Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лабораторный практикум по математике 

..pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
751.94 Кб
Скачать

21

Вариант 8.

2x1 + x2 + 4x3 + 2x4 = 314x 2x + 3x + 2x = 28

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему 1 2 3 4

2x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 = 56

x1 + x2 x3 + x4 = 0

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расши-

ренной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому

виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.

2x1 x

2 + x3 x5 = 2

 

 

2 2x3 + x4 + x5 = −2

x1 2x

 

 

2x2 + x3

+ x4 3x5 = 2

3x1 +

 

x2 + 6x3

3x4 2x5 = 8

7x1

 

+ 4x2 +11x3

2x4 10x5 =16

2x1

Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подста-

x y + 2z = 0

новкой. x + 2y z = 0

p x 7y +8z = 0

22

Лабораторная работа №3

Векторы. Прямые и плоскости

Рекомендуется изучить разделы «Алгебра геометрических векторов», «Прямая и линия на плоскости», «Прямая в пространстве» в пособии Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Рассмотрим примеры решения заданий.

Решение задания 1. Даны два вектора a = (2 3 4) и b = (1 1 1). Найти их длины a ,

b ; сумму a + b ; линейную комбинацию 2a 3b ; скалярное произведение a b ; векторное про-

изведение

a

×

b

; угол ϕ ( в градусах) между векторами

a

и

b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

a.b =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

3

a

 

 

 

b =

 

 

2

2 a

 

 

3 b =

 

 

9

 

 

5

a b =

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a.b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

11

 

 

 

 

 

5

 

 

acos

 

.

180

= 122.416

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

.

 

b

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (9 9

2) в базисе (e1

e2 e3 ), если он

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задания 2. Найдите координаты вектора

 

a

задан в базисе(e1

e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношения-

 

 

 

 

 

 

e1′ = e1 +e2 + 89 e3 ми e2′ = −8e1 e2 .

e3′ = −e1 +e2 +e3

 

 

 

9

 

 

 

 

 

1

1

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

a

 

 

9

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По условию задачи имеют место равенства

23

 

 

 

 

e1

 

 

 

e'1

 

 

A.e

 

 

A 1 .e' a

 

aT .e

 

aT .A 1 .e'

e

 

 

 

e2

e'

 

 

e'2

e'

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3

 

 

 

e'3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда координаты вектора а в новом базисе можно найти по формуле:

aT .A 1 = 45 12 42

Решение задания 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями

x + 2 y + 2z + 2 = 0, 2x y + 2z 16 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

a.b

.

180

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

2

b

 

 

 

 

1

acos

 

 

= 44.195

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

.

 

b

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задания 4. Найти точку пересечения прямой x 2 2 = y12 = z 3 4 и плоскости x +3y +5z 42 = 0 .

x(t)

 

 

2 t

 

 

 

2

y(t)

2

 

 

t

z(t) 3 t

 

 

4

F(x,y,z)

 

x

 

 

 

3 y

 

 

 

5 z

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x(t) ,y(t) ,z(t)) solve ,t

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(1) = 4

 

 

 

y(1) = 1 z(1) = 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задания 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в

точках A(1

1

1), B (2

 

 

3 1), C (3 2

1), D (5 9

 

8), опущенную из вершины D на

грань ABC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

1

 

 

 

B

 

 

3

 

C

 

 

 

 

 

 

2

 

 

D

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

B

 

A

 

 

 

AC

 

C

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

AD

 

 

D

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

AB

 

AC

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

(AB

 

AC) .AD

 

 

 

h

 

 

3 V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = 7.5

 

 

S = 2.062

 

 

 

 

 

 

 

h = 10.914

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

Задания

Вариант 1.

Задание 1. Даны два вектора a = (1 2 1) и b = (2 1 1).

Найти их длины a , b ; сумму a + b ; линейную комбинацию 2a 3b ;

скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ; угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .

Задание 2. Найдите координаты вектора a = (6 1 3) в базисе (e1e2 e3 ), если он задан в

e1′ = e1 + e2 + 2e3

базисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e2 = 2e1 e2 .

e3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями x 3y + 5 = 0, 2x y + 5z 16 = 0 .

