Методические указания к практическим работам для студентов направления 09.03.02 «Информатика и вычислительная техника»
.pdfМинистерство высшего образования и науки РФ
Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники
Кафедра экономической математики, информатики и статистики
«Вычислительная математика»
В.И.Смагин
Методические указания к практическим работам для студентов направления 09.03.02
«Информатика и вычислительная техника»
Предлагаемые задания к практическим и лабораторным работам выполняются студентами в компьютерном классе с использованием пакета прикладных программ MATLAB. В приложении к описанию даны варианты исходных данных к заданиям.
Томск - 2015
СОДЕРЖАНИЕ
Аннотация……………………………………………...……3
Перечень закрепленных за дисциплиной компетен-
ций………………………..…………………………………...4
Практическое занятие № 1. Алгоритмизация вычислительных процессов с использованием интегрированного пакета приклад-
ных программ MATLAB…………………………………………..5
Практическое занятие № 2. Анализ погрешностей……………6
Практическое занятие № 3. Метод наименьших квадратов…11
Практическое занятие № 4. Численное дифференцирование.15
Практическое занятие № 5. Численное интегрирование…….20
Практическое занятие № 6. Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения…………………………………………..28
Практическое занятие № 7. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений……………………………………………..31
Практическое занятие № 8. Численное решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта……………………….34
Практическое занятие № 9. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го поряд-
ка…………………………………………………………………..36
ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………39
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………….….56
2
АННОТАЦИЯ
Методические указания к практическим работам для студентов направления 09.03.02
«Информатика и вычислительная техника»
В методических указаниях для дисциплины «Вычислительная математика» рассматриваются разделы теории погрешностей, методов аппроксимации, численного дифференцирования и интегрирования, методов решения задач линейной алгебры и методов численного решения систем дифференциальных уравнений. Цель методических указаний оказать студентам помощь при решении задач вычислительной математики с использованием анализа погрешностей, научить выбирать эффективные численные методы и дать студентам навыки применения численных методов для решения практических задач с использованием ЭВМ.
Предлагаемые задания к практическим и лабораторным работам выполняются студентами в компьютерном классе с использованием пакета прикладных программ MATLAB. В приложении к описанию даны варианты исходных данных к заданиям.
3
Перечень закрепленных за дисциплиной компетенций
Компетенции закрепленные за дисциплиной «Вычислительная математика» приведены в таблице
Формулировка компеЭтапы формирования ком-
Код
тенции |
петенции |
Должен знать:
- математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований.
|
способностью |
использовать |
Должен уметь: |
|
|
- применять математические |
|||
|
математические |
методы об- |
||
|
методы обработки информа- |
|||
|
работки, анализа и синтеза |
|||
|
|
|||
ПК-25 |
результатов профессиональ- |
ции, анализа полученных ре- |
||
ных исследований |
зультатов. |
|||
|
||||
|
|
|
Должен владеть: |
|
|
|
|
- математическими методами |
|
|
|
|
и способами синтеза резуль- |
|
|
|
|
татов профессиональных ис- |
|
|
|
|
следований в информацион- |
|
|
|
|
ные системах и технологиях. |
|
4
Практическое занятие № 1.
Алгоритмизация вычислительных процессов с использованием интегрированного пакета прикладных
программ MATLAB на простейших примерах
Задание.
1.Изучить по описанию пакета прикладных программ MATLAB разделы:
-панели инструментов;
-описание переменных, основных операторов и функций си-
стемы MATLAB;
-реализация графиков с помощью команды plot;
-основы программирования в системе MATLAB.
2.Составить программу формирования массива и отображения его в виде графика. Варианты заданий к лабораторной работе приведены в приложении.
Цель работы. Дать студентам практические навыки алгоритмизации вычислительных процессов с использованием интегрированного пакета прикладных программ MATLAB.
Указания к выполнению. При выполнении лабораторной работы студенты используют знания, полученные при изучении курса «Информатика» и учебное пособие:
Смагин В.И. Matlab и система Simulink. Изд-во ТУСУР,
2006. 123 c.
5
Практическое занятие № 2.
Анализ погрешностей
Задание. Определить для п.п. а) и б) число верных знаков приближенного числа, если известна абсолютная погрешность; для п. в) определить абсолютную и относительную погрешность, если известно число верных знаков; для п. г) определить абсолютную погрешность z , если известны абсолютные по-
грешности |
аргументов |
x 0,5 10 3 , |
y 0,1 10 4 |
(x 0,871, |
y 1,153) . Значение функции z |
записать с вер- |
|
ными знаками.
Варианты исходных данных для задания приведены в приложении.
Цель работы. Дать студентам практические навыки определения погрешностей.
Указания к выполнению. При выполнении лабораторной работы студенты используют следующую информацию об основах теории погрешностей.
