Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторный практикум по математике

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

751.94 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Вариант 8.

− 2x1 + x2 + 4x3 + 2x4 = 314x − 2x + 3x + 2x = 28

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему 1 2 3 4

2x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 = 56

− x1 + x2 − x3 + x4 = 0

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расши-

ренной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому

виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.

2x1 − x		2 + x3 − x5 = 2
		2 − 2x3 + x4 + x5 = −2
x1 − 2x
		2x2 + x3	+ x4 − 3x5 = 2
− 3x1 +
	− x2 + 6x3 −		3x4 − 2x5 = 8
7x1
	+ 4x2 +11x3		− 2x4 −10x5 =16
2x1

Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подста-

x − y + 2z = 0

новкой. − x + 2y − z = 0

p x −7y +8z = 0

Лабораторная работа №3

Векторы. Прямые и плоскости

Рекомендуется изучить разделы «Алгебра геометрических векторов», «Прямая и линия на плоскости», «Прямая в пространстве» в пособии Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Рассмотрим примеры решения заданий.

Решение задания 1. Даны два вектора a = (2 −3 4) и b = (1 1 −1). Найти их длины a ,

b ; сумму a + b ; линейную комбинацию 2a −3b ; скалярное произведение a b ; векторное про-

изведение						a	×	b	; угол ϕ ( в градусах) между векторами												a	и		b		.
		2									1
		2									1
a			3					b			1
a			3					b			1
		4										1				3							1					a.b =				1
		4										1



	a		29						b				3	a	b =		2	2 a	3 b =						9				5	a b =	6
	a		29						b				3	a	b =		2	2 a	3 b =						9				5	a b =	6
			a.b													3							11								5
acos			a.b					.	180		= 122.416
			a	.	b				π											= (9 9							2) в базисе (e1′			e′2 e′3 ), если он
			a	.	b				π
Решение задания 2. Найдите координаты вектора
Решение задания 2. Найдите координаты вектора																			a
задан в базисе(e1										e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношения-

e1′ = e1 +e2 + 89 e3 ми e2′ = −8e1 −e2 .

e3′ = −e1 +e2 +e3

	9		1			1		8
								8
								9
a	9	A						9
					8		1	0

	2

				1		1		1

По условию задачи имеют место равенства

e'1

A.e

A 1 .e' a

aT .e

aT .A 1 .e'

e'2

e'3

Тогда координаты вектора а в новом базисе можно найти по формуле:

aT .A 1 = 45 12 42

Решение задания 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями

x + 2 y + 2z + 2 = 0, 2x − y + 2z −16 = 0 .
	1		2			a.b			.	180
	1		2
a	2	b		1	acos						= 44.195
						a	.	b		π
						a	.	b		π
	2		2
	2		2

Решение задания 4. Найти точку пересечения прямой x −2 2 = y−−12 = z −3 4 и плоскости x +3y +5z −42 = 0 .

x(t)

2 t

y(t)

z(t) 3 t

F(x,y,z)

3 y

5 z

F(x(t) ,y(t) ,z(t)) solve ,t

x(1) = 4

y(1) = 1 z(1) = 7

Решение задания 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в

точках A(1

−1), B (2

3 1), C (3 2

1), D (5 9

−8), опущенную из вершины D на

грань ABC.

(AB

AC) .AD

3 V

V = 7.5

S = 2.062

h = 10.914

Задания

Вариант 1.

Задание 1. Даны два вектора a = (−1 2 1) и b = (2 1 −1).

Найти их длины a , b ; сумму a + b ; линейную комбинацию 2a −3b ;

скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ; угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .

Задание 2. Найдите координаты вектора a = (6 −1 3) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в

e1′ = e1 + e2 + 2e3

базисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 2e1 − e2 .

e′3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями x − 3y + 5 = 0, 2x − y + 5z −16 = 0 .

