86 |
2. Дифференциальное исчисление |
|
|
Вопросы к разделу 2
1 Определение дифференцируемой функции. Понятие производной матрицы и дифференциала.
2 Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции.
3 Строение производной матрицы в случаях f : X R → Y R, f : X Rn → → Y R, f : X R → Y Rn, f : X Rn → Y Rn. Понятие частных производных.
4 Вывод формул производных основных элементарных функций.
5 Правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции.
6 Запишите формулы дифференцирования функций вида
u = f [x1(t), x2(t), . . ., xn(t)],
u = f [x1(t1,t2, . . .,tk), x2(t1,t2, . . .,tk), . . ., xn(t1,t2, . . .,tk)].
7 Правило дифференцирования обратных функций.
8 Понятие производной по направлению. Вывод формулы для её вычисления. Понятие градиента.
9 Понятие производных высших порядков от функции f : X R → Y R. По-
нятие частных производных высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.
10 Поясните параметрический способ задания функции. Правило дифференцирования параметрически заданных функций.
11 Поясните неявный способ задания функции f : X R → Y R и f : X R2 → Y R. Правила их дифференцирования.
12 Геометрический и механический смысл производных. Запишите уравнение касательной к кривой при различных способах её задания.
13 Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
14 Как записывается общий вид дифференциала для функций
f : X R → Y R, f : X Rn → Y R, f : X R → Y Rn, f : X Rn → Y Rm.
15 В чём заключается свойство инвариантности формы записи первого дифференциала?
16 Как определяются дифференциалы d2 f , d3 f , . . . , dn f для функции f : X R → Y R, когда x — независимое переменное.
17 Запишите d2 f для функции f : X R → Y R если x = x(t).
18 Запишите выражение d2 f и d3 f для функции z = f (x, y), x и y — независимые переменные.
19Запишите формулу Тейлора порядка n для функций f (x) и f (x1, x2, . . ., xn) в дифференциальной форме.
20Запишите формулу Тейлора порядка n для функции y = f (x), используя в её записи производные и частные производные для функции z = f (x, y).
21Запишите формулу Маклорена для функций ex, sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x)n.
22 Теорема о поведении функции f (x) в окрестности точки x0, если f ′(x0) > 0
( f ′(x0) < 0).
Вопросы к разделу 2 |
87 |
|
|
23 Теорема Ферма об обращении в нуль производной в точке наибольшего (наименьшего) значения.
24 Теорема Ролля (об обращении производной в нуль). f (b) − f (a)).
b − a
26 Теорема Коши (об отношении f (b) − f (a)). g(b) − g(a)
0 ∞
27 Сформулируйте правило Лопиталя о раскрытии неопределённостей 0 , ∞.
28Как раскрыть неопределённости 0 · ∞, ∞ − ∞, 00, 1∞, ∞0?
29Дайте определение точек экстремума для функций y = f (x) и y = f (x1, x2, . . ., xn).
30 Сформулируйте необходимые условия экстремума для функции y = f (x) и y = f (x1, x2, . . ., xn).
31Достаточные условия экстремума для функции y = f (x), связанные с поведением f ′(x0) и с производными высших порядков.
32Достаточные условия экстремума для функции z = f (x, y).
33Дайте определение выпуклости вверх и вниз графика функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости вверх и вниз, связанные с f ′′(x).
34Понятие точки перегиба графика функции. Правило отыскания точек пере-
гиба.
35Понятие асимптот графика функции. Правила отыскания вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.
36Опишите общую схему исследования функции и построения графиков.
Заключение
Мы кратко познакомились с отдельными разделами дифференциального исчисления. Желающим более глубоко изучить этот раздел следует обратиться к литературным источникам, указанным в списке литературы. Наиболее обстоятельно темы “Введение в анализ” и “Дифференциальное исчисление” изложены в первом томе Г. М. Фихтенгольца [19]. Изложение традиционно. Сначала изучаются функции одного переменного, а затем многих аргументов. Все теоретические построения сопровождаются многочисленными примерами с подробным разбором их решения и при этом часто даётся новый подход и к теоретическим вопросам. Особенно глубоко изучается теория неявно заданных функций, исследование функций на минимум и максимум, что является хорошим введением в курс “Теория оптимальных процессов”.
Современное изложение математического анализа содержится в книге В. А. Зорича [8]. В этой работе теория функций одной и многих переменных объединены и излагаются одновременно. Следует отметить высокий научный уровень изложения.
Очень популярно и в то же время на достаточно высоком научном уровне можно найти ещё один способ построения основ математического анализа в книге А. Д. Мышкиса [17].
Имеется многочисленная литература, посвящённая практике решения задач по математическому анализу. Можно использовать пособия [7, 9, 14, 16] и многие другие.
Литература
[1] Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов
/Г.С. Бараненков [и др.] Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: ООО “Издательство Астрель”: ООО “Издательство АСТ”, 2004. – 495 с.
[2]Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман.
– СПб., Изд-во “Профессия”, 2001. – 432 с.
[3]Сборник задач по математике / В. А. Болгов [и др.] — М. : Наука, 1984. —
464 с.
[4]Бугров Я. С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский — М. : Наука, 1984. — 432 с.
[5]Власов В. Г. Конспект лекций по высшей математике / В. Г. Власов — М. : АЙРИС, 1996. — 288 с.
[6]Дифференциальное исчисление / А. А. Ельцов [и др.] — Томск : Томский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2001. — 228 с.
[7]Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу
/Г. И. Запорожец. — СПб : Лань, 2010. — 464 с.
[8]Зорич В. А. Математический анализ, т.1 / В. А. Зорич. — М.: Наука, 1981, —
544 c.
[9]Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч. 2. Дифференциальное исчисление функций одной и многих переменных / И.А. Каплан.
– Харьков: “Вища школа”, 1972. – 368 с.
[10]Куваев М. Р. Методика преподавания математики в вузе / М. Р. Куваев — Томск : Томский государственный университет, 1990. — 390 с.
[11]Магазинников Л. И. Высшая математика I / Л.И. Магазинников — Томск : Томская государственная академия систем управления и радиоэлектроники, 1998.
— 192 с.
[12]Магазинников Л. И. Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования. / Л. И. Магазинников. — Томск : Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 1998. — 204 c.
[13]Магазинников Л. И. Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей: учебное пособие. — Ч. 1 / Л. И. Магазинников, Ю. П. Шевелёв. — Томск: Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2007. — 260 c.
[14]Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной / И.А. Марон. – СПб: Лань, 2008. – 400 с.
[15]Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: учебное пособие.
/М. И. Каченовский [и др.] — М. : Наука, 1988. — Ч. 2. — 272 c.
[16]Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных / В. Ф. Бутузов [и др.] — М. : Высшая школа, 1988. — 288 с.
[17]Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис. — СПб : Лань, 2009. — 688 с.
[18]Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин
— М. : Педагогика, 1989. — 352 с.
[19]Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х тт. Т. 1 / Г.М. Фихтенгольц. – СПб: Лань, 2016. – 608 с.