Математические оценки точности приближенного числа
Введем обозначения: x – точное значение числа, x – приближенное значение число, x x – погрешность числа (ошибка), | | | x x | – модуль ошибки. В силу того, что точ-
ное значение x , как правило, неизвестно вводится понятие абсолютной погрешности числа x .
Абсолютной погрешностью числа называется наименьшее из всех возможных чисел x , которого не превышает модуль
ошибки
| | x .
Для того, чтобы характеризовать точность вычислений (измерений) вводится понятие относительной погрешности, определяющей величину погрешности, которая приходится на единицу измеряемой величины
6
x 
.
На практике используют следующую оценку относительной погрешности
x x .
| x |
Верные знаки приближенного числа
Приближенные числа принято записывать с верными знаками. Если – основание системы счисления ( – обычно
равно 2, 3, 8, 10, 16), то число может быть представлено в виде x ( 1 m 2 m 1 ... n m n 1 ...) .
Приближенное число x имеет n верных знаков, если для абсолютной погрешности справедливо неравенство
x m n 1 .
Для десятичной системы счисления ( =10), если =0,5 , то
число x имеет n верных знаков в узком смысле |
|
x 0,5 10m n 1 , |
(1) |
если =1,0, то число x имеет n верных знаков в широком смысле. Если число имеет n верных знаков, то цифры n 1, n 2
называются сомнительными.
Относительная погрешность числа, содержащего n верных знаков, определяется соотношением
x |
|
m n 1 |
|
|
|
m n 1 |
|
|
1 n 1 n . |
|
m |
m 1 |
... |
m |
|
||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
На практике обычно используется понятие числа с верными знаками в узком смысле. Тогда можно сказать, что абсолютная погрешность числа с верными знаками равна половине последнего правильного разряда. Отметим также, что при записи числа с верными знаками необходимо пользоваться правилами округления чисел.
7
Пример. Записать с верными десятичными знаками в узком смысле значение числа x 0, 009665212 , если оно задано с по-
грешностью x 0, 0000031. Для решения задачи необходимо сначала определить значение m , оно в нашем случае равно -3. Затем необходимо для погрешности x записать неравенство
0, 0000031 0,5 10 5 ,
в котором справа должна стоять минимально возможная целая степень. Далее в силу формулы (1) составляется уравнение
m n 1 5 ,
решение, которого дает количество верных знаков числа. Очевидно n 3 . Тогда, записанное с верными знаками число с учетом правил округления, имеет вид
x 0, 00967 .
Погрешность вычисления функции многих переменных
Пусть требуется вычислить значение функции многих пе-
ременных |
|
|
y f (x , x ,..., x ) . |
(2) |
|
1 2 |
n |
|
Будем предполагать, что нам известны приближенные значения аргументов функции x1 , x2 ,..., xn , которые заданы с погрешно-
стями xi . Необходимо определить абсолютную погрешность y . Дополнительно будем предполагать, что:
1) погрешности xi малы;
2) частные производные f (x1, x2 ,..., xn ) существуют и яв-
xi
ляются непрерывными плавно изменяющимися функциями. Разлагая функцию f (x1, x2 ,..., xn ) в ряд Тейлора нулевой
степени, оценим ошибку
8
y y f (x1* , x2* ,..., xn* ) f (x1, x2 ,..., xn ) .
Врезультате получим
|
|
|
|
|
n |
f ( 1, 2 ,..., n ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(xi xi ) , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
i |
x |
(x x ) , |
|
i |
– некоторое заранее неизвестное |
|||||||||||||
|
i |
i i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
число, принадлежащее интервалу [0 1] |
|
( i 1, n ). Заметим, что |
|||||||||||||||||
здесь |
представляет собой остаточный член многочлена Тей- |
||||||||||||||||||
лора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу сделанных предположений, |
|
|
|
|
будет приблизитель- |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
но ограничен сверху величиной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
f (x , x ,..., x ) |
|
xi |
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая и будет абсолютной погрешностью величины y , т.е.
n |
f (x , x ,..., x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
1 2 |
n |
|
xi . |
(3) |
|||||||||
|
|
xi |
|
|
|
||||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Разделив левую и правую части равенства (3) на |
y |
оце- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ним относительную погрешность функции y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
f (x1 , x2 ,..., xn ) |
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
|
xi . |
(4) |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
i 1 |
|
|
xi |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si (x1 , x2 ,..., xn ) |
|
f (x1 , x2 ,..., xn ) xi |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
xi |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
называются чувствительностями. Они определяют степень влияния погрешности i -го аргумента на погрешность результата.
9
Пример. Рассмотрим задачу вычисления функции y arcsin(x) .
Чувствительность для этой функции определится по формуле
S(x) |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
x2 arcsin(x) |
||||
1 |
|
||||
Если значение x находится вблизи 1, то чувствительность будет высокой, а значит исходная задача неустойчива (малые отклонения исходных данных приводят к большим отклонениям результата).
10