Оптимальное и адаптивное управление
..pdf
Раздел 4. Алгоритмы идентификации
Лабораторная работа № 7.
Рекуррентная идентификация трех неизвестных параметров ( b1 , b2 и )
Для дискретной модели фонда производственного накопления и потребления
x(k 1) A( )x(k) B( )u(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(12) |
и модели желаемого изменения фонда потребления:
w(k 1) (1 r)w(k), w(0) w0 ,
В (12) трехмерный вектор неизвестных параметров задается в виде:
1b1
b2 .b1
Предполагается, что вектор является неизвестной константой. |
Это |
||||||||||
означает, что динамическая модель для вектора следующая: |
|
||||||||||
|
|
(k 1) (k) , |
(0) 0 , |
(13) |
|||||||
где 0 |
случайный вектор с характеристиками: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||
|
M{ } |
|
, |
M{( |
|
)( |
|
} P . |
(14) |
||
|
0 |
0 |
0 0 |
0 0 |
0 |
|
|||||
21
Определить матрицу G(k) G(x(k),u(k)) |
и вектор g(k) |
g(x(k),u(k)) из соотношения |
|
x(k 1) A( )x(k) B( )u(k) q(k) G(k) g(k) q(k) . (15)
В качестве алгоритма идентификации используется дискретный фильтр Калмана, построенный с использованием модели (13) и представлении объекта (12) в виде (15):
ˆ(k 1) ˆ(k) K (k)[x(k 1) G(k) ˆ(k) g(k)] , ˆ(0) 0 , (16)
K |
(k) P (k)G(k)T [G(k)P (k)G(k)T Q] 1 |
, |
(17) |
|
|
|
|
|
|
P (k 1) (E3 |
K (k)G(k))P (k) , P (0) P 0 . |
(18) |
||
Начальные условия для уравнения (16) следующие:
0ˆ (0) 0 .
0
Матрица P (0) диагональная (элементы матрицы приведены в табли-
це 3).
ЗАДАНИЕ
Построить графики оценок неизвестных параметров при постоянных значениях управлений. Исследовать влияние на качество идентификации диагональных элементов матрицы P 0 (увеличивая их в 10 и
100 раз), диагональных элементов матрицы Q (уменьшая из в 10 и 100 раз, при этом P 0 принимает исходное значение). Сделать выводы.
22
Лабораторная работа № 8.
Рекуррентная идентификация двух неизвестных параметров ( b1 и b2 )
Для дискретной модели фонда производственного накопления и потребления
x(k 1) A( )x(k) B( )u(k) q(k), x(0) x0 , |
(19) |
и модели желаемого изменения фонда потребления:
w(k 1) (1 r)w(k), w(0) w0 , |
(20) |
В (19) вектор неизвестных параметров определить следующим соотношением:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||
|
1 |
|
. |
|
b |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
b1 |
|
|
||
Предполагается, что вектор является неизвестной константой. Диагональные элементы матрицы Q , весовые коэффициенты
критерия C, |
D заданы в таблицах. Интервал времени: k 0,....,200 . |
||||||||
В качестве алгоритма идентификации используется дискретный |
|||||||||
фильтр Калмана: |
|
|
|
|
|
|
|
||
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
0 , |
(21) |
||||||
(k 1) |
(k) |
K (k)[x(k 1) G(k) g(k)] , (0) |
|||||||
K |
(k) P (k)G(k)T (G(k)P (k)G(k)T Q) 1 , |
|
|
|
(22) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (k 1) (E2 |
K (k)G(k))P (k) , P (0) P 0 . |
|
|
|
(23) |
||||
23
Начальные условия для уравнения (4) следующие:
ˆ(0) 0 .0
Матрица P (0) диагональная и задана в таблице 3.
Определить матрицу G(x(k),u(k)) и вектор g(x(k),u(k)) . Учитывая, что 2-ая строка матрицы G(x(k),u(k)) нулевая, модифици-
ровать уравнения фильтрации (21 23). Эта модификация позволит вместо полного вектора x(k 1) в (21) использовать только 1-ю компоненту этого вектора.
ЗАДАНИЕ
1. Построить графики оценок неизвестных параметров.
2. Выполнить моделирование в предположении, что контроль за состоянием объекта осуществляется с ошибками. Модель системы контроля имеет вид:
y(k) Hx(k) (k) ,
где (k) гауссовская последовательность независимая от q(k) с характеристиками:
M{ (k)} 0, |
M{ (k) T ( j)} V k , j . |
|||
Матрица V диагональная, ее элементы заданы в таблице 2. Матрица |
||||
системы контроля следующая |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
H |
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
||
24
Раздел 5. Адаптивное управление по локальному критерию.
Лабораторная работа № 9. Адаптивное управление с использованием двухэтапного алгоритма идентификации
Для дискретной модели фонда производственного накопления и потребления
x(k 1) A( )x(k) B( )u(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(24) |
и модели желаемого изменения фонда потребления:
w(k 1) (1 r)w(k), w(0) w0.
Вектор неизвестных параметров определяется следующим соотношением:
1
b1
b2 .b1
Выполнить моделирование системы (24), реализовав адаптивное управление в предположении, что вектор x(k) контролируется с помощью следующей модели:
y(k) Hx(k) (k) ,
где (k) гауссовская случайная последовательность, независимая от q(k) , с характеристиками:
M{ (k)} 0, M{ (k) T ( j)} V k , j .
25
Матрица системы контроля равна |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
H |
0 |
1 |
. |
|
|
Для вычисления оценок вектора неизвестных параметров использовать алгоритм двухэтапной идентификации.
Адаптивное управление будет иметь вид:
|
|
u(k) [B |
T |
|
ˆ |
|
T |
|
ˆ |
1 |
B |
T |
ˆ |
|
|
|||||
|
|
|
( (k))F |
|
CFB( (k)) D] |
|
|
( (k)) |
|
(25) |
||||||||||
|
|
|
|
F |
T |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
C[FA( (k))xˆ(k) w(k 1)], |
|
|
|
|
|
||||||||||
Интервал времени: k 0,....,140 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Оценки векторов |
xˆ(k) |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и (k ) определяются с помощью следу- |
||||||||||||||||||||
ющих формул: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xˆ(k |
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
(k)[ y(k 1) |
|
|
|||||||
1) A( (k))xˆ(k) B( (k))u(k) K f |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
x(0) , |
|
(26) |
||||
|
|
H ( A( (k))xˆ(k) |
B( (k))u(k))] , xˆ(0) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Pf (k 1/ k) |
ˆ |
|
ˆ |
|
T |
Q , |
|
(27) |
||||||||
|
|
|
|
A( (k))Pf |
(k) A( (k)) |
|
|
|||||||||||||
|
|
K |
f |
(k) P (k 1/ k)H T [HP (k 1/ k)H T V ] 1 , |
|
(28) |
||||||||||||||
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pf (k 1) (E2 K f (k)H )Pf |
(k 1/ k) , |
Pf (0) Pf0 , |
|
(29) |
|||||||||||||||
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
, |
(30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(k 1) |
(k) K (k)[ y(k 1) HG(k) Hg(k)] |
, (0) 0 |
||||||||||||||||||
K |
(k) P (k)G(k)T [G(k)P (k)G(k)T HQH T V ] 1 , |
|
(31) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (k 1) (E3 K (k)G(k))P (k) , |
P (0) P 0 , |
|
(32) |
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(k) G(xˆ(k),u(k)) , g(k) g(xˆ(k),u(k)) . |
|
|
|||||||||||||||
26
Начальные условия для уравнения (30) следующие:
0ˆ (0) 0 .
0
Матрица P (0) диагональная (см. таблицу 3).
ЗАДАНИЕ
Построить графики переходных процессов, графики адаптивного управления и оценок неизвестных параметров. Исследовать влияние на качество идентификации диагональных элементов матрицы P 0 (увели-
чивая их в 10 и 100 раз), диагональных элементов матрицы Q и V (уменьшая из в 10 и 100 раз). Сделать выводы.
Лабораторная работа № 10.
Адаптивное управление по нелинейной модели
А) Оптимальное управление
1. Для дискретной модели фирмы, производящей 1 вид товара
x(k 1) A (x(k)) Bu(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(33) |
||||||
и модели желаемого изменения прибыли фирмы: |
|
|
||||||
|
|
(k 1) (1 r) |
|
(k), |
|
(0) w0. |
(34) |
|
w |
w |
w |
||||||
Вектор (x(k)) определяется в лабораторной работе № 7. |
|
|||||||
Компоненты вектора состояния x(k) [z(k) |
v(k) w(k)] , |
где |
||||||
z(k) количество товаров на рынке; v(k) количество товаров у
27
потребителя, w(k) прибыль. Функция продаж в этом случае примет вид:
s(k) n0 exp( c)(1 v(k) /Y )z(k) . |
(35) |
Вектор (x(k)) в (33) определяется в лабораторной работе № 7. В (33) матрицы A и B следующие
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
n |
exp( c) k |
0 |
0 |
|
A |
|
n0 exp( c) |
|
1 k2 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cn |
exp( c) k |
3 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n0 exp( c) / Y |
|
|
n exp( c) / Y |
|
, |
0 |
|
|
|
|
|
cn exp( c) / Y |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
B |
0 |
|
, (36) |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
0 |
|
|
где c цена единицы продукции, c0 себестоимость, k1 коэффициент потерь, n0 коэффициент продаж, k2 коэффициент потребления, k3 стоимость хранения единицы продукции в день, Y потенциаль-
ный спрос.
