Лабораторный практикум по математике
..pdf11
Вариант 8.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Задание 1. |
|
|
|
|
|
|
3 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = |
−1 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
||
Проверьте выполнение равенства A−1 A = E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 −1 |
1 |
|
0 |
2 |
0 |
3 −1 |
0 |
||||||
Задание 2. |
|
|
1 4 |
|
|
|
|
1 |
− 2 |
0 |
|
|
2 3 |
|
|
Найдите матрицу Х из уравнения |
−1 X |
|
= |
1 . |
|||||||||||
|
|
|
3 0 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
− 2 |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||
Проверьте решение подстановкой.
Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.
3x1 −5x2 + x3 + 4x4 =18
x1 − 2x2 + x3 − x4 =14x1 − x2 −5x3 + x4 = −3
x1 + 3x2 − x3 + p x4 =15
Задание 4. |
|
3 −1 |
|
− 4 3 |
−37 |
22 |
|||
Найдите матрицу Х из уравнения |
|
|
X = X |
|
+ |
|
|
. Проверьте |
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
9 |
−8 |
|
|
|
|
|
−1 1 |
|
|
|||
решение подстановкой.
12
Лабораторная работа №2
Решение матричных уравнений
Рекомендуется изучить раздел «Обратная матрица. Решение матричных уравнений» в пособии Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Рассмотрим примеры решения заданий.
Задание 1. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги рас-
ширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенча-
тому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.
|
|
|
2x1 − x2 +3x4 = 4 |
|
|||||||
|
x1 |
+3x2 + 4x3 + 2x4 = −2 |
|||||||||
|
|||||||||||
|
4x |
|
−9x |
2 |
−8x |
+5x |
4 |
=16 |
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
7x |
+7x |
2 |
|
+12x |
+12x |
4 |
= 2 |
||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
Вводим матрицу коэффициентов при неизвестных и столбец свободных членов
|
|
|
2 |
1 |
0 |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
B |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
9 |
8 |
5 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
7 |
7 |
12 |
12 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Командой augment объединяем эти матрицы и получаем расширенную матрицу |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
0 |
3 |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
D |
|
augment(A,B) |
|
D = |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
9 |
|
8 |
5 |
16 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
12 |
12 |
2 |
|
|||||
Находим ранги матриц А и D rank(A) = 2 rank(D) = 2
По теореме Кронекера-Капелли делаем вывод, что система неопределённая. Применяем команду rref и приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду.
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
3 |
4 |
|
|
1 |
0 |
4 |
11 |
10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
3 |
4 |
2 |
2 |
|
|
7 |
|
7 |
|
7 |
|||||
R |
|
|
rref |
|
|
|
|
|
|
8 |
1 |
|
8 |
||||||||
|
|
|
4 |
9 |
8 |
5 |
16 |
|
R |
|
0 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
|
7 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
7 |
7 |
12 |
12 |
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
||||
По матрице R определяем х3 и х4 как свободные неизвестные, а х1 и х2 как главные. Обозначаем свободные неизвестные буквами р1 и р2 и записываем общее решение, перенося свободные неизвестные в правую часть уравнений.
13
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
4 |
.p1 |
|
|
|
|
11 |
.p2 |
|||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
X(p1 ,p2) |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
.p1 |
|
|
|
1 |
.p2 |
|||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
7 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
Проверяем полученный ответ подстановкой в систему A.X(p1 |
,p2) |
|
|
2 |
|
|
16 |
||
|
||||
|
|
|
|
|
Задание 2. Найти значение параметра р, при котором система |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2x − y +3z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 y +3z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p x +5y +15z = 0 |
|
|
|
|
имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.
