Компьютерная геометрия и графика

91

Z

Рисунок 5.2

Можно записать векторное уравнение для сферической поверхности:

S = (cosΘ sin Φ)e1 + (sin Θ cosΦ)e2 + cosΦ e3 ,

где e1,e2 ,e3 - единичные векторы в прямоугольной системе координат; s - вектор положения точки на поверхности.

Поверхность, изображенная на рисунке 5.2, характеризуется следующим изменением параметров (углов Θ и Φ ):

0 ≤ Θ ≤π 2 π4 ≤ Φ ≤π2 .

Форма граничных кривых может быть описана касательными векторами в начале и в конце каждой кривой, а также векторами кривизны.

Для участка сферической поверхности касательные векторы получаются:

93

Β: Ν = −1 (e1 + e2 ), 2

C : Ν = −1 (e2 + e3 ), 2

D : Ν = −e2 .

Единичная нормаль определяется величиной n = Ν Ν .Раскрывая

матричное выражение для Ν , получим:

Ν = −cosΘsin2 Φe1 −sin Θsin2 Φe2 −sin ΦcosΦe3 .

То есть

Ν = cos2 Θsin4 Φ −sin2 Θsin4 Φ −sin2 Φcos2 Φ = sin Φ .

Таким образом

n = −cosΘsin Φe1 −sin Θsin Φe2 −cosΦe3 .

Итак, с помощью сферической поверхности мы проиллюстрировали некоторые наиболее распространенные способы описания поверхностей и их участков:

–аналитическое описание (неявное и параметрическое);

–описание участка с помощью четырех граничных кривых;

–описание участка с помощью касательных векторов и векторов кривизны, а также

–нормали к поверхности.

Рассмотрим теперь примеры более сложных поверхностей. Для этого сделаем ряд предварительных замечаний.

1.Будем использовать параметрическое представление поверхностей.

2.Будем использовать следующее описание:

Q(u,w) =[x(u, w), y(u,w), z(u, w)] – векторная функция, описывающая

положение точки на поверхности. Любая точка на поверхности может быть

94

получена фиксацией u и w, то есть Q(u,w). Фиксация одного из параметров Q(u,w) даст описание кривой на поверхности;

P – векторная функция, описывающая входные данные поверхности (точки, кривые и так далее);

Q – векторная функция, описывающая конструируемую поверхность,

соответствующую входным данным, то есть P и Q совпадают только в заданных точках.

5.2БИЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Это один из простейших видов поверхностей. Предположим, что четыре угловые точки поверхности заданы на плоскости u,w вершинами единичного

квадрата P(0,0), P(0,1), P(1,0), P(1,1). Необходимо, построить поверхность

Q(u,w)(u,w[0;1]) , на которой любая точка может быть получена путем линейной интерпретации. Получим следующую функцию:

P(0,1)

Y

Рисунок 5.3

5.3ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Линейчатые поверхности часто применяют в авиационной и кораблестроительной промышленности. Строятся они следующим образом. Предполагаются, что известны две граничные кривые. Допустим, что это P(u,0) и P(u,1) . Эти кривые могут быть заданы любым из способов, которые мы рассматривали в разделе «Пространственные кривые». Линейчатая поверхность в этом случае получается с помощью линейной интерполяции между этими кривыми.

Q(u,w) = P(u,0)(1− w) + P(u,1)w

Здесь Q(0,0) = P(0,0)

Q(0,1) = P(0,1)

Q(1,0) = P(1,0) .

Q(1,1) = P(1,1)

Кроме того, края конструируемой поверхности совпадают с заданными кривыми, то есть Q(u,0) = P(u,0)èQ(u,1) = P(u,1) .

Аналогично можно рассмотреть случай, когда известны P(0, w) и P(1,w) :

Q(u,w) = P(0,w)(1−u) + P(1, w)u .

5.4ЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ КУНСА

Логика получения этих поверхностей следующая. Пусть известны четыре граничные кривые P(u,0), P(u,1), P(0, w), P(0, w). Линейная поверхность Кунса получается суммированием координат точек линейчатых поверхностей между кривыми P(u,0), P(u,1), P(0, w), P(1, w). Однако при этом границы полученной поверхности не будет совпадать с заданными граничными кривыми:

Q(u,w) = P(u,0)(1− w) + P(u,1)w + P(0,w)(1−u) + P(1, w)u;

Q(0,0) = P(0,0) + P(0,0);

Q(0, w) = P(0,0)(1− w) + P(0,1)w + P(0,w).

Это происходит потому, что угловые точки просчитываются дважды, так как содержится в описании обеих линейчатых поверхностей.

Правильный результат дает следующее уравнение поверхности: