Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Дифференциальное исчисление.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

783.68 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

и a(2, 2, 1).

54	2. Дифференциальное исчисление

2.4 Производная по направлению

Пусть даны f (M) = f (x1, x2, . . ., xn) — скалярная функция векторного аргумента и ненулевой вектор a. Зафиксируем некоторую точку M0. Предел

lim	f (M) − f (M0)	,	(M	M a),
	±\|M0M\|
M→M0			0	k

если он существует и конечен, называется производной от функции f (M) в на-

∂ f

правлении вектора a в точке M0 и обозначается ∂a , при этом выбираем знак “+”,

если M0M ↑↑ a, знак “−”, если M0M ↑↓ a. ∂ f

Найдём выражение для ∂a , ограничиваясь случаем n = 3, f (M) = f (x, y, z).

Вектор a запишем в виде: a = |a|a0, где a0 = (cos α, cos β, cos γ) — орт вектора a,

cos α, cos β, cos γ — его направляющие косинусы. Пусть точка M0 имеет координаты

(x0, y0, z0), а M — (x, y, z). Так как M0Mka0, то M0M = ta0, поэтому x = x0 + t cos α, y = y0 + t cos β, z = z0 + t cos γ, |M0M| = |t|. Тогда

∂ f

= lim

f (x, y, z) − f (x0, y0, z0)

∂a t→0

±|t|

= lim

f (x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) − f (x0, y0, z0)

d f

t→0

По формуле (2.10) находим:

∂ f

(M0) =

(M0)

∂a

∂x

∂y

∂z

Так как

= cos α,

= cos β,

= cos γ, то

∂ f

(M0) =

(M0)cos α +

(M0)cos

β +

(M0)cos γ.

(2.12)

∂a

∂x

∂y

∂z

∂ f

Введём вектор grad f =

, называемый градиентом функции f

в точке

∂x

∂y

∂z

M0. Тогда формулу (2.12) можно записать в виде

∂ f

= (a0

, grad f ).

(2.13)

∂a

∂ f

определяет скорость изменения функции f (x, y, z) в направле-

Заметим, что

∂a

∂ f

нии вектора a. Из формулы (2.13) следует, что величина ∂a наибольшая, если a k grad f .

∂ f

Пример. Найдите ∂ в точке M0(1, −1, 2), если f (x, y, z) = x2 −3x +y2 −2y+z2 +z a

Находим орт вектора a: a0 =

√

;

, следовательно,

|a|

4 + 4 + 1

cos α =

, cos β =

, cos γ =

∂ f

= 2x − 3,

= 2y − 2,

= 2z + 1,

∂x

∂y

∂z

2.5 Производные высших порядков

¶ f

(M0) = −1,

(M0) = −4,

(M0) = 5.

¶x

¶y

¶z

¶ f

По формуле (2.12) получаем

(M0) = −1 ·

− 4 ·

+ 5 ·

= −

¶a

2.4.1 Найдите grad f функции f (x, y, z) = x2 + y2z3 в точке M0(3, 2, 1). 2.4.2 Найдите |grad f | функции f (x, y, z) = y2 + x2z3 в точке M0(2, 3, 1).

¶ f

2.4.3 Найдите производную ¶a в направлении вектора a = {2; −2; 1} функции f (x, y, z) = 3x2y3z2 в точке M0(2, 1, 1).

2.5 Производные высших порядков

Вначале рассмотрим скалярную функцию одной переменной f : X R → Y R. Пусть для всякого x из X существует производная f ′(x) функции f (x). Производная f ′(x) является новой функцией от x. Поэтому можно говорить о производной от f ′(x). Определим вторую производную f ′′(x) как производную от первой производной, т.е. f ′′(x) = [ f ′(x)]′. Аналогично

f ′′′(x) = [ f ′′(x)]′,. . . , f (n)(x) = [ f (n−1)(x)]′.

Пример 1. Найдите f (n)(x), если f (x) = eax+b.

f ′(x) = aeax+b, f ′′(x) = a2eax+b, . . . , f (n)(x) = aneax+b.

Пример 2. f (x) = sin x. Найдите f (n)(x).

f ′(x) = cos x = sin x +

f ′′(x) = cos x +

= sin x

+ 2

,. . . , f (n)(x) = sin

x + n

Пример 3. Докажите, что

(n)

1)nn!

