Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Билеты Математика ИТАЭ 2 семестр ЧАСТЬ 1

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
24.01.2023
Размер:
8.1 Mб
Скачать

Теоретические вопросы по математике

1. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла.

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей. Обозначим

Рассмотрим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основанием и высоты , тогда площадь этой ступенчатой фигуры:

При получим:

Выражение

называется интегральной суммой функции f(x) на [a,b].

 

Если существует конечный предел интегральных сумм при

0, причем этот

предел не зависит ни от способа разделения отрезка [a,b], ни от выбора точек

,

то функция f(x) называется интегрируемой на [a,b], а указанный предел называется

 

определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается:

 

где a — нижний предел интегрирования b — верхний предел интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Если x [a,b] f(x) 0, то

Свойства определенного интеграла:

Если f(x), g(x) интегрируемы на [a,b], то:

Справедливо для конечного числа функций и констант.

Если f(x) интегрируема на [a,b] и a<c<b, то f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b]:

Если f(x) интегрируема на [a,b] и f(x) 0, x [a,b], то:

Если f(x) и g(x) — интегрируемы на [a,b] и f(x) g(x) и x [a,b], то

Если f(x) интегрируема на [a,b], то функция |f(x)| также интегрируема на [a,b].

Теорема о среднем

Если f(x) непрерывна на [a,b], то на отрезке найдется точка такая, что:

среднее значение, f( ) — среднее значение функции.

2. Интеграл с переменным верхним пределом. Производная по верхнему пределу (доказательство)

Интегралом с переменным верхним основание называется интеграл вида:

Теорема (о производной интеграла по переменному верхнему прделу)

Если подынтегральная функция непрерына на [a,b], то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, то есть:

Ф (x) = f(x)

Доказательство

 

Придадим приращение x переменной x:

 

x+ x [a,b]

 

Тогда

 

Ф = Ф (x+ x) - Ф (x) = f (t)dt - f (t)dt = f (t)dt = f ( )

x

[x, x+

x]

Ф = f ( ) x

 

lim = lim f ( ) = lim f (x+ x) = f (x) = Ф (x)

Ф (x) = f (x)

Следствие Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одним из

первообразных для непрерывной подынтегральной функции. То есть, для любой непрерывной функции на некотором промежутке существует первообразная.

3. Формула Ньютона-Лейбница (доказательство)

Теорема Определенный интеграл от непрерывной функции равна разности значений любой

ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Доказательство

Ф (x) = f (t)dt

x [a,b] , f (t) — непрерывна на [a,b] Ф (x) = f (x)

Пусть F (x) — пеорвообразная для f (x), т. е. F (x) = f (x), тогда Ф(x) = F (x) + C Ф (a) = 0, тогда 0 = F (a) + C C = - F (a)

Ф(x) = F (x) - F (a), f (t)dt = F(x) - F(a)

Ф(b) = f(t)dt = F(b) - F(a)

Формула Ньютона-Лейбница:

f(x)dx = F(b) - F(a)

f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a)

4. Замена переменной (доказательство теоремы) и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 1 Если выполнены условия:

1.

f(x) — непрерывна на [a, b]

2.

[a,b] — является множеством значений функции x = (t), определенной на

[ , ] и имеющей на нем непрерывную производную.

3.( ) = 0, ( ) = b, тогда

f(x)dx = f( (t)) (t)dt

Доказательство

Пусть F(x) — первообразная для f(x) на [a,b], F (x) = f(x) x [a,b], то

f(x)dx = F(b) - F(a)

 

Так как F(x), x =

(t)

— дифференцируемы на соответствующих

отрезках, то сложная функция F(

(t)) — дифференцирума на [ ,

] и

F = F

= F = f(x)

= f(x)

= f(

(t)) = f( (t)) (t)

 

 

Следовательно F( (t))

— первообразная для f( (t)) (t) на [

, ].

 

По формуле Ньютона-Лейбница:

 

Теорема 2

Если u =u(x), v =v(x) имеют непреравные производные на [a,b], то

5. Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Теоремы сравнения (формулировка).

Если хотя бы один из пределов интегрирования a, b не является конечным или подынтегральная функция f(x) ограничена на [a, b], то интеграл называется несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами называются несобственными интегралами первого рода.

Если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный

интеграл называется расходящимся.

 

 

 

Теоремы сравнения

 

 

 

Теорема 1

 

 

 

 

Пусть f(x) и g(x) определены и непрерывны

x a и 0

f(x) g(x), тогда, если

g(x)dx

сходится ,

то и

f(x)dx

сходится

f(x)dx

расходится ,

то и

g(x)dx

расходится

Теорема 2

Пусть f(x) и g(x) — непрерывны и положительны на [a, + ) и пусть существует конечный предел:

lim

= A ≠ 0

Тогда интегралы

f(x)dx и

g(x)dx одновременно сходятся или

одновременно расходятся.

 

 

 

Теорема 3

 

 

 

Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

 

Теорема 4

 

 

 

Если функция f(x) непрерывна

x a 0 и

М > 0 и >1, что |f(x)| < М/x , то

x a > 0 несобственный интеграл

f(x)dx сходится абсолютно.

6. Двойной интеграл и его геометрический смысл. Свойства двойного интеграла.

Область Д — область, которая является ортогональной проекцией поверхности z=f(x,y), называется основанием цилиндрического тела.

Разобьем область Д сетью дуг на элементарные области с площадью

.

В каждой элементарной областе выберем точку М .

 

 

Объем ступенчатого цилиндрического тела:

Vn= f(M )

 

Двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д называется предел ее интегральной суммы, который не зависит от способа разбиения область Д и выбора точек М при d -> 0 и обозначается:

f(x,y) d = lim f(M )

Свойства двойного интеграла:

Если

(x,y)

Д,

f(x,y)

0, то

Если

(x,y)

Д,

f (x,y)

f (x,y) =>

Если f(x,y) =1, то

 

 

Теорема о среднем

Если f(x,y) непрерывна в Д, существует хотя бы одна точка р Д, что

7. Замена переменной в двойном интеграле. Якобиан. Двойной интеграл в полярных координатах.

Пусть u=

(x,y), v= (x,y) — функции, однозначно заданные относительно x и y,

непрерывные в

области Д и имеющие в области непрерывные производные.

Каждой точке М (x,y) D ставят в соответствие единственную точку М (u,v) D. Числа u и v называются криволинейными координатами точки М.

Якобиан — функциональный определитель, составленный из частных производных первого порядка.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам.

Якобиан данного преобразования:

cos sin sin cos

8=11. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Вывод Якобиана.

f(x,y,z) dxdydz = f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|I| dxdydz

— Якобиан преобразования

V = |I| V

Цилиндрические координаты:

f(x,y,z) dxdydz = f( cos , sin ,z) d d dz

Сферические координаты:

f(x,y,z) dxdydz = f(rcos sin ,rsin sin ,zcos )r sin d drd

9=12. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства.

Пусть функция f(x,y,z) непрерывна на гладкой поверхности S.

Разобьем поверхность S сетью линий на n участков, площадью S . На каждом из участков произвольно выберем точку М (x , y , z ).

Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения S и выбора точек М , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S:

f(x,y,z) dS = lim f(M ) S

Свойства поверхностного интеграла первого рода:

Если

(x,y)

f(x,y)

0

Если

(x,y)

f (x,y)

f (x,y)

Если f(x,y) =1 , то

 

 

Теорема о среднем

Если f(x,y) непрерывна в S, существует хотя бы одна точка р S, что