда i R . Домножив это выражение на постоян-

ную Планка , получаем энергию ионизации i R , которая с другой стороны равна e i R , отсюда

R e i / .

Подставим числовые данные:

R 1,6 10 19 13,6 20,7 10 15 2,07 10 16 с–1. 1,05 10 34

б) Первый потенциал возбуждения соответствует энергии, которую нужно сообщить валентному электрону, находящемуся в основном состоянии, чтобы перевести его на первый возбужденный уровень (для атома водорода nj = 2).

Из формулы Бальмера – Ридберга получаем частоту перехода

1 R 112 122 3R4,

энергия этого перехода 1 1 , тогда первый потенциал возбуждения равен

e (3 / 4) R

3 4.

1 1

e

i

 

 

Подставим числовые данные: 1 3 13,6 / 4 10, 2 В.

в) Серия Бальмера соответствует переходам электрона из состояний nj = 3, 4, 5, … в состояние ni = 2. Энергия, соответствующая

второй линии этой серии, равна

13

E21 R 1/ 22 1/ 42 3 R /16 3Ei /16 .

Подставим числовые данные: E21 3 13,6 /16 2,55 эВ.

г) Чтобы найти длину волны, запишем формулу Бальмера – Ридберга в виде

1 (R2 c) 1ni2 1 n2j .

Так как нас интересуют первая и последняя линии каждой серии,

то

для серии Лаймана ni = 1, nj1= 2, nj2 , для серии Бальмера ni = 2, nj1= 3, nj2 , для серии Пашена ni = 3, nj1= 4, n j2 .

Для серии Лаймана: длина волны первой линии

 

 

 

 

 

 

2 c

 

 

8 c

121 10 9 121 нм;

 

 

 

1/12

1/ 22

 

 

 

1

 

R

 

R 3

 

 

 

границы линии

 

 

 

2 c

2 c

91 10 9

91 нм.

R 1/11 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

Для серии Бальмера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 c

 

 

2 c 36

655,2 нм,

 

 

 

R 1/ 22 1/ 32

 

 

 

 

 

1

 

 

 

R 5

 

 

 

 

 

 

 

2 с

 

4 364 нм.

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для серии Пашена:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 с

 

 

 

2 c 144 1872 нм,

 

 

 

R 1/ 33 1/ 44

 

 

1

 

 

 

R 7

 

 

 

 

 

 

 

2 c

 

9 819 нм.

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) В видимую часть спектра попадают длины волн в диапазоне от 400 нм до 760 нм. Рассчитав длины волн серии Бальмера, подсчитаем число линий, длины которых укладываются в этот диапазон.

Произведем подсчет длин волн всех линий серии Бальмера, лежащих в видимой части спектра:

14

 

 

 

2 c

 

 

2 c 36 655, 2 нм;

R 1/ 22

1/ 32

1

 

 

 

 

R 5

 

 

 

2

 

2 c

 

1

 

 

 

 

2 c 16

485 нм;

R 1/ 22 1/ 42

R 3

 

 

 

 

 

 

3

 

2 c

 

1

 

 

 

 

2 c 100

433

нм;

R 1/ 22 1/ 52

 

 

R 21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2 c

 

1

 

 

 

 

2 c 36

409,5 нм;

R 1/ 22 1/ 62

R 8

 

 

 

 

 

 

5

 

2 c

 

1

 

 

 

 

2 c 196

396

нм.

R 1/ 22 1/ 72

 

 

R 45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линия 5 лежит уже в ультрафиолетовой части спектра. Таким образом, число линий серии Бальмера, лежащих в видимой части

спектра, равно N = 4.

 

 

 

 

 

 

Ответ: a)

R = 2,07 1016

с–1; б)

 

= 10 2 В; в)

E

= 2,55 эВ;

г) 1 = 121 нм;

 

 

 

1

 

21

 

= 91 нм;

1

= 655,2 нм;

= 364 нм;

1 = 1872 нм;

= 364 нм; д) N = 4.

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Какую работу нужно совершить, чтобы удалить электрон со второй орбиты атома водорода за пределы притяжения его ядром?

Дано:

n = 2

me = 9,1 10–31 кг e = 1,6 10–19 Кл

A = ?

Решение. Чтобы удалить электрон со второй орбиты атома, необходимо совершить работу, равную потенциальной энергии на этой орбите в поле электростатического притяжения ядра. Очевидно, эта энергия равна

E

1

e2

(1)

 

,

 

n

4 0

rn

 

 

 

где rn – радиус орбиты, который можно найти по второму закону Ньютона:

mv2

1 e2

.