Задание 4.	Найти точку пересечения прямой	x − 2	=	y − 3	= z +1 и плоскости
		−1		−1
x + 2y + 3z −14 = 0 .					4

Задание 5.	Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках
A(1 3 6), B(2 2 1), C(−1 0 1), D(− 4		6 − 3), опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 2.

Задание 1. Даны два вектора a = (−1 2 3) и b = (2 1 −1). Найти их длины a , b ;

сумму a + b ; линейную комбинацию 2a −3b ; скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ;

угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .

Задание 2. Найдите координаты вектора a = (1 2 4) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в ба-

e1′ = e1 + e2 + 3e3

зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 =1.5e1 − e2 .

e′3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями x − 3y + z −1 = 0, x + z −1 = 0 .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой x 3+1 = y−−43 = z 5+1 и плоскости x + 2y −5z + 20 = 0 .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках A(− 4 2 6), B(2 − 3 0), C(−10 5 8), D(−5 2 − 4), опущенную из вершины D на грань

ABC.

Вариант 3.

Задание 1.

Даны два вектора

= (3 2 1) и

= (1

1 −1).

Найти их длины

; сумму

; линейную комбинацию 2a

−3b ;

скалярное произведение

; векторное произведение

;

угол ϕ ( в градусах) между векторами

Задание 2.

Найдите координаты вектора

= (1 3

6) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в ба-

e1′ = e1 + e2 + 4e3

зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 43 e1 − e2 .

e′3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 4x −5y + 3z −1 = 0, x − 4y − z + 9 = 0 .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой

x −1

y + 5

z −1

и плоскости

−1

x − 3y + 7z − 24 = 0 .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках

A(7 2 4), B(7 −1 − 2), C(3 3

1), D(− 4

1), опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 4.

Задание 1. Даны два вектора

= (−1

2 0) и

= (2 2

−1). Найти их длины

;

сумму

; линейную комбинацию 2a

−3b ; скалярное произведение a b ;

векторное произведение

;

угол ϕ ( в градусах) между векторами

Задание 2. Найдите координаты вектора

= (2

1) в базисе (e1′

e′2 e′3 ), если он задан в ба-

e1′ = e1 + e2 + 3 e3

зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 3e1 − e2 2 .

e′3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями

3x − y + 2z +15 = 0, 5x + 9y − 3z −1 = 0 .

Задание 4.	Найти точку пересечения прямой	x −1	=	y	=	z + 3	и плоскости 2x − y + 4z = 0 .
	1			0	2
Задание 5.	Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках
A(2 1 4), B(−1 5 − 2), C(− 7 − 3 2), D(− 6				− 3 6), опущенную из вершины D на грань
ABC.

Вариант 5.

Задание 1. Даны два вектора

= (− 2 2 1) и

= (2 −1 −1).

Найти их длины

; сумму

; линейную комбинацию 2a

−3b ;

скалярное произведение

; векторное произведение

;

угол ϕ ( в градусах) между векторами

Задание 2. Найдите координаты вектора

= (8 4 1) в базисе (e1′ e′2

e′3 ), если он задан в ба-

′

= e1 + e2 +

4 e3

зисе(e1 e2

e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 5e1 − e2

= −e1 + e2

+ e3

e′3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 2x + 3y + z + 6 = 0, x − 3y − 2z + 3 = 0 .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой x 1−5 = y−−13 = z −0 2 и плоскости

3x + y −5z −12 = 0 .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках

A(−1 −5 2), B(− 6 0 − 3), C(3

− 3), D(−10

6 7), опущенную из вершины D на грань

ABC.

Вариант 6.

Задание 1. Даны два вектора

= (−1

−3) и

= (2

− 2 −1). Найти их длины

;

сумму a + b ; линейную комбинацию 2a −3b ; скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ;

угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .

Задание 2. Найдите координаты вектора a = (1 4 8) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в ба-

e1′ = e1 + e2 + 5e3

зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 45 e1 − e2 .

e′3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 3x + y − z − 6 = 0, 3x − y + 2z = 0 .

Задание 4.	Найти точку пересечения прямой x +1 =	y + 2	= z − 3 и плоскости
Задание 4.	Найти точку пересечения прямой x +1 =	2	= z − 3 и плоскости
	− 3	2	− 2
x + 3y −5z + 9 = 0 .
Задание 5.	Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках
A(0 −1	−1), B(− 2 3 5), C(1 −5 − 9), D(−1	− 6	3), опущенную из вершины D на грань
ABC.

Вариант 7.

Задание 1. Даны два вектора a = (−1 4 1) и b = (2 1 − 2).

Найти их длины a , b ; сумму a + b ; линейную комбинацию 2a −3b ;

скалярное произведение a b ; векторное произведение a ×b ; угол ϕ ( в градусах) между векторами a и b .

Задание 2. Найдите координаты вектора a = (2 5 10) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в

e1′ = e1 + e2 + 6e3

базисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 65 e1 − e2 .

e′3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями 3y − z = 0, 2y + z = 0 .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой x−−21 = y −1 2 = z−+11 и плоскости x − 2y + 5z +17 = 0 .

Задание 5.

Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках

A(5 2 0), B(2 5 0), C(1 2 4), D(−1

1), опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 8.

Задание 1.

Даны два вектора

= (−1 − 2

1) и

= (− 2 1 −1). Найти их длины

;

сумму

; линейную комбинацию 2a

−3b ; скалярное произведение a b ;

векторное произведение

;

угол ϕ ( в градусах) между векторами

Задание 2.

Найдите координаты вектора

= (10

5 1) в базисе (e1′ e′2 e′3 ), если он задан в ба-

e1′ = e1 + e2 + 6 e3

зисе(e1 e2 e3 ), а старый и новый базисы связаны соотношениями e′2 = 6e1 − e2 5 .

e′3 = −e1 + e2 + e3

Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями

3x + 4y − 2z +1 = 0, 2x − 4y + 3z + 4 = 0.

Задание 4. Найти точку пересечения прямой x 2−1 = y −0 2 = z −1 4 и плоскости x − 2y + 4z −19 = 0.

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках A(2 −1 − 2), B(1 2 1), C(5 0 − 6), D(−10 9 − 7), опущенную из вершины D на грань

ABC.

Лабораторная работа №4

Исследование точек разрыва функций и построение графиков

Рекомендуется изучить раздел «Непрерывность функции в точке» пособия Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников Дифференциальное исчисление.

Цель работы: классификация точек разрыва сложных функций и построение графиков с помощью стандартных графопостроителей.

Рассмотрим пример.

Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва функции

f (x) = arctg

(x −2)2

(x −7)4

x2 −4

Функция y = arctgϕ(x) непрерывна во всех точках, в которых непрерывна функция

ϕ(x) по теореме о непрерывности сложной функции.

В нашем случае ϕ(x) =

(x −7)4

Функция ϕ(x) имеет разрыв только в точке x1 = 7. Поэтому функция f1(x) = arctg

(x −7)4

может иметь разрыв только в точке x1 = 7.

−(x −2), если x < 2,

Напомним, что

(x −2)2

=| x −2 |=

если x ≥ 2.

(x −2),

Функция f

(x) =

(x −2)2

представляет собой отношение двух непрерывных функ-

x2 −4

ций. Она может иметь разрыв только в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. при x2 = −2 и x3 = 2. Таким образом, точками, подозрительными на разрыв, являются точки x1 = 7, x2 = −2, x3 = 2.

•Исследуем точку x1 = 7.

Известно, что

lim arctg x = + π ,

lim arctg x = −

π .

x→+∞

x→−∞

Так как lim

= +∞, то

lim arctg

= lim arctg

= +

. Следова-

(x −7)4

x→7 (x −7)4

x→7+0

x→7−0

тельно, точка x1 = 7 является точкой устранимого разрыва.

• Исследуем точку x2 = −2.

Находим левый и правый пределы:

f (x) = lim

| x −2 |

= ∞.

lim

arctg

(x −7)

(x −2)(x + 2)

x→−2±0

Следовательно, точка x2 = −2 является точкой разрыва второго рода.

•	Исследуем точку x3 = 2.
Находим правый предел:
	f (x) = lim		5			x −2
lim		arctg			+			=
lim		arctg	(x −7)	4	+	(x −2)(x	+ 2)	=
x→2+0	x→2+0		(x −7)			(x −2)(x	+ 2)

		5			1
lim	arctg			+		=
lim	arctg	(x −7)	4	+	x + 2	=
x→2+0		(x −7)			x + 2

= arctg

=0,258

(2 −7)4

2 + 2

Находим левый предел:

lim f (x) =

−(x −2)

lim

arctg

lim

arctg

−

−7)

(x −2)(x + 2)

(x −7)

x + 2

x→2−0

= arctg

−

= −0,242

(2 −7)4

2 + 2

Так как существуют конечные правые и левые пределы f(2−0) и f(2+0), но они не равны, то точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.

Строим график указанной функции.

Задание. Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва следующих функций. Постройте графики.

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

f (x) = arctg

(x −3)2

f (x)

= arctg

(x −9)2

(x −3)2

2 −9

(x −

9)2

x2 −81

f (x) = arctg

+ sin(x −4)

f (x)

sin(x +4)

+arctg

(x −9)3

(x +10)(x −14)

x −7

x2 −16

f (x) =

sin(x −17)

ln[1+(x −2)]

f (x)

ex −e5

x2 −64

(x −17)(x −18)

| x −2 |

x −5

(x −19)

(x −8)2

x −7

x −2

f (x) = arcsin (x −14)(x −17)

f (x)

= arcsin

(x −4)(x −18)

x −4

x +6

−4 , если x ≤ 4;

если x ≤ 7;

f (x) =

−

f (x)

ex −e6

, если x > 4

sin(x −14)

, если x > 7

−

(x −14)(x +

28)

ВАРИАНТ 3

ВАРИАНТ 4

sin | x −5 |

f (x) = arctg

(x −3)

f (x)

= arctg

x2 −25

(x −4)2

(x −3)

−9

f (x) = arctg

+ sin2| x −6 |

f (x)

sin(x −14)

ln[1+(x −9)]

(x −14)(x −17)

| x −9 |

(x −3)

−36

f (x) =

ex −e8

x2 −4

f (x) = ex −e2

x2 −36

x −8

(x +15)

(x + 2)2

(x +

5) (x −6)2

x −2

f (x) = arcsin

x −6

x −4

(x −14)(x −12)

f (x)

arcsin (x −5)(x −17)

x + 2

если x ≤14;

x −3

−

если x ≤ 3;

f (x) =

−25

sin(x −18)

f (x)

, если x >14

−e

−18)(x +36)

если x > 3

−49

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023327.78 Кб8Лабораторная установка для сварки оптических волокон и контроля качества сварки..pdf
#
05.02.20231.07 Mб3Лабораторные работы по химии..pdf
#
05.02.2023463.5 Кб4Лабораторные работы по математике..pdf
#
05.02.20231.15 Mб28Лабораторные работы по химии..pdf
#
05.02.2023929.89 Кб7Лабораторный практикум по биологии..pdf
#
05.02.2023751.94 Кб4Лабораторный практикум по математике ..pdf
#
05.02.20231.68 Mб10Лабораторный практикум по математике.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб6Лабораторный практикум по математике..pdf
#
05.02.2023960.84 Кб8Лабораторный практикум по химии..pdf
#
05.02.2023636.2 Кб18Лабораторный практикум по цифровой и микропроцессорной технике..pdf
#
05.02.202311.9 Mб21Лабораторный практикум..pdf