1.3.2 Докажите, что функция f (x) = x2 − 6x + 19 ограничена снизу. Укажите её наименьшее значение.

x2 − 4x + 68

её наибольшее значение.

1.3.4Докажите, что функция f (x) = 12 sin x + 5 cos x ограничена сверху и снизу. Найдите её наименьшее и наибольшее значение.

1.3.5Даны следующие элементарные функции:

√ √

1) f1(x) = 5 − 3x6 + sin4 x; 2) f2(x) = 2 + 3x + 4x2 − 2 − 3x + 4x2;

Найдите коэффициенты A и B, если известно, что f (9) = −99, а f (18) = −108.

линейными. Докажите, что функция f (x) = f1[ f2(x)] также дробно-линейная, т. е.

1.4 Системы окрестностей в R и Rn

Предельный переход — одна из важнейших операций математического анализа. Для изучения предела необходимо ввести понятие окрестности точки. К его изучению мы и приступаем.

Определение. Окрестностью точки x0 из R назовём любой интервал (a, b), содержащий эту точку.

Окрестность точки x0 будем обозначать U (x0) или Uδ1,δ2 (x0):

U (x0) = (a, b) = {x R, a < x < b, a < x0 < b};

Uδ1,δ2 (x0) = (x0 − δ1, x0 + δ2) = {x R, x0 − δ1 < x < x0 + δ2}.

Рассмотрим частные виды окрестностей: Uδ(x0) — симметричная окрестность точки x0 радиусом δ > 0,

Uδ(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) = {x R, x0 − δ < x < x0 + δ} = {x R, |x − x0| < δ};

˙ ( ) — проколотая окрестность — окрестность ( ), из которой удалена точка

U x0 U x0

, ˙ ( ) = { , < < , 6= }; x0 U x0 x R a x b x x0

˙ ( ) — симметричная проколотая окрестность:

Uδ x0

˙ ( ) = { , < | − | < δ}.

Uδ x0 x R 0 x x0

Подчеркнём, что в любой окрестности содержится симметричная окрестность. Определение. Окрестностью бесконечно удалённой точки ∞ в R (обозначается U (∞)) называется внешность некоторого отрезка, т.е. множество точек, не принад-

лежащих этому отрезку. Симметричной окрестностью точки ∞ называется внешность симметричного относительно нуля отрезка.

Множество UM1,M2 (∞) = {(x R; x < M1) (x R; x > M2)} является окрестностью точки ∞, а множество UM (∞) = {(x R; |x| > M)} — симметричной окрест-

ностью этой точки.

В пространстве Rn можно рассмотреть окрестности точки x0(ξ01, ξ02, . . ., ξ0n) двух видов: шары и параллелепипеды. В случае симметричных окрестностей они задаются соотношениями:

Uδ(x0) = {x Rn : |x − x0| < δ}или

Πδ(x0) = {x = (ξ1, ξ2, . . ., ξn) Rn : |ξi − ξ0i | < δ, i = 1, n}.

При n = 2 шаровая окрестность совпадает с открытым кругом, а параллелепипедальная — с открытым прямоугольником.

Окрестностью бесконечно удалённой точки в Rn (обозначается U (∞)) называется внешность шара с центром в начале координат либо внешность n-мерного куба, симметричного относительно начала координат.

Записью UM (∞) обозначают множество { x, x Rn : |x| > M} и называют M- окрестностью точки ∞.

Определение. Точка M0 называется предельной точкой (точкой сгущения) множества X , если в любой её окрестности есть хотя бы одна отличная от M0 точка множества X .

Определение. Точка M0 X называется внутренней точкой множества X , если она входит в множество X вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Точка M0 называется граничной точкой множества X , если в любой её окрестности есть точки, как принадлежащие X , так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множества X называется его границей. Множество X называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки, и открытым, если граничные точки ему не принадлежат.

Например, множество [1, 2] замкнуто, а (1, 2) открыто.

Для введения понятия односторонних пределов используются односторонние окрестности. Они определяются следующим образом:

1) правосторонняя окрестность точки x0 есть множество

Uδ+(x0) = {x R : x0 < x < x0 + δ};

2) левосторонняя окрестность точки x0 есть множество

Uδ−(x0) = {x R : x0 − δ < x < x0};

3) в качестве окрестностей точек +∞ и −∞ принимаются множества

UM (+∞) = {x R : x > M}; UM (−∞) = {x R : x < M}.