Реализовать оптимальное управление фирмой:
u(k) (BT FT CFB D) 1 BT FT C(FA (xˆ(k)) w(k 1)) . (37)
где xˆ(k) вычисляется с помощью линеаризованного фильтра Калмана: xˆ(k 1) A (xˆ(k)) Bu(k) K f (k)[ y(k 1) H (A (xˆ(k)) Bu(k))],
xˆ(0) x(0) ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (k 1/ k) |
AP (k) AT Q , |
|
||||
|
|
f |
|
|
f |
|
||
K |
f |
(k) P (k 1/ k)H T [HP (k 1/ k)H T V ] 1 |
, |
|||||
|
f |
|
|
f |
|
|||
Pf (k 1) (E2 |
K f (k)H )Pf (k 1/ k), Pf (0) Pf 0 , |
|||||||
где матрица A определяется по формуле
(x(k))
A(k) A x(k) |xˆ (k ) .
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
Предполагается, что модель системы контроля имеет вид:
28
y(k) Hx(k) (k) , |
(43) |
где (k) гауссовская случайная последовательность, независимая от q(k) , с характеристиками:
M{ (k)} 0, M{ (k) T ( j)} V k , j .
Исходные данные, необходимые для решения задачи адаптивного управления следующие:
F (0 |
0 |
1), |
C 1, |
D 0,01 , |
r 0,0062 , |
c 3,5 , c0 |
1 , |
|
|
||||||||
|
|
n0 0,8 , k1 |
0,0001, k2 |
0,02, k3 |
0,05 , |
|
|
|
|
||||||||
1 |
0 |
0 |
0,11 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
2,1 |
0 |
0 |
|
|
||
H 0 1 |
0 |
, Q |
0 |
0,08 |
|
0 |
|
|
, V |
0 3, 2 |
0 |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
0 |
0,095 |
|
|
0 |
0 |
0,05 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
190 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) |
110 |
, |
xˆ |
(0) |
|
100 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w0 |
|
|
|
|
|
w0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дополнительные данные, необходимые для выполнения работы, приведены в таблице 4.
ЗАДАНИЕ
Построить графики переходных процессов, графики оптимального управления и оценок вектора. Моделирование выполнить на интервале времени от 0 до 140. Выполнить моделирование с использованием линеаризованного экстраполятора Калмана.
29
Сделать выводы.
Б) Адаптивное управление
Для дискретной модели фирмы, производящей 1 вид товара
x(k 1) A( ) (x(k)) Bu(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(44) |
и модели желаемого изменения прибыли фирмы:
|
|
(k 1) (1 r) |
|
(k), |
|
(0) w0. |
(45) |
w |
w |
w |
|||||
Компоненты вектора состояния x(k) [z(k) v(k) |
w(k)] , где |
||||||
z(k) количество |
товаров на рынке; v(k) количество товаров у |
|
потребителя, w(k) |
прибыль. Функция продаж в этом случае примет |
|
вид: |
|
|
|
s(k) n0 exp( c)(1 v(k) /Y )z(k) . |
(46) |
где Y потенциальный спрос. В (44) вектор неизвестных параметров определен следующим соотношением:
n0 ,k2
где n0 коэффициент продаж, |
k2 |
коэффициент потребления. Пред- |
||||||||||||
полагается, |
что вектор |
является неизвестной константой. |
Матрицы |
|||||||||||
A( ) и B следующие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 exp( c) k |
0 |
|
0 |
exp( c) / Y |
|
|
|
|
|||||
A( ) |
|
exp( c) |
|
1 |
|
0 |
exp( c) / Y |
|
, |
B |
|
0 |
|
, (47) |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c exp( c) k |
|
0 |
|
1 |
c exp( c) / Y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
c0 |
|
||
30