Методы математической физики

Реализация граничных условий первого рода не составляет труда:

При реализации граничных условий второго рода производные в точке x0 и в точке xN заменяют конечно-разностным аналогом со вторым порядком точности:

Выражая отсюда uk 1, ukN 1 и подставляя в уравнения (6.49) и (6.52), записанные соответственно для i 0 и i N, получим следующие уравнения для нахождения значения функции в крайней левой и крайней правой точках области:

на первом временном слое:

на последующих временных слоях ˆk E 1•:

При реализации граничных условий третьего рода поступают аналогично. Разностные аналоги граничных условий имеют вид:

Тогда из уравнений (6.49) и (6.52) получаем на первом временном слое:

Для граничных условий третьего рода условие устойчивости имеет вид:

r D » 1 .

1 αih

6.4 Метод конечных разностей для решения уравнений эллиптического типа

6.4.1 Метод конечных разностей для решения уравнения Пуассона

Рассмотрим уравнение Пуассона:

где ∆ @2~@x2 @2~@y2 — оператор Лапласа.

Будем искать решение уравнения (6.62) в области, представляющей собой прямоугольник (рис. 6.5): ˜a D x D b; c D y D d•, на границах которого заданы следу-

Такая задача называется первой краевой задачей или задачей Дирихле.

Рис. 6.5 – Расчетная область

Разностная схема «крест»

Для численного решения задачи (6.62)–(6.63) введем для рассматриваемой области разностную сетку, образованную пересекающимися вертикальными и горизонтальными линиями (рис. 6.5): xi a i hx; yj c j hy, где hx ˆb a•~N; hy ˆd c•~M; i 0, N; j 0, M. Точки пересечения этих линий будем называть узлами разностной сетки и обозначать ˆi, j•.

Заменим производные @2u~@x2, @2u~@y2 в дифференциальном операторе Лапласа (6.62) разностными аналогами, каждый из которых будем строить на трехточечном шаблоне (рис. 6.6).

Рис. 6.6 – Шаблон разностной схемы для эллиптического уравнения

Заменяя значения функции в точке x, y: uˆx, y• сеточной функцией ui, j, получим следующие соотношения:

Тогда уравнение Пуассона (6.62) перепишется в виде:

Разностное уравнение (6.64) записано на пятиточечном шаблоне (рис. 6.6). Граница разностной сетки состоит из узлов ˆ0, j•, ˆN, j•, ˆi, 0•, ˆi, M•. Из рис. 6.5 и рис. 6.6, а также из разностного уравнения (6.64) следует, что угловые точки разностной сетки (вершины прямоугольника) в разностной схеме не используются.

Разностная схема (6.64) может быть записана в виде:

Полученное уравнение (6.65) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений размером ˆN 1•ˆM 1•, которая может быть решена любым из известных методов, прямым или итерационным.

Метод релаксации

Для увеличения скорости сходимости итерационного процесса в методе ГауссаЗейделя используют метод релаксации, который состоит из двух этапов.

Пусть на k-ой итерации известны значения функции uˆk•. Сначала выполня-

i,j

ется один итерационный шаг по методу Гаусса-Зейделя и определяются значения функции u‡i,j. Далее полученные значения пересчитываются на ˆk 1• итерационный слой по формуле:

При ω @ 1 метод носит название «нижней» релаксации, а при 1 @ ω @ 2 — «верхней» релаксации.

6.4.3 Решение уравнения Пуассона со смешанными граничными условиями

Рассмотрим решение уравнения Пуассона (6.62) со смешанными граничными условиями, т. е. когда на одних границах заданы краевые условия первого рода, а на других — краевые условия второго рода.

Пусть на двух вертикальных границах x a, x b и одной горизонтальной границе y d заданы условия первого рода, а на другой горизонтальной границе

Аппроксимация краевых условий первого рода дается формулами (6.67). Поскольку разностная схема решения уравнения Пуассона (6.64) имеет второй порядок аппроксимации по обеим переменным, то и краевое второго рода необходимо аппроксимировать со вторым порядком точности:

В полученном соотношении появился слой фиктивных точек j 1, выходящих за область определения, в которых сеточная функция u не определена. Для исключения этого слоя из рассмотрения запишем разностный аналог уравнения Пуассона (6.66) для j 0:

Выражая ui,1 из (6.70) и подставляя в (6.71), получим:

Уравнение (6.72) служит для нахождения значения функции на ˆk 1• итерации на горизонтальной линии j 0, 1 D i D N 1.

Если граничное условие второго рода задано на вертикальной границе x a:λ ˆ@u~@x•Sx a q3ˆy•, c @ y @ d, а на других границах заданы краевые условия первого рода, то уравнение для нахождения сеточной функции на вертикальной линии i 0, 1 D j D M 1 получается аналогичным образом и имеет вид:

Пусть краевое условие второго рода задано на двух соседних границах: x a и y c. Тогда сеточная функция на горизонтальной линии j 0, 1 D i D N 1 будет находиться по формуле (6.72), на вертикальной линии i 0, 1 D j D M 1 — по формуле (6.73), а в левой нижней угловой точке ˆi 0, j 0• по формуле:

Подобным же образом можно получить формулы для правой и верхней границ, а также для трех других угловых точек.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Контрольные вопросы по главе 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1)В чем заключается сущность численного метода решения дифференциальных уравнений?

2)Каков принцип получения разностных аналогов?

3)Что называют шагом разностной сетки?

4)Что называется разностной схемой для дифференциального уравнения?

5)Что такое погрешность аппроксимации?

6)Что такое главный член погрешности? Что называется порядком аппроксимации?

7)Что означает сходимость разностной схемы?

8)Какую разностную схему называют устойчивой?

9)О чем гласит теорема Лакса?

10)Что такое условие Неймана?

11)Какие разностные схемы называют явными, а какие неявными?

12)Для чего используют преобразование А. А. Самарского?

13)В чем отличие разностных схем для решения гиперболических уравнений от разностных схем для параболических уравнений?

14)Для чего используется метод релаксации?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Стремительно развивающиеся наука и техника выдвигают повышенные требования к современному инженеру, который должен не только глубоко понимать суть происходящих физических процессов, но и иметь высокую математическую культуру.

Изученный курс предполагает формирование у студента начальных навыков в описании физических процессов с помощью математических моделей, сформулированных в виде задач математической физики, для решения которых обучающийся должен овладеть основными численными и аналитическими методами.

Безусловно, в данном пособии не было рассмотрено все многообразие физических моделей и с ними связанных задач, с которыми будущий инженер может встретиться в своей профессиональной деятельности. Прежде всего, данный курс призван дать основные предствления о методах решения задач математической физики.

ЛИТЕРАТУРА

А. А. Самарский. — М. : Высшая школа, 1966. — 724 с.

[3]Кошляков Н. С. Уравнения частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. — М. : Высшая школа, 1970. — 712 с.

А. А. Самарский. — М. : Знания, 1983. — 64 с.

[8]Годунов С. К. Разностные схемы / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. — Наука, 1973. — 400 с.

А. П. Михайлов. — М. : Наука, 1997. — 320 с.