(−

−

(x 1)(n+1)

−

Для отыскания производных высших порядков от произведения двух функций иногда полезна формула Лейбница. Пусть функции U (x) и V (x) имеют производные до порядка n включительно. Тогда

[U (x) ·V (x)](n) = ånk=0 CnkV (k)(x)U (n−k)(x), где Cn0 = 1,

Ck = n(n − 1)(n − 2) · . . . · [n − (k − 1)] — число сочетаний из n по k.

n k!

Для вектор-функции одного аргумента полагаем:

f2(x)		f	(n)	(x)
f1(x)	(n)		(n)	(x)
f1(x)		f1		(x)
.	=		2		.
..			...



fk(x)			(n)
		fk		(x)

56 2. Дифференциальное исчисление

2.5.1 Найдите производную указанного порядка от функции y = y(x) и вычис-

лите её значение в точке x0:

а) y(x) = 2 cos2 2x − 5 sin2 2x,

y′′′,

x0 =

;

б) y(x) = 3x4 − 4x3 − 2x + 1,

y′′′,

x0 = 1;

в) y(x) =

ctg 3x + cos 4x, y′′, x0

;

г) y(x) = 5e2x + 3ex + cos 2x,

y(IV ), x0 = 0.

Рассмотрим скалярную функцию векторного аргумента f = f (x1, x2, . . ., xn).

Мы ввели уже частные производные

∂ f

. Эти частные производные

, . . .

∂x1

∂x2

∂xn

сами являются функциями от (x1, x2, . . ., xn). Поэтому можно говорить о частных производных от них. Их называют частными производными второго порядка и

обозначают

∂2 f

(i, j = 1, 2, . . .n).

∂xi∂x j

Можем получить следующие частные производные:

∂2 f

∂

∂ f

∂2 f

∂ ∂ f

,. . . ,

∂2 f

∂

∂ f

∂x12

∂x1

∂x22

∂x2 ∂x2

∂xn2

∂xn

∂x1

∂xn

∂2 f

∂

∂ f

,. . . ,

∂2 f

∂

∂ f

∂x1∂x2

∂x1

∂x2

∂xn−1∂xn

∂xn−1

∂xn

Аналогично вводятся частные производные третьего порядка

∂3 f

∂

∂2 f

∂3 f

∂

∂2 f

и т.д.

∂x13

∂x1

∂x12∂x2

∂x1

∂x1∂x2

∂x12

и более высоких порядков.

Частные производные, в которые входит дифференцирование по различным

переменным, называются смешанными, например:
	∂2 f	,	∂2 f	,	∂3 f	,	∂3 f	, . . .
	∂x1∂x2		∂x2∂x1		∂2x1∂x2		∂x2, ∂x1, ∂x3

Теорема. Смешанные частные производные любого порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывные в окрестности некоторой точки, равны в этой точке между собой.

Пример 4. Найти

∂2 f

, если f (x, y, z) = xyz.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂ f

∂2 f

∂ f

∂2 f

Решение.

= yzxyz−1

= yz(yz − 1)xyz−2,

= zxyz ln x,

= z2xyz ln2 x,

∂x

∂x2

∂y

∂y2

∂2 f

= xyz−1z(1 + yz ln x).

∂x∂y

∂2 f

найдите самостоятельно.

∂z2

∂x∂z

∂y∂z

Рассмотрим более подробно частные производные высших порядков от сложной функции для функций двух переменных.

Пусть f (x, y), x = x(t), y = y(t) — дифференцируемые функции. Тогда по фор-

	d f		∂ f dx			∂ f dy
муле (2.10) имеем		=			+			.
	dt		∂x	dt		∂y	dt

2.6 Функции, заданные параметрически и их дифференцирование

Считая, что функции

∂ f

также дифференцируемы, находим:

∂x

∂y

d2 f

∂ ∂ f dx

∂ f d2x

∂ ∂ f dy

∂ f d2y

∂2 f dx

dt2

∂t

∂x

dt2

∂t

∂y

dt2

∂x2

∂2 f dy dx

∂ f d2x

∂2 f dx ∂2 f dy dy ∂ f d2y

∂y∂x

∂x

dt2

∂x∂y

∂y2

∂y

dt2

∂2 f

∂2 f dx dy

∂2 f dy

∂ f d2x

∂ f d2y

+ 2

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

dt2

∂y

dt2

∂2 f

Мы здесь предположили, что

∂x∂y

∂y∂x

Пусть теперь имеем сложную функцию f (x, y) = f [x(u, v), y(u, v)].

