Разбор типовых задач по дискретной математике Диофантовы уравнения Задача 1

Найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 3979 и 2806.

Решение

Делим 3979 на 2806 с остатком:

.

Затем делим 2806 на 1173:

Затем делим первый остаток (1173) на второй (460), второй на третий и т.д. до получения нулевого остатка. Последний ненулевой остаток и есть НОД. Вычисления удобно выполнять уголком

						3979	2806
						2806	1
					2806	1173
					2346	2
				1173	460
				920	2
			460	253
			253	1
		253	207
		207	1
	207	46
	184	4
46	23
46	2
0

Последний не равный нулю остаток есть 23.

Ответ: .

Задача 2

Решить диофантово уравнение

Решение.

Пользуясь обобщенным алгоритмом Евклида, находим наибольший общий делитель чисел 3196 и 3349 и его линейное представление:

	a	b
	0	1	2	3	4	5	6
s	3196	3349	3196	153	136	17	0
r	3196	3349	3196	153	136	17	0
q			0	1	20	1	8
x	1	0	1	-1	21	-22	197
y	0	1	0	1	-20	21	-188

В столбце 5 нашли наибольший общий делитель 17 и его линейное представление

(1)

_{Число 17 делит 34, значит, исходное уравнение имеет решение.}

_{Запишем равенство (1) в виде}

,

Затем умножим последнее равенство на 2

.

Получили частное решение системы:

.

Из столбца 6 таблицы получаем равенство:

,

Следовательно, для любого целого числа

.

А это дает формулы для общего решения:

.

Удобно взять частное решение, для которого является наименьшим неотрицательным числом. Тогда получим:

Проверка

Ответ: