Математические модели динамических систем в форме уравнений для переменных состояния
..pdf
Структурная схема для управляемой канонической
формы уравнений состояния
u |
∫ |
xn |
∫ |
xn-1 |
x2 |
∫ |
X |
y=x1 |
b |
|
… |
|
|
|
|||
|
|
a1 |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
an-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
Здесь переменные состояния – фазовые координаты.
11
Другая форма: в правой части уравнения содержатся
производные от входного воздействия
12
Введем переменные состояния:
Здесь координаты состояния x абстрактные переменные.
i
13
Этим уравнениям соответствует структура:
14
Возможно другое представление:
15
Структурная схема может быть преобразована к виду:
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
bm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1=y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
b0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+ |
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
p |
|
|||
|
p |
|
|
|
|||||||||
u |
|
|
p |
xn |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-an
-am+1 
-a2
-a1
16
Тогда матрицы A, B, C в уравнениях состояния будут:
|
−an |
1 |
0 |
.. |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
−an−1 |
0 |
1 |
.. |
0 |
|
|
|
.. |
A = |
.. |
.. .. .. .. |
|
B = |
|
.. |
|||
|
−a2 |
0 |
0 |
.. |
1 |
|
|
|
b1 |
|
−a1 |
0 |
0 |
.. |
0 |
|
|
|
b0 |
C = 1 0 0 0 0
Это - наблюдаемая каноническая форма уравнений состояния.
Таким образом, переход от передаточной функции к описанию в переменных состояния является неоднозначным.
17
Другие канонические формы уравнений состояния.
Пусть W ( p ) = R( p ) , |
|
Y( p ) = R( p )U( p ) = |
|||
|
|
D( p ) |
|
|
D( p ) |
Обозначим |
R( pi ) = b , |
i =1,...,n. |
|||
|
D′( pi ) |
i |
|
|
|
|
|
|
|
||
Первый способ. |
|
|
|
||
n |
|
( p ), X |
( p ) = |
U( p ) , y(t ) = |
|
1) Y( p ) = ∑b X |
|||||
i |
i |
|
i |
|
p − pi |
1 |
|
|
|
|
|
n |
R( pi ) |
|
|
∑ |
U( p ) |
||
′ |
|||
1 |
D ( pi )( p − pi ) |
|
n |
(t ), x |
|
= p x |
|
+u |
∑b x |
i |
i |
|||
i i |
|
i |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
p1 |
0 |
.. |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = |
0 |
p2 |
.. |
0 |
, B = |
1 |
|
, C = |
|
b1 |
b2 |
.. bn |
|
|
|||||||||||
.. .. .. .. |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
.. |
pn |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
18
Второй способ.
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) Y( p ) = ∑ Xi ( p) Xi ( p) = |
|
|
U( p), |
|||||||||||||||||||
|
p − pi |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t ) = ∑ xi (t ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i |
= p x |
i |
+b u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A = |
|
........ |
|
, |
B = |
|
b |
b |
.. |
b |
|
T , C = |
|
1 1 .. 1 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
В двух последних формах матрица А – диагональная.
19
Преимущества структурной модели :
•наглядное представление понятия "состояние систем",
•однозначно представляется структура взаимодействий между переменными в виде системы с обратными связями,
•структурные модели полезны при моделировании САУ
на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.
20