Билеты Математика ИТАЭ 2 семестр ЧАСТЬ 1
.pdfТеоретические вопросы по математике
1. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла.
Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей. Обозначим
Рассмотрим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основанием и высоты , тогда площадь этой ступенчатой фигуры:
При получим:
Выражение |
называется интегральной суммой функции f(x) на [a,b]. |
|
|
Если существует конечный предел интегральных сумм при |
0, причем этот |
||
предел не зависит ни от способа разделения отрезка [a,b], ни от выбора точек |
, |
||
то функция f(x) называется интегрируемой на [a,b], а указанный предел называется |
|
||
определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается: |
|
где a — нижний предел интегрирования b — верхний предел интегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла:
Если x [a,b] f(x) 0, то
Свойства определенного интеграла:
Если f(x), g(x) интегрируемы на [a,b], то:
Справедливо для конечного числа функций и констант.
Если f(x) интегрируема на [a,b] и a<c<b, то f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b]:
Если f(x) интегрируема на [a,b] и f(x) 0, x [a,b], то:
Если f(x) и g(x) — интегрируемы на [a,b] и f(x) g(x) и x [a,b], то
Если f(x) интегрируема на [a,b], то функция |f(x)| также интегрируема на [a,b].
Теорема о среднем