(2)

 

 

 

4 0 rn2

rn

 

 

Для определения скорости v электрона воспользуемся правилом квантования орбитального момента импульса электрона

mvrn n .

(3)

15

Решив совместно эти три уравнения, находим работу по удалению электрона.

Скорость электрона на n-й орбите согласно выражению (3)

v

n

 

,

подставив полученную формулу в (2),

получаем:

mr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m n2 2

 

 

1 e2

 

 

 

 

rn

4 0 2n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, отсюда

 

 

. Подставив в (1), находим

rn m2rn2

 

4 0 rn2

me2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

работу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

1

 

me4

 

me4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0

4 0 2n2

16 2 02 2n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим

в

 

 

формулу

числовые

значения:

A

9,1 10 31 1,64

10 76

5, 47 10 19 Дж = 3,42 эВ.

 

 

 

 

 

 

 

92 1018 1,05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: A = 5,47 10–19 Дж = 3,42 эВ.

Задача 4. Определить изменение орбитального момента импульса и орбитального магнитного момента электрона при переходе его из возбужденного состояния в основное с испусканием фотона с

длиной волны = 1,02 10–7 м.

 

 

 

Дано:

Решение. Электрон в атоме водорода перешел

ni = 1

из состояния с номером nj в основное состояние

= 1,02 10–7 м

n = 1. Длина волны испущенного фотона известна,

L = ?

i

 

 

 

следовательно, воспользовавшись формулой Баль-

 

мера – Ридберга 1 R (2 c) 1/ ni2 1/ n2j

, найдем nj :

 

nj

 

1

 

.

 

1/ n2

 

 

 

 

2 c / R

 

 

i

 

 

 

Согласно правилу квантования орбит, момент импульса электрона на n-й орбите Ln n , тогда изменение момента импульса

L Ln2 Ln1 .

Момент импульса в возбужденном состоянии

Lnj n j

 

 

,

1/ n2

2 c / R

 

 

 

i

 

 

в основном состоянии Lni ni , и изменение момента импульса

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L L L

 

 

 

 

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

nj

 

 

 

1/ n2

2 c / R

 

 

 

 

1/ n2

2 c / R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

Подставим числовые данные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L 1,05 10

34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34

 

2

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,03 10

 

кг м

 

с

 

.

 

 

 

6, 28

3 108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,02 10

7

2 10

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Момент импульса при переходе электрона в основное состояние уменьшился.

Электрон, движущийся по орбите, обладает магнитным моментом IS , где I – сила тока, соответствующего движению электрона,

I е/ Т (T – период обращения

T 2 r / ),

S = 2 r2 – площадь,

охватываемая орбитой, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e r2

 

e

 

e

mvr

 

 

e

 

 

 

 

n

v

 

r v

 

 

 

L .

 

 

2m

2m

 

n

 

2 r

 

2 n

n

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это гиромагнитное отношение, связывающее орбитальные магнитный и механический (импульса) моменты электрона в атоме водорода. Изменение магнитного момента (е/ 2m) Ln .

Изменение магнитного момента электрона

 

e

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

.

 

2m с

 

2

2 c / R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

1/ n j

 

 

 

Подставим значения:

1,6 10 19 2 10 34

5,8 10 32

А м2.

8

2

9,1 10

31

 

 

 

 

3 10

 

 

 

 

 

Магнитный момент увеличился.

Ответ: L 2,03 10 34 кг м2 с 1, μ 5,8 10 32 А м2.

Задача 5. Считая поправку в законе Мозли равной единице, найти, сколько элементов содержится в ряду между элементами, у которых длины волн K -линий равны 375,3 пм и 251,2 пм (20 (Ca), 21 (Sc), 22 (Ti)).

17

Дано:

= 11 = 3,753 10–10 м

2 = 2,512 10–10 м Z = ?

Решение. Линии K , излучаемые ато-

мом, возникают при переходе электрона с уровня nj = 2 на уровень ni = 1. Согласно

формуле Мозли:

R Z 2

 

1

 

1

 

 

 

 

.

(1)

 

n 2

 

n 2

 

 

 

 

 

i

 

j

 

 

Определим атомные номера Z элементов, для которых известны длины волн K -линий. Учтём, что 2 с. Тогда формулу (1) можно записать

2 с R

Z 1 2

1

 

1

 

3 R

Z 1 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

12

 

 

22

 

 

 

Отсюда выразим Z:

Z 1

 

8 с

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим значения длин волн из дано:

Z1

1

 

 

8 3,14 3 108

 

19;

3

3,753 10 10

2,07 1016

 

 

 

Z2

1

 

 

8 3,14 3 108

23.