Задание 4.

Найти точку пересечения прямой

x 2

=

y 3

 

= z +1 и плоскости

1

1

x + 2y + 3z 14 = 0 .

 

4

 

 

 

 

 

Задание 5.

Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках

A(1 3 6), B(2 2 1), C(1 0 1), D(4

6 3), опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 2.

Задание 1. Даны два вектора a = (1 2 3) и b = (2 1 1). Найти их длины a , b ;

сумму a + b ; линейную комбинацию 2a 3b ; скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ;

угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .

Задание 2. Найдите координаты вектора a = (1 2 4) в базисе (e1e2 e3 ), если он задан в ба-

e1′ = e1 + e2 + 3e3

зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e2 =1.5e1 e2 .

e3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями x 3y + z 1 = 0, x + z 1 = 0 .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой x 3+1 = y43 = z 5+1 и плоскости x + 2y 5z + 20 = 0 .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках A(4 2 6), B(2 3 0), C(10 5 8), D(5 2 4), опущенную из вершины D на грань

ABC.

25

Вариант 3.

Задание 1.

Даны два вектора

 

= (3 2 1) и

 

= (1

1 1).

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти их длины

 

a

 

,

 

b

 

; сумму

a

b

; линейную комбинацию 2a

3b ;

скалярное произведение

 

 

 

; векторное произведение

 

×

 

;

a

b

a

b

угол ϕ ( в градусах) между векторами

a

и

b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

Найдите координаты вектора

 

= (1 3

6) в базисе (e1e2 e3 ), если он задан в ба-

a

e1′ = e1 + e2 + 4e3

зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e2 = 43 e1 e2 .

e3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 4x 5y + 3z 1 = 0, x 4y z + 9 = 0 .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой

x 1

 

=

y + 5

=

z 1

 

и плоскости

 

1

 

 

x 3y + 7z 24 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках

A(7 2 4), B(7 1 2), C(3 3

1), D(4

2

1), опущенную из вершины D на грань ABC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1. Даны два вектора

 

 

= (1

 

2 0) и

 

= (2 2

1). Найти их длины

 

 

 

 

,

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

a

b

сумму

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

; линейную комбинацию 2a

 

3b ; скалярное произведение a b ;

векторное произведение

 

×

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угол ϕ ( в градусах) между векторами

a

и

b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. Найдите координаты вектора

 

= (2

4

1) в базисе (e1

e2 e3 ), если он задан в ба-

a

e1′ = e1 + e2 + 3 e3

зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e2 = 3e1 e2 2 .

e3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями

3x y + 2z +15 = 0, 5x + 9y 3z 1 = 0 .

Задание 4.

Найти точку пересечения прямой

x 1

=

y

=

z + 3

и плоскости 2x y + 4z = 0 .

 

1

 

0

2

 

Задание 5.

Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках

A(2 1 4), B(1 5 2), C(7 3 2), D(6

3 6), опущенную из вершины D на грань

ABC.

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 5.

 

 

 

 

Задание 1. Даны два вектора

 

= (2 2 1) и

 

= (2 1 1).

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти их длины

 

a

 

,

 

b

 

; сумму

a

b

; линейную комбинацию 2a

3b ;

 

 

 

 

скалярное произведение

 

 

 

; векторное произведение

 

×

 

;

 

 

 

 

a

b

a

b

 

 

 

 

угол ϕ ( в градусах) между векторами

 

и

 

.

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

Задание 2. Найдите координаты вектора

 

= (8 4 1) в базисе (e1e2

e3 ), если он задан в ба-

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e1 + e2 +

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 e3

зисе(e1 e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

 

e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e2 = 5e1 e2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −e1 + e2

+ e3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 2x + 3y + z + 6 = 0, x 3y 2z + 3 = 0 .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой x 15 = y13 = z 0 2 и плоскости

3x + y 5z 12 = 0 .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках

A(1 5 2), B(6 0 3), C(3

6

3), D(10

6 7), опущенную из вершины D на грань

ABC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1. Даны два вектора

 

= (1

2

3) и

 

= (2

2 1). Найти их длины

 

 

 

,

 

 

 

;

a

b

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сумму a + b ; линейную комбинацию 2a 3b ; скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ;

угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .

Задание 2. Найдите координаты вектора a = (1 4 8) в базисе (e1e2 e3 ), если он задан в ба-

e1′ = e1 + e2 + 5e3

зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e2 = 45 e1 e2 .

e3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 3x + y z 6 = 0, 3x y + 2z = 0 .

Задание 4.

Найти точку пересечения прямой x +1 =

y + 2

= z 3 и плоскости

2

 

3

2

x + 3y 5z + 9 = 0 .

 

 

Задание 5.

Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках

A(0 1

1), B(2 3 5), C(1 5 9), D(1

6

3), опущенную из вершины D на грань

ABC.

 

 

 

27

Вариант 7.

Задание 1. Даны два вектора a = (1 4 1) и b = (2 1 2).

Найти их длины a , b ; сумму a + b ; линейную комбинацию 2a 3b ;

скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ; угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .

Задание 2. Найдите координаты вектора a = (2 5 10) в базисе (e1e2 e3 ), если он задан в

e1′ = e1 + e2 + 6e3

базисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e2 = 65 e1 e2 .

e3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 3y z = 0, 2y + z = 0 .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой x21 = y 1 2 = z+11 и плоскости x 2y + 5z +17 = 0 .

Задание 5.

Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках

A(5 2 0), B(2 5 0), C(1 2 4), D(1

1

1), опущенную из вершины D на грань ABC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 8.

Задание 1.

Даны два вектора

 

 

= (1 2

1) и

 

= (2 1 1). Найти их длины

 

 

 

,

 

 

 

;

a

b

 

a

 

 

b

 

сумму

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

; линейную комбинацию 2a

 

3b ; скалярное произведение a b ;

векторное произведение

 

×

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угол ϕ ( в градусах) между векторами

 

и

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

Найдите координаты вектора

 

= (10

 

5 1) в базисе (e1e2 e3 ), если он задан в ба-

a

 

e1′ = e1 + e2 + 6 e3

зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e2 = 6e1 e2 5 .

e3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями

3x + 4y 2z +1 = 0, 2x 4y + 3z + 4 = 0.

Задание 4. Найти точку пересечения прямой x 21 = y 0 2 = z 1 4 и плоскости x 2y + 4z 19 = 0.

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках A(2 1 2), B(1 2 1), C(5 0 6), D(10 9 7), опущенную из вершины D на грань

ABC.

28

Лабораторная работа №4

Исследование точек разрыва функций и построение графиков

Рекомендуется изучить раздел «Непрерывность функции в точке» пособия Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников Дифференциальное исчисление.

Цель работы: классификация точек разрыва сложных функций и построение графиков с помощью стандартных графопостроителей.

Рассмотрим пример.

Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = arctg

 

+

 

(x 2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 7)4

 

x2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция y = arctgϕ(x) непрерывна во всех точках, в которых непрерывна функция

ϕ(x) по теореме о непрерывности сложной функции.

В нашем случае ϕ(x) =

 

5

 

.

(x 7)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция ϕ(x) имеет разрыв только в точке x1 = 7. Поэтому функция f1(x) = arctg

5

 

 

 

(x 7)4

 

 

может иметь разрыв только в точке x1 = 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2), если x < 2,

 

 

 

 

 

Напомним, что

(x 2)2

 

 

 

 

 

=| x 2 |=

 

если x 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2),

 

 

 

 

 

Функция f

 

(x) =

 

(x 2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

представляет собой отношение двух непрерывных функ-

 

x2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ций. Она может иметь разрыв только в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. при x2 = 2 и x3 = 2. Таким образом, точками, подозрительными на разрыв, являются точки x1 = 7, x2 = 2, x3 = 2.

Исследуем точку x1 = 7.

Известно, что

lim arctg x = + π ,

lim arctg x = −

π .

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

2

x→−∞

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как lim

 

5

 

= +∞, то

lim arctg

5

 

 

 

= lim arctg

 

 

5

= +

π

. Следова-

 

 

 

(x 7)4

(x 7)4

2

x7 (x 7)4

x7+0

 

x70

 

 

тельно, точка x1 = 7 является точкой устранимого разрыва.

 

 

 

 

 

 

Исследуем точку x2 = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим левый и правый пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = lim

 

 

5

 

 

 

| x 2 |

 

 

= ∞.

 

 

 

 

lim

arctg

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

(x 7)

4

(x 2)(x + 2)

 

 

 

 

x→−2±0

x→−2±0

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, точка x2 = 2 является точкой разрыва второго рода.

29

Исследуем точку x3 = 2.

 

 

 

 

 

Находим правый предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = lim

 

5

 

 

 

x 2

 

 

 

lim

arctg

 

 

 

+

 

 

 

=

(x 7)

4

 

(x 2)(x

+ 2)

x2+0

x2+0

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

1

 

 

lim

arctg

 

 

+

 

 

=

(x 7)

4

x + 2

x2+0

 

 

 

 

 

= arctg

 

5

 

+

 

1

 

=0,258

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 7)4

2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим левый предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f (x) =

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

(x 2)

 

 

 

 

5

 

 

1

 

 

lim

arctg

 

 

 

 

 

+

 

 

=

lim

arctg

 

 

 

 

=

(x

7)

4

 

(x 2)(x + 2)

(x 7)

4

x + 2

x20

 

x20

 

 

 

 

 

 

 

x20

 

 

 

 

 

= arctg

 

5

 

 

1

 

= −0,242

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 7)4

 

2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как существуют конечные правые и левые пределы f(20) и f(2+0), но они не равны, то точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.

Строим график указанной функции.

30

Задание. Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва следующих функций. Постройте графики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

f (x) = arctg

 

 

 

13

 

 

+

 

 

(x 3)2

1.

f (x)

= arctg

 

 

 

 

 

19

 

 

 

+

 

 

 

 

(x 9)2

 

 

 

 

 

(x 3)2

 

 

 

x

2 9

 

 

 

 

(x

9)2

 

 

 

 

 

x2 81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

f (x) = arctg

 

 

 

 

4

 

 

+ sin(x 4)

2.

f (x)

=

 

 

 

 

 

sin(x +4)

 

 

 

 

 

+arctg

 

2

 

 

(x 9)3

 

(x +10)(x 14)

 

x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

f (x) =

 

 

sin(x 17)

 

 

+

ln[1+(x 2)]

3.

f (x)

=

 

ex e5

+

 

 

 

 

 

 

x2 64

 

 

 

 

 

 

 

(x 17)(x 18)

 

| x 2 |

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 8)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

f (x) = arcsin (x 14)(x 17)

 

 

 

4.

f (x)

= arcsin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 4)(x 18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

4 , если x 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

если x 7;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

f (x)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex e6

, если x > 4

 

 

 

 

 

sin(x 14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, если x > 7

 

 

 

 

2

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 14)(x +

28)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

sin | x 5 |

 

f (x) = arctg

 

 

 

 

13

 

 

+

 

 

(x 3)

2

 

 

1.

f (x)

= arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 4)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 3)

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

f (x) = arctg

 

 

 

 

 

13

 

 

+ sin2| x 6 |

2.

f (x)

=

 

 

 

 

sin(x 14)

 

+

 

ln[1+(x 9)]

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 14)(x 17)

 

 

 

 

| x 9 |

 

 

(x 3)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

f (x) =

ex e8

+

 

 

 

x2 4

 

 

 

 

f (x) = ex e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 36

 

 

 

 

 

 

 

x 8

 

 

(x +15)

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + 2)2

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x +

5) (x 6)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

f (x) = arcsin

 

 

 

 

 

 

x 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 14)(x 12)

 

 

 

4.

f (x)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin (x 5)(x 17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

,

если x 14;

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

4

 

 

 

 

 

,

если x 3;

 

 

 

 

 

 

 

5.

f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(x 18)

 

 

 

 

 

 

 

5.

f (x)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, если x >14

 

x

e

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

18)(x +36)

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

если x > 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

49

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x