- •Разбор типовых задач по дискретной математике Диофантовы уравнения Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Системы счисления Задача 5
- •Непрерывные дроби Задача 7
- •Задача 7
- •Задача 6
- •Комбинаторика Задача 8
- •Задача 9
- •Задача 10
- •Задача 11
- •Задача 12
- •Задача 13
- •Задача 14
- •Задача 15
- •Задача 16
- •Задача 24
- •Задача 25
- •Задача 26
Разбор типовых задач по дискретной математике Диофантовы уравнения Задача 1
Найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 3979 и 2806.
Решение
Делим 3979 на 2806 с остатком:
.
Затем делим 2806 на 1173:
Затем делим первый остаток (1173) на второй (460), второй на третий и т.д. до получения нулевого остатка. Последний ненулевой остаток и есть НОД. Вычисления удобно выполнять уголком
|
|
|
|
|
|
3979 |
2806 |
|
|
|
|
|
|
2806 |
1 |
|
|
|
|
|
2806 |
1173 |
|
|
|
|
|
|
2346 |
2 |
|
|
|
|
|
1173 |
460 |
|
|
|
|
|
|
920 |
2 |
|
|
|
|
|
460 |
253 |
|
|
|
|
|
|
253 |
1 |
|
|
|
|
|
253 |
207 |
|
|
|
|
|
|
207 |
1 |
|
|
|
|
|
207 |
46 |
|
|
|
|
|
|
184 |
4 |
|
|
|
|
|
46 |
23 |
|
|
|
|
|
|
46 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Последний не равный нулю остаток есть 23.
Ответ: .
Задача 2
Решить диофантово уравнение
Решение.
Пользуясь обобщенным алгоритмом Евклида, находим наибольший общий делитель чисел 3196 и 3349 и его линейное представление:
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
s |
3196 |
3349 |
3196 |
153 |
136 |
17 |
0 |
r |
3196 |
3349 |
3196 |
153 |
136 |
17 |
0 |
q |
|
|
0 |
1 |
20 |
1 |
8 |
x |
1 |
0 |
1 |
-1 |
21 |
-22 |
197 |
y |
0 |
1 |
0 |
1 |
-20 |
21 |
-188 |
В столбце 5 нашли наибольший общий делитель 17 и его линейное представление
(1)
Число 17 делит 34, значит, исходное уравнение имеет решение.
Запишем равенство (1) в виде
,
Затем умножим последнее равенство на 2
.
Получили частное решение системы:
.
Из столбца 6 таблицы получаем равенство:
,
Следовательно, для любого целого числа
.
А это дает формулы для общего решения:
.
Удобно взять частное решение, для которого является наименьшим неотрицательным числом. Тогда получим:
Проверка
Ответ: