Математические модели динамических систем в форме уравнений для переменных состояния

Пример 2.

•Рассмотрим систему:

x1 = x2

x2 = x1 +u y = x1 − x2

Rang Nн = 1 , система неполностью наблюдаема.

31

Преобразуем систему, вычитая из первого уравнения второе:

Эта структура имеет “висячую” часть на выходе.

32

Изменение базиса в уравнениях состояния

ИмеЕтся система x = Ax + Bu

y= Cx

Вновом базисе x = Ax + Bu

y = Cx.

Пусть x = Px. Матрица перехода P существует

и является единственной,если пара{A,B} управляема.

33

Пример (упражнение)

Найти матрицу Р, преобразующую Систему

x1 = 2x1 + x2 +u x2 = x1 + 2x2

к нормальному виду :

x1 = x2

x2 = −3x1 + 4x2 +u.

34

О синтезе системы

Синтез системы - это направленный расчет, цель

которого :

построение рациональной структуры системы;

нахождение оптимальных значений параметров отдельных

звеньев.

•Качество управления можно описать двумя способами.

•Первый способ предусматривает или непосредственное

задание динамических характеристик выходных координат

системы при типовых воздействиях, или задание совокупности прямых и косвенных показателей качества (значение перерегулирования, времени регулирования, статической ошибки, частоты среза, полосы пропускания и т.д.).

•Второй способ основан на введении некоторого обобщенного функционала, определяемого всеми переменными системы управления u(t), x(t), y(t).

•В теории линейных систем управления широко используются оба указанных способа.

35

Если передаточная функция системы не имеет нулей, то при выборе ее желаемого полинома D(p) можно руководствоваться

стандартными формами (фильтрамиЧебышева, Баттерворта и др.)

• Стандартные формы определяют коэффициенты

характеристического полинома , обеспечивающие в системе

переходные и частотные характеристики с известными показателями качества.

• Если же система характеризуется наличием нулей, стандартные формы могут служить в качестве исходного материала для поиска своего оптимального расположения корней.

•Одним из основных методов проектирования

детерминированных систем управления в

пространстве состояний является метод расположения полюсов.

36

Распределение полюсов системы управления

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом.

•Требуемое качество процессов может быть достигнуто заданием распределения полюсов замкнутой системы на комплексной

плоскости.

•Для системы Ax Bux +=

y= Cx

•полюса системы - это собственные значения матрицы А или корни

еехарактеристического уравнения

det( λE − A) = λn +a1λn−1 +... +an−1λ +an = 0

37

Пусть внешнее воздействие на объект: v = F(x, u).

В случае линейной безынерционной обратной связи

v = Kx + u,

где K – постоянная матрица коэффициентов

обратной связи.

Требуется найти элементы матрицы K так, чтобы

замкнутая система имела желаемый

характеристический полином:

det( λE − A) = λn + α1λn−1 +... + αn−1λ + αn = 0

38

Если уравнения объекта заданы в нормальной форме (Фробениуса), то матрица обратных связей по состоянию

•Покажем это:

Пример

• Задана система:

Характеристический полином : ( λ −1) ( λ −2) = λ2 −3λ +2 Система неустойчива : a1= -3, a2= 2.

40