ж) lim etg 10x − 1 . x→0 sin 2x

1.8 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1.8.1Теоремы о свойствах бесконечно малых функций

Впределах этого подраздела, если не оговорено противное, будем все рассматриваемые функции считать скалярнозначными.

Определение 1. Функция α(x) называется бесконечно малой в точке x0 (при

x → x0), если lim α(x) = 0.

x→x0

Определение 2. Функция y называется бесконечно большой в точке x0 (при

x → x0), если lim y(x) = ∞, −∞, +∞.

x→x0

Отметим некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Теорема 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций в точке x0 есть функция бесконечно малая в x0.

Справедливость теоремы следует из теоремы о пределе суммы функций.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции α(x) в x0 на функцию f (x), ограниченную в окрестности x0, есть бесконечно малая функция в x0.

Доказательство. Так как lim α(x) = 0 и существует окрестность U (x0) та-

x→x0

кая, что для всех x U (x0) выполнено неравенство | f (x)| < M (M =6 ∞), то для всех x U (x0) справедливо неравенство −|α(x)|M ≤ α(x) f (x) ≤ |α(x)|M. Так как

Пример 3. Функция β(x) = x sin 1 является бесконечно малой при x = 0, так как x

функция α(x) = x бесконечно малая, а f (x) = sin 1 ограничена в окрестности точки

x

x0 = 0.

Теорема 3. Если α(x) бесконечно малая функция в точке x0, то функция β(x) =

1

= α(x) бесконечно большая в x0, и наоборот, если β(x) — бесконечно большая в

точке x0, то α(x) = 1 — бесконечно малая в точке x0.

β(x)

Теорему предлагается доказать самостоятельно.

1.8.2 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Определение 1. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) при x = x0 называются

сравнимыми, если существует хотя бы один из пределов lim α(x), lim β(x) .

x→x0 β(x) x→x0 α(x)

Определение 2. Пусть α(x) и β(x) — сравнимые бесконечно малые при x = x0 и

lim α(x) = C. Если C =6 0, C =6 ∞, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) при

x→x0 β(x)

x = x0 называются бесконечно малыми одного порядка малости.

Если C = 0, то говорят, что бесконечно малая α(x) при x = x0 имеет более высокий порядок малости, чем β(x), и пишут α(x) = o(β(x)).

Если C = ∞, то бесконечно малая β(x) имеет более высокий порядок малости, чем α(x).

Если C = 1, то бесконечно малые α(x) и β(x) называются эквивалентными бесконечно малыми при x = x0. Пишут в этом случае α(x) β(x).

Определение 3. Говорят, что бесконечно малая функция α(x) имеет порядок

частью бесконечно малой α(x).

Обычно в роли эталонной бесконечно малой в точке x0 принимают функцию

β(x) = x − x0.

Пример 1. Найти порядок малости бесконечно малой функции α(x) = 1 − cos x

=1 x2.

2

Пример 2. Докажите самостоятельно, что бесконечно малая α(x) = esin x − 1 от-

носительно бесконечно малой β(x) = x имеет первый порядок малости. Совершенно аналогично производят сравнение бесконечно больших функций

u(x) и v(x) при x = x0, исходя из предела

lim u(x) = C.

x→x0 v(x)

Предлагается соответствующие определения сформулировать самостоятельно.

Последнее свойство часто используется при отыскании пределов отношений.

На основании первого замечательного предела и следствий из второго можем составить следующую таблицу эквивалентных бесконечно малых. Через α(x) обо-

на случай векторных функций векторного или скалярного аргумента, а именно:

функция α(x) : X Rn → Y Rk называется бесконечно малой при x = x0, если

все её координатные функции α1(x1, x2, . . ., xn), α2(x1, x2, . . ., xn), . . . αk(x1, x2, . . ., xn) являются бесконечно малыми, или, другими словами, если функция

является бесконечно большой в этой точке. В этом случае функция

q

|α(x)| = α21 + α22 + . . . + α2k

также бесконечно большая.

Заметим, что если lim f (x) = A, то из определения предела следует, что функ-

x→x0

ция α(x) = f (x)−A является бесконечно малой при x → x0. Верно и обратное утверждение. Таким образом, в этом случае f (x) = A +α(x), где α(x) — бесконечно малая функция при x → x0.