Считая функции f (x, y), x(u, v), y(u, v) дифференцируемыми, по формуле (2.11)

можно найти

∂ f

∂ f ∂x

∂ f ∂y

∂ f

∂ f ∂x

∂ f ∂y

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

Так как

∂ f

∂2 f ∂x

∂2 f ∂y

∂ ∂ f

∂2 f ∂x

∂2 f ∂y

∂

∂u

∂x

∂x2

∂u

∂y∂x

∂u

∂y

∂x∂y

∂u

∂y2x

∂u

то

∂2 f

∂x

∂2 f ∂x ∂y

∂2 f

∂y

∂ f ∂2x

∂ f

∂2y

+ 2

∂u2

∂x2

∂u

∂x∂y

∂u

∂y2

∂u

∂x

∂u2

∂y

∂u2

∂2 f

Частные производные

предлагаем записать самостоятельно в каче-

∂v2

∂u∂v

стве упражнения.

2.5.2 Найдите указанные частные производные от функции u = f (x, y, z) и вы-

числите её значение в точке M0(x0, y0, z0):

а)

∂2 f

(4, 1, −2);

f (x, y, z) =

, M0

yz3

∂z2

∂2 f

б)

x y z

sin

4x2

2y3

3z2

0 ;

(

, ,

) =

3 +3

∂x2

( ,

, )

в) f (x, y, z) = xy4z2,

∂

, M0(2, −1, 2);

∂y3

г)

∂2 f

(−2, −1, 2).

f (x, y, z) =

, M0

x2z

∂x2

2.6 Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование

Определить функцию y = f (x) можно с помощью соотношений	(2.14)
y = ψ(t), t T.	(2.14)
x = ϕ(t),

При этом сопоставляются друг с другом те значения x и y, которые получаются из соотношения (2.14) при одном и том же значении аргумента t. Говорят, что возникающая при этом функция y = y(x) задана параметрически с помощью соотношений (2.14).

2. Дифференциальное исчисление

Пусть функции ϕ(t) и ψ(t) дифференцируемы достаточное число раз и

ϕ′(t) = 0. Предположим, что удалось найти обратную к ϕ(t) функцию x−1 = t(x).
6							yt′
Тогда y(x) = ψ[t(x)] — сложная функция и y′			= ψ′		t′	=	yt′	. Таким образом, произ-
Тогда y(x) = ψ[t(x)] — сложная функция и y′			= ψ′		t′	=		. Таким образом, произ-
		x		t	· x		xt′
водная функции, заданной параметрически, находится по формуле:
yx′ = dx		= xt′ ,				(2.15)
x = x	dy	yt′
x = x	(t)	.

Для отыскания второй производной yxx′′ воспользуемся соотношениями (2.15)

ещё раз yxx′′

yt′

′ 1

xt′

t xt′ ,

x = x(t)

ytt′′ xt′

xtt′′ yt′

t′

x = x(t).

Вычислив производную дроби

t′

′, получим yxx′′

−

(xt′)3

для третьей, четвёртой и после-

Аналогично могут быть получены выражения

дующих производных функции, заданной параметрически.

x =

cos3 t,

Пример. Найти yxx′′ , если

y =

sin

Решение.

yxx′′ = −

x′

cos2 t sint

−

= 4

3 sin2 t cost

3 tgt,

3 cos2 t

−

x =

cos

x =

9 cos t.

2.6 Найдите y′′xx от функции, заданной параметрически, и вычислите её значение

при t = t0:	( x = t3 + t,−
а)	( x = t3 + t,−	t0 = 1;
	y = 64(t4	9t),
	x = ln(1 + t	2) + t,		0	= 0
б)	y = 6 arctgt	− 9t,	t			;

√

y = 5

− 1

− 9 arcsint,

в)

x = arccos t

t > 2, t0 = √

;

y = 8(5t3

5t2

7t),

г)

−

t0 = 1.

x =

+ t,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023457.43 Кб5Выпускная квалификационная работа..pdf
#
05.02.20231.41 Mб33Высшая математика I. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.pdf
#
05.02.20231.32 Mб11Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.pdf
#
05.02.2023764.74 Кб13Высшая математика IV. Теория вероятностей.pdf
#
05.02.20231.08 Mб9Высшая математика. Дифференциальное исчисление-1.pdf
#
05.02.2023783.68 Кб10Высшая математика. Дифференциальное исчисление.pdf
#
05.02.20232.02 Mб9Вычислительная математика. Часть 2.pdf
#
05.02.20232.42 Mб7Вычислительная математика.-1.pdf
#
05.02.2023915.58 Кб5Вычислительная математика.-2.pdf
#
05.02.2023915.77 Кб5Вычислительная математика.-3.pdf
#
05.02.2023421.96 Кб6Вычислительная математика.-4.pdf