Вводим матрицу коэффициентов при неизвестных A(p) |
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
p |
5 |
15 |
|
|
|
Расширенную матрицу получим добавляя нулевой столбец. |
|
0 |
||||||
D(p) |
|
augment A(p) , 0 |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|||
Находим значение параметра р, при котором определитель матрицы равен нулю
A(p) solve,p 
8
Решаем неопределённую систему при р = 8 при помощи команды rref.
|
2 |
|
1 |
3 |
0 |
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
1 |
0 |
5 |
0 |
||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D(8) = |
1 |
4 |
3 |
0 |
rref |
1 |
4 |
3 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
8 |
5 |
15 |
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
8 |
5 |
15 |
0 |
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
х = -5/3, y = -1/3.
|
|
|
|
|
|
5 |
|
Записываем решение столбцом. X |
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
A(8).X = |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
. Берём свободную неизвестную z = 1, тогда
Проверим ответ подстановкой
14
Задания
Вариант 1.
x1 + 3x2 + 4x3 + 3x4 = 36
4x −5x −5x −5x = −38
Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему 1 2 3 4
x1 + 4x2 −5x3 −5x4 = −2
− 2x1 − x2 + x3 − x4 = −10
Проверить решение подстановкой.
Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расши-
ренной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому
виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.
2x1 − x2 + x3 − x5 = 2 |
|
|
|
x1 − 2x2 + 3x4 + x5 =1 |
|
|
+ x2 + 3x3 − 6x4 −5x5 = 4 |
4x1 |
|
|
−8x2 + 2x3 + 9x4 + x5 = 7 |
7x1 |
|
|
+ 2x2 + 4x3 − 9x4 − 7x5 = 5 |
5x1 |
|
Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подста-
2x − y + 3z = 0
новкой. x + 2y − z = 0
p x − 7y +11z = 0
15
Вариант 2.
2x1 −5x2 − x3 + 3x4 = −63x + 3x + 3x + x = 32
Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему 1 2 3 4
− 2x1 + x2 −5x3 −5x4 = −42−5x1 −5x2 + 3x3 + 3x4 = 4
Проверить решение подстановкой.
Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расши-
ренной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому
виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.
x1 − 2x |
2 + x3 + 3x4 − x5 = 2 |
|
|||||||||
|
|
+ x2 − 2x3 + x4 + x5 = −3 |
|||||||||
2x1 |
|||||||||||
|
|
|
2x2 |
+ x3 − x4 − 3x5 =1 |
|||||||
− 3x1 + |
|||||||||||
2x |
1 |
−10x |
2 |
+ 6x |
3 |
+8x |
4 |
− 2x |
5 |
=11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
9x2 |
+11x3 +8x4 −10x5 =18 |
|||||||
−5x1 − |
|||||||||||
Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подста-
x − y + 2z = 0
новкой. − x + 2y − z = 0
p x −7y +8z = 0
16
Вариант 3.
|
−5x1 + 2x |
2 + 3x |
3 + 4x4 =18 |
|
|
|
|
2 − x3 |
−5x4 = −21 |
Задание 1. |
−5x1 + 2x |
|||
При помощи команды lsolve решить систему |
2x2 −5x3 − |
5x4 = −39 |
||
|
x1 − |
|||
|
|
+ 2x2 |
− 2x3 |
+ x4 = 6 |
|
− x1 |
|||
Проверить решение подстановкой.
Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги рас-
ширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенча-
тому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.
2x1 − x2 + x3 − x5 = −3 |
|
|
|||||||||
|
|
− |
2x3 |
+ x4 + x5 = −1 |
|
|
|||||
3x1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
+ 3x2 + x3 + 2x4 |
− 2x5 = 4 |
|||||||
− 2x1 |
|||||||||||
2x |
1 |
− 6x |
2 |
+ 6x |
3 |
− 4x |
4 |
− 3x |
5 |
= −11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
− x2 |
+11x3 − x4 |
− 9x5 = −5 |
||||||
− 3x1 |
|||||||||||
Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подста-
x + 3y + 2z = 0
новкой. − 2x + 2y − z = 0
p x +5y +8z = 0
17
Вариант 4.
|
−5x1 −5x2 + 2x3 + 3x4 = −17 |
||||||||
|
|
|
− x |
|
+ 2x |
|
+ 4x |
|
= 29 |
Задание 1. |
3x |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||
При помощи команды lsolve решить систему |
|
|
|
|
|||||
|
− 2x1 + 4x2 + 2x3 + x4 =18 |
||||||||
− 2x1 − 2x2 − 2x3 + 4x4 = −18
Проверить решение подстановкой.
Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги рас-
ширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенча-
тому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.
x1 + 2x |
2 − 2x3 + x4 − x5 =1 |
|||
|
|
|
+ 2x4 + x5 |
= 2 |
3x1 − 2x2 + x3 |
||||
|
+ |
10x2 − |
8x3 − x4 − |
5x5 = −1 |
− 3x1 |
||||
|
|
|
|
|
11x1 − 2x2 − x3 +8x4 + x5 = 8 |
||||
|
+ |
14x2 − |
11x3 − 2x4 |
− 7x5 = −2 |
−5x1 |
||||
Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подста-
|
2x + y −3z = 0 |
|
новкой. |
|
|
− 2x + 2y − z = 0 |
||
|
|
0 |
|
p x − y −7z = |
|
18
Вариант 5.
− x1 + x2 + x3 − 2x4 = −6
2x + x + x + 4x = 36
Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему 1 2 3 4
2x1 − 2x2 − 2x3 + 3x4 = 74x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 48
Проверить решение подстановкой.
Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расши-
ренной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому
виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.
2x1 − x2 + x3 − 2x4 − x5 =1 |
||
|
|
2x3 + 3x4 + x5 = −2 |
x1 + x2 − |
||
|
|
|
− 2x1 + 2x2 + x3 + 3x4 − 3x5 = 2 |
||
|
− 7x2 |
+ 6x3 −15x4 − 2x5 = 5 |
6x1 |
||
|
−5x2 |
+11x3 −14x4 −10x5 =12 |
3x1 |
||
Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подста-
2x + y − 4z = 0
новкой. −3x + 2y − z = 0
p x − y −10z = 0
19
Вариант 6.
|
− 2x1 −5x2 + x3 + 3x |
4 = −12 |
|||||||
|
|
|
− x |
|
−5x |
|
+ 4x |
|
=16 |
Задание 1. |
3x |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||
При помощи команды lsolve решить систему |
|
|
|
|
|||||
|
− x1 − x2 + 3x3 + 3x4 =18 |
||||||||
|
|
|
|
|
−5x3 −5x4 |
= −44 |
|||
|
− x1 + x2 |
||||||||
Проверить решение подстановкой.
Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расши-
ренной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому
виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.
2x1 − 2x2 + x3 + x4 + 3x5 =1 |
|||||||||||
|
− |
3x2 + |
3x3 + 2x4 + x5 = −2 |
||||||||
x1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + x5 = −5 |
|||||||||||
− x |
1 |
+ 3x |
2 |
+ 4x |
3 |
+ x |
4 |
+ 2x |
5 |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
− 7x3 |
− 2x4 +8x5 = 3 |
|
||||||
10x1 |
|
||||||||||
Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подста-
2x − y −3z = 0
новкой. − x + y − z = 0
p x −5y −7z = 0
20
Вариант 7.
|
3x1 − 2x |
2 + x3 −5x4 = −1 |
|||||||
|
|
|
− x |
|
− 2x |
|
+ 3x |
|
= 8 |
Задание 1. |
4x |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||
При помощи команды lsolve решить систему |
|
|
|
|
|||||
|
− x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = 3 |
||||||||
|
|
|
+ 3x2 + 3x3 + 2x4 = 35 |
||||||
|
− x1 |
||||||||
Проверить решение подстановкой.
Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расши-
ренной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому
виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.
x1 − 2x3 + 2x4 − x5 = 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 + x3 + 3x4 |
+ x5 = −1 |
||||||
− 2x1 + 2x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x1 − 4x2 −8x3 −5x5 = 8 |
|
|
||||||||
− 4x |
1 |
+ 6x |
2 |
− x |
3 |
+13x |
4 |
+ x |
5 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− 6x2 |
−11x3 − x4 |
− 7x5 =11 |
|||||||
10x1 |
||||||||||
Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подста-
|
x − y −3z = 0 |
новкой. |
|
− x + 2y − 2z = 0 |
|
|
|
|
5x −7y + p z = 0 |