
Лабораторный практикум по математике
..pdf21
Вариант 8.
− 2x1 + x2 + 4x3 + 2x4 = 314x − 2x + 3x + 2x = 28
Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему 1 2 3 4
2x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 = 56
− x1 + x2 − x3 + x4 = 0
Проверить решение подстановкой.
Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расши-
ренной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому
виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.
2x1 − x |
2 + x3 − x5 = 2 |
||
|
|
2 − 2x3 + x4 + x5 = −2 |
|
x1 − 2x |
|||
|
|
2x2 + x3 |
+ x4 − 3x5 = 2 |
− 3x1 + |
|||
|
− x2 + 6x3 − |
3x4 − 2x5 = 8 |
|
7x1 |
|||
|
+ 4x2 +11x3 |
− 2x4 −10x5 =16 |
|
2x1 |
Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подста-
x − y + 2z = 0
новкой. − x + 2y − z = 0
p x −7y +8z = 0

22
Лабораторная работа №3
Векторы. Прямые и плоскости
Рекомендуется изучить разделы «Алгебра геометрических векторов», «Прямая и линия на плоскости», «Прямая в пространстве» в пособии Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Рассмотрим примеры решения заданий.
Решение задания 1. Даны два вектора a = (2 −3 4) и b = (1 1 −1). Найти их длины a ,
b ; сумму a + b ; линейную комбинацию 2a −3b ; скалярное произведение a b ; векторное про-
изведение |
a |
× |
b |
; угол ϕ ( в градусах) между векторами |
a |
и |
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a.b = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a |
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
3 |
a |
|
|
|
b = |
|
|
2 |
2 a |
|
|
3 b = |
|
|
9 |
|
|
5 |
a b = |
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a.b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
acos |
|
. |
180 |
= 122.416 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
. |
|
b |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (9 9 |
2) в базисе (e1′ |
e′2 e′3 ), если он |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение задания 2. Найдите координаты вектора |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задан в базисе(e1 |
e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношения- |
|
|
|
|
|
|
e1′ = e1 +e2 + 89 e3 ми e2′ = −8e1 −e2 .
e3′ = −e1 +e2 +e3
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
8 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||||||
a |
|
|
9 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию задачи имеют место равенства

23
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
e'1 |
|
|
A.e |
|
|
A 1 .e' a |
|
aT .e |
|
aT .A 1 .e' |
e |
|
|
|
e2 |
e' |
|
|
e'2 |
e' |
|
e |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
e3 |
|
|
|
e'3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда координаты вектора а в новом базисе можно найти по формуле:
aT .A 1 = 45 12 42
Решение задания 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями
x + 2 y + 2z + 2 = 0, 2x − y + 2z −16 = 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a.b |
. |
180 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
|
|
2 |
b |
|
|
|
|
1 |
acos |
|
|
= 44.195 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
. |
|
b |
|
|
π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задания 4. Найти точку пересечения прямой x −2 2 = y−−12 = z −3 4 и плоскости x +3y +5z −42 = 0 .
x(t) |
|
|
2 t |
|
|
|
2 |
y(t) |
2 |
|
|
t |
z(t) 3 t |
|
|
4 |
F(x,y,z) |
|
x |
|
|
|
3 y |
|
|
|
5 z |
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
F(x(t) ,y(t) ,z(t)) solve ,t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x(1) = 4 |
|
|
|
y(1) = 1 z(1) = 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задания 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в
точках A(1 |
1 |
−1), B (2 |
|
|
3 1), C (3 2 |
1), D (5 9 |
|
−8), опущенную из вершины D на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
грань ABC. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
A |
|
|
1 |
|
|
|
B |
|
|
3 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
D |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
B |
|
A |
|
|
|
AC |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
AD |
|
|
D |
|
A |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
AB |
|
AC |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
(AB |
|
AC) .AD |
|
|
|
h |
|
|
3 V |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
V = 7.5 |
|
|
S = 2.062 |
|
|
|
|
|
|
|
h = 10.914 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

24
Задания
Вариант 1.
Задание 1. Даны два вектора a = (−1 2 1) и b = (2 1 −1).
Найти их длины a , b ; сумму a + b ; линейную комбинацию 2a −3b ;
скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ; угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .
Задание 2. Найдите координаты вектора a = (6 −1 3) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в
e1′ = e1 + e2 + 2e3
базисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 2e1 − e2 .
e′3 = −e1 + e2 + e3
Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями x − 3y + 5 = 0, 2x − y + 5z −16 = 0 .
Задание 4. |
Найти точку пересечения прямой |
x − 2 |
= |
y − 3 |
|
= z +1 и плоскости |
|
−1 |
−1 |
||||||
x + 2y + 3z −14 = 0 . |
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
Задание 5. |
Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках |
||||||
A(1 3 6), B(2 2 1), C(−1 0 1), D(− 4 |
6 − 3), опущенную из вершины D на грань ABC. |
Вариант 2.
Задание 1. Даны два вектора a = (−1 2 3) и b = (2 1 −1). Найти их длины a , b ;
сумму a + b ; линейную комбинацию 2a −3b ; скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ;
угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .
Задание 2. Найдите координаты вектора a = (1 2 4) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в ба-
e1′ = e1 + e2 + 3e3
зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 =1.5e1 − e2 .
e′3 = −e1 + e2 + e3
Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями x − 3y + z −1 = 0, x + z −1 = 0 .
Задание 4. Найти точку пересечения прямой x 3+1 = y−−43 = z 5+1 и плоскости x + 2y −5z + 20 = 0 .
Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках A(− 4 2 6), B(2 − 3 0), C(−10 5 8), D(−5 2 − 4), опущенную из вершины D на грань
ABC.

25
Вариант 3.
Задание 1. |
Даны два вектора |
|
= (3 2 1) и |
|
= (1 |
1 −1). |
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найти их длины |
|
a |
|
, |
|
b |
|
; сумму |
a |
b |
; линейную комбинацию 2a |
−3b ; |
|||||||||||||||||||||||
скалярное произведение |
|
|
|
; векторное произведение |
|
× |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
угол ϕ ( в градусах) между векторами |
a |
и |
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Задание 2. |
Найдите координаты вектора |
|
= (1 3 |
6) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в ба- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a |
e1′ = e1 + e2 + 4e3
зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 43 e1 − e2 .
e′3 = −e1 + e2 + e3
Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 4x −5y + 3z −1 = 0, x − 4y − z + 9 = 0 .
Задание 4. Найти точку пересечения прямой |
x −1 |
|
= |
y + 5 |
= |
z −1 |
|
и плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x − 3y + 7z − 24 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(7 2 4), B(7 −1 − 2), C(3 3 |
1), D(− 4 |
2 |
1), опущенную из вершины D на грань ABC. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задание 1. Даны два вектора |
|
|
= (−1 |
|
2 0) и |
|
= (2 2 |
−1). Найти их длины |
|
|
|
|
, |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумму |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a |
b |
; линейную комбинацию 2a |
|
−3b ; скалярное произведение a b ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторное произведение |
|
× |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
угол ϕ ( в градусах) между векторами |
a |
и |
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Задание 2. Найдите координаты вектора |
|
= (2 |
4 |
1) в базисе (e1′ |
e′2 e′3 ), если он задан в ба- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
e1′ = e1 + e2 + 3 e3
зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 3e1 − e2 2 .
e′3 = −e1 + e2 + e3
Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями
3x − y + 2z +15 = 0, 5x + 9y − 3z −1 = 0 .
Задание 4. |
Найти точку пересечения прямой |
x −1 |
= |
y |
= |
z + 3 |
и плоскости 2x − y + 4z = 0 . |
|
1 |
|
0 |
2 |
|
||
Задание 5. |
Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках |
||||||
A(2 1 4), B(−1 5 − 2), C(− 7 − 3 2), D(− 6 |
− 3 6), опущенную из вершины D на грань |
||||||
ABC. |
|
|
|
|
|
|
|

26
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5. |
|
|
|
|
||||||||||
Задание 1. Даны два вектора |
|
= (− 2 2 1) и |
|
= (2 −1 −1). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти их длины |
|
a |
|
, |
|
b |
|
; сумму |
a |
b |
; линейную комбинацию 2a |
−3b ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
скалярное произведение |
|
|
|
; векторное произведение |
|
× |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
угол ϕ ( в градусах) между векторами |
|
и |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Задание 2. Найдите координаты вектора |
|
= (8 4 1) в базисе (e1′ e′2 |
e′3 ), если он задан в ба- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= e1 + e2 + |
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 e3 |
||||||
зисе(e1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
|||||
e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 5e1 − e2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −e1 + e2 |
+ e3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e′3 |
Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 2x + 3y + z + 6 = 0, x − 3y − 2z + 3 = 0 .
Задание 4. Найти точку пересечения прямой x 1−5 = y−−13 = z −0 2 и плоскости
3x + y −5z −12 = 0 .
Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках
A(−1 −5 2), B(− 6 0 − 3), C(3 |
6 |
− 3), D(−10 |
6 7), опущенную из вершины D на грань |
||||||||||||
ABC. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 1. Даны два вектора |
|
= (−1 |
2 |
−3) и |
|
= (2 |
− 2 −1). Найти их длины |
|
|
|
, |
|
|
|
; |
a |
b |
|
a |
|
|
b |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумму a + b ; линейную комбинацию 2a −3b ; скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ;
угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .
Задание 2. Найдите координаты вектора a = (1 4 8) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в ба-
e1′ = e1 + e2 + 5e3
зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 45 e1 − e2 .
e′3 = −e1 + e2 + e3
Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 3x + y − z − 6 = 0, 3x − y + 2z = 0 .
Задание 4. |
Найти точку пересечения прямой x +1 = |
y + 2 |
= z − 3 и плоскости |
|
2 |
||||
|
− 3 |
− 2 |
||
x + 3y −5z + 9 = 0 . |
|
|
||
Задание 5. |
Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках |
|||
A(0 −1 |
−1), B(− 2 3 5), C(1 −5 − 9), D(−1 |
− 6 |
3), опущенную из вершины D на грань |
|
ABC. |
|
|
|

27
Вариант 7.
Задание 1. Даны два вектора a = (−1 4 1) и b = (2 1 − 2).
Найти их длины a , b ; сумму a + b ; линейную комбинацию 2a −3b ;
скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ; угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .
Задание 2. Найдите координаты вектора a = (2 5 10) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в
e1′ = e1 + e2 + 6e3
базисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 65 e1 − e2 .
e′3 = −e1 + e2 + e3
Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 3y − z = 0, 2y + z = 0 .
Задание 4. Найти точку пересечения прямой x−−21 = y −1 2 = z−+11 и плоскости x − 2y + 5z +17 = 0 .
Задание 5. |
Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(5 2 0), B(2 5 0), C(1 2 4), D(−1 |
1 |
1), опущенную из вершины D на грань ABC. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8. |
|||||||||||||||||
Задание 1. |
Даны два вектора |
|
|
= (−1 − 2 |
1) и |
|
= (− 2 1 −1). Найти их длины |
|
|
|
, |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||
a |
b |
|
a |
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||
сумму |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a |
b |
; линейную комбинацию 2a |
|
−3b ; скалярное произведение a b ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
векторное произведение |
|
× |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
угол ϕ ( в градусах) между векторами |
|
и |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Задание 2. |
Найдите координаты вектора |
|
= (10 |
|
5 1) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в ба- |
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
e1′ = e1 + e2 + 6 e3
зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 6e1 − e2 5 .
e′3 = −e1 + e2 + e3
Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями
3x + 4y − 2z +1 = 0, 2x − 4y + 3z + 4 = 0.
Задание 4. Найти точку пересечения прямой x 2−1 = y −0 2 = z −1 4 и плоскости x − 2y + 4z −19 = 0.
Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках A(2 −1 − 2), B(1 2 1), C(5 0 − 6), D(−10 9 − 7), опущенную из вершины D на грань
ABC.

28
Лабораторная работа №4
Исследование точек разрыва функций и построение графиков
Рекомендуется изучить раздел «Непрерывность функции в точке» пособия Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников Дифференциальное исчисление.
Цель работы: классификация точек разрыва сложных функций и построение графиков с помощью стандартных графопостроителей.
Рассмотрим пример.
Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = arctg |
|
+ |
|
(x −2)2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(x −7)4 |
|
x2 −4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Функция y = arctgϕ(x) непрерывна во всех точках, в которых непрерывна функция |
||||||||||||||||||
ϕ(x) по теореме о непрерывности сложной функции. |
В нашем случае ϕ(x) = |
|
5 |
|
. |
|||||||||||||
(x −7)4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функция ϕ(x) имеет разрыв только в точке x1 = 7. Поэтому функция f1(x) = arctg |
5 |
|
|
|
||||||||||||||
(x −7)4 |
|
|
||||||||||||||||
может иметь разрыв только в точке x1 = 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
−(x −2), если x < 2, |
|
|
|
|
|
|||||||
Напомним, что |
(x −2)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
=| x −2 |= |
|
если x ≥ 2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x −2), |
|
|
|
|
|
|||||||
Функция f |
|
(x) = |
|
(x −2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
представляет собой отношение двух непрерывных функ- |
||||||||||||||
|
x2 −4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ций. Она может иметь разрыв только в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. при x2 = −2 и x3 = 2. Таким образом, точками, подозрительными на разрыв, являются точки x1 = 7, x2 = −2, x3 = 2.
•Исследуем точку x1 = 7.
Известно, что |
lim arctg x = + π , |
lim arctg x = − |
π . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→+∞ |
2 |
x→−∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как lim |
|
5 |
|
= +∞, то |
lim arctg |
5 |
|
|
|
= lim arctg |
|
|
5 |
= + |
π |
. Следова- |
|
|
|
|
(x −7)4 |
(x −7)4 |
2 |
||||||||||||
x→7 (x −7)4 |
x→7+0 |
|
x→7−0 |
|
|
||||||||||||
тельно, точка x1 = 7 является точкой устранимого разрыва. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
• Исследуем точку x2 = −2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Находим левый и правый пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f (x) = lim |
|
|
5 |
|
|
|
| x −2 | |
|
|
= ∞. |
|
|
|
|
|
lim |
arctg |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(x −7) |
4 |
(x −2)(x + 2) |
|
|
|||||||||||
|
|
x→−2±0 |
x→−2±0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, точка x2 = −2 является точкой разрыва второго рода.

29
• |
Исследуем точку x3 = 2. |
|
|
|
|
|
||||
Находим правый предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x) = lim |
|
5 |
|
|
|
x −2 |
|
|
|
lim |
arctg |
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
(x −7) |
4 |
|
(x −2)(x |
+ 2) |
||||||
x→2+0 |
x→2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
lim |
arctg |
|
|
+ |
|
|
= |
(x −7) |
4 |
x + 2 |
|||||
x→2+0 |
|
|
|
|
|
= arctg |
|
5 |
|
+ |
|
1 |
|
=0,258 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2 −7)4 |
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Находим левый предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim f (x) = |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
−(x −2) |
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
||
lim |
arctg |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
lim |
arctg |
|
|
− |
|
|
= |
|||||
(x |
−7) |
4 |
|
(x −2)(x + 2) |
(x −7) |
4 |
x + 2 |
||||||||||||||||
x→2−0 |
|
x→2−0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→2−0 |
|
|
|
|
|
||||||||
= arctg |
|
5 |
|
− |
|
1 |
|
= −0,242 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(2 −7)4 |
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как существуют конечные правые и левые пределы f(2−0) и f(2+0), но они не равны, то точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.
Строим график указанной функции.

30
Задание. Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва следующих функций. Постройте графики.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
f (x) = arctg |
|
|
|
13 |
|
|
+ |
|
|
(x −3)2 |
1. |
f (x) |
= arctg |
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
(x −9)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −3)2 |
|
|
|
x |
2 −9 |
|
|
|
|
(x − |
9)2 |
|
|
|
|
|
x2 −81 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2. |
f (x) = arctg |
|
|
|
|
4 |
|
|
+ sin(x −4) |
2. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
sin(x +4) |
|
|
|
|
|
+arctg |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −9)3 |
|
(x +10)(x −14) |
|
x −7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
f (x) = |
|
|
sin(x −17) |
|
|
+ |
ln[1+(x −2)] |
3. |
f (x) |
= |
|
ex −e5 |
+ |
|
|
|
|
|
|
x2 −64 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −17)(x −18) |
|
| x −2 | |
|
x −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x −19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x −8)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
f (x) = arcsin (x −14)(x −17) |
|
|
|
4. |
f (x) |
= arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x −4)(x −18) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 |
−4 , если x ≤ 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
если x ≤ 7; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− |
36 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ex −e6 |
, если x > 4 |
|
|
|
|
|
sin(x −14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если x > 7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
− |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −14)(x + |
28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
sin | x −5 | |
|||||||||||||||||
|
f (x) = arctg |
|
|
|
|
13 |
|
|
+ |
|
|
(x −3) |
2 |
|
|
1. |
f (x) |
= arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −25 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x −3) |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
f (x) = arctg |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
+ sin2| x −6 | |
2. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
sin(x −14) |
|
+ |
|
ln[1+(x −9)] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −14)(x −17) |
|
|
|
|
| x −9 | |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x −3) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
f (x) = |
ex −e8 |
+ |
|
|
|
x2 −4 |
|
|
|
|
f (x) = ex −e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −36 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x −8 |
|
|
(x +15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x + 2)2 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + |
5) (x −6)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4. |
f (x) = arcsin |
|
|
|
|
|
|
x −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(x −14)(x −12) |
|
|
|
4. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin (x −5)(x −17) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
, |
если x ≤14; |
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− |
4 |
|
|
|
|
|
, |
если x ≤ 3; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
−25 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin(x −18) |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, если x >14 |
|
x |
−e |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x |
−18)(x +36) |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
если x > 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−49 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|