 

3 2,512 10 10

2,07 1016

 

 

 

 

В итоге можно сделать вывод, что между элементами с номерами 19 и 23 находятся 3 элемента, атомные номера которых 20 (Ca, кальций), 21 (Sc, скандий), 22 (Ti, титан).

Ответ: 3 элемента: 20 (Ca, кальций), 21 (Sc, скандий), 22 (Ti, ти-

тан).

1.3Задачи для решения на практических занятиях

1.На какое расстояние rmin может приблизиться к неподвижно-

му ядру атома золота -частица при центральном соударении, если скорость частицы на большом расстоянии от ядра v = 3 107 м/с?

2.Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают на n-й энергетический уровень?

3.Найти квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию иона He+, если при переходе в основное состояние этот

18

ион испустил последовательно два фотона с длинами волн

1 = 121,4 нм, 2 = 30,35 нм.

4.Определите длину волны спектра испускания ионизованного

гелия, соответствующего переходу электрона с орбиты n2 = 4 на орбиту с n1 = 2.

5.Пользуясь формулой Бальмера, рассчитайте коротковолновую

идлинноволновую границы спектра атомарного водорода для серии Бальмера.

6.Учитывая, что в постоянную Ридберга R входит приведенная масса ядра и электрона, найдите разность длин волн головных линий серии Лаймана для атомов легкого и тяжелого водорода (дейтерия). На сколько электронвольт отличаются работы ионизации для этих атомов?

7.Определить скорость v электрона на второй орбите атома водорода.

8.Вычислить длину волны , которую испускает ион лития Li++ при переходе со второго энергетического уровня на первый.

9.Определить первый потенциал U1 возбуждения иона Li++.

10.При исследовании линейчатого рентгеновского спектра некоторого элемента было найдено, что длина волны линии K рав-

на 76 пм. Какой это элемент?

Тестовые задания

1.Согласно первому постулату Бора электроны могут двигаться

ватоме только по определённым (стационарным) орбитам. Определите величину момента импульса электрона в атоме водорода, находящегося во втором возбуждённом состоянии. Ответ дайте в СИ.

Варианты ответов:

1) 1,05 10–34; 2) 2,1 10–34; 3) 3,15 10–34; 4) 4,2 10–34. 2. Выберите верное соотношение между кинетической Eк , по-

тенциальной Eп и полной E энергиями электрона в атоме водорода.

Варианты ответов:

 

1)

Eк = –0,5 Eп; E = Eк ;

2) Eк = – Eп; E = 0;

3) Eп = 2 Eк ;

E = – Eк ;

4) Eп = –2 Eк ; E = – Eк ;

5)

Eк = 0,5 Eп;

E = – Eк .

 

3. В какой области спектра излучения находится серия Брэкета?

19

Варианты ответов:

1)в инфракрасной;

2)в видимой;

3)в ультрафиолетовой;

4)в области рентгеновского излучения.

4. По какой из приведённых ниже формул может быть верно рассчитана длина волны, соответствующая второй линии спектра серии Пашена?

Варианты ответов:

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

1)

 

 

R

1

 

9

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

3)

 

 

R

 

 

 

 

 

 

;

 

 

4

16

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

5)

 

 

R

 

 

 

 

 

.

 

 

9

25

 

 

 

 

 

 

5. Выберите правильное

тральных линий ωКα, ωКβ, ωLα новского излучения.

Варианты ответов: 1) K > K > L ; 3) ωКβ > K > L ; 5) K > L > K .

 

1

 

1

 

1

 

 

 

2)

 

R

4

 

9

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

3)

 

R

 

 

 

 

 

 

 

;

 

9

16

 

 

 

 

 

 

 

соотношение между частотами спек- в спектре характеристического рентге-

2) K < K < L ; 4) K > L > K ;

1.4Задачи для самостоятельного решения

1.На какой орбите скорость электрона в атоме водорода равна

734 км/с?

2.В спектре атомарного водорода известны длины волн трех линий, принадлежащих одной и той же серии: 97,26; 102,58 и 121,57 нм. Найти длины волн других линий в данном спектре.

3.Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длина волны которого в 4 раза короче, чем у атомарного водорода.

4.Пользуясь формулой Бальмера, рассчитайте коротковолновую

идлинноволновую границы спектра атомарного водорода для серии Лаймана.

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности