- •Предисловие
- •Введение
- •1 Введение в математический анализ
- •1.1 Множества. Операции над множествами
- •1.2 Числовые множества. Границы числовых множеств
- •1.2.1 Множества действительных чисел
- •1.2.2 Множества комплексных чисел
- •1.3 Функции или отображения
- •1.3.1 Понятие функции
- •1.3.2 Частные классы отображений
- •1.3.3 Основные элементарные функции
- •1.3.4 Суперпозиция (композиция) отображений. Сложная и обратная функции
- •1.4 Системы окрестностей в R и Rn
- •1.5 Предел функции
- •1.5.1 Понятие предела функции
- •1.5.2 Последовательность и её предел
- •1.5.3 Определение предела функции на языке последовательностей
- •1.5.4 Односторонние пределы
- •1.5.5 Теоремы о пределах
- •1.6 Непрерывность функции в точке
- •1.6.1 Основные понятия и теоремы
- •1.6.2 Классификация точек разрыва
- •1.7 Замечательные пределы
- •1.7.1 Первый замечательный предел
- •1.7.2 Второй замечательный предел и его следствия
- •1.8 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1.8.1 Теоремы о свойствах бесконечно малых функций
- •1.8.2 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Вопросы к разделу 1
- •2 Дифференциальное исчисление
- •2.1 Дифференцируемые отображения
- •2.2 Строение производной матрицы
- •2.3 Некоторые свойства производных
- •2.4 Производная по направлению
- •2.5 Производные высших порядков
- •2.6 Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование
- •2.7 Функции, заданные неявно, и их дифференцирование
- •2.8 Геометрический и механический смысл производной
- •2.10 Дифференциал функции
- •2.11 Дифференциалы высших порядков
- •2.12 Формула Тейлора
- •2.13 Основные теоремы дифференциального исчисления
- •2.14 Правило Лопиталя
- •2.15 Условия постоянства функции. Условия монотонности функции
- •2.16 Экстремумы
- •2.16.1 Необходимые условия экстремума
- •2.16.2 Достаточные условия экстремума
- •2.16.3 Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции
- •2.17 Выпуклость вверх и вниз графика функции
- •2.18 Асимптоты графика функции
- •Вопросы к разделу 2
- •Заключение
- •Литература
- •Ответы
- •Предметный указатель
1 Введение в математический анализ
1.1 Множества. Операции над множествами
Для сокращения записей мы будем часто использовать следующие символы (кванторы).
Квантор общности . Запись x означает: всякий (любой) x. Квантор существования . Запись x означает: существует x.
Понятие множества является первичным и определению не подлежит, его лишь можно пояснить примерами. Множество считается заданным, если имеется правило, позволяющее установить относительно любого объекта, является ли он элементом этого множества или нет. Множество можно задать либо перечислением всех его элементов, либо указанием свойства, которым обладают элементы этого множества и не обладают объекты, не являющиеся его элементами. Множества будем обозначать большими буквами латинского алфавита: A, B,C, D, X ,Y и т.д. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается . Запись a A означает, что элемент a принадлежит множеству A. Если a не принадлежит A, то пишут a 6 A или a ¯A.
Говорят, что множество A входит в B (пишут A B), если для a A → a B. В этом случае A называют подмножеством B.
Множества A и B называются равными (A = B), если A B и B A. Над множествами определим следующие операции.
Объединением или суммой множеств A и B (обозначают A B, A + B) называют множество C, состоящее из всех элементов множеств A и B, не содержащее никаких других элементов.
Очевидно, A A = A. Операция объединения коммутативна: A B = B A и ассоциативна (A B) C = A (B C).
Пересечением множеств A и B называется множество C (обозначают C = A ∩ B или C = A · B), состоящее лишь из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно и A, и B. Операция пересечения множеств обладает свойствами:
A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C), A ∩ A = A.
Операции пересечения и объединения множеств связаны распределительным законом A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩C).
Разностью множеств A и B называется множество A \ B, содержащее все те и только те элементы множества A, которые не являются элементами множества B.
Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество
A × B, элементами которого являются всевозможные пары (a, b), где a A, b B. Аналогично можно определить прямое произведение любого числа множеств.
Пример. Пусть A = {1, 3, 4, 8}, B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}. Тогда
C = A + B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}, A ∩ B = {1, 4, 8}, A \ B = {3}.
Следующие задачи решите самостоятельно.
1.1.1Даны два множества чисел A = {1, 3, 7, 9} и B = {2, 3, 4, 7, 8, 9}. Найдите множество A B.
1.1.2Даны два множества чисел A = {2, 4, 5, 7, 9} и B = {1, 2, 3, 4, 5, 8}. Найдите множество A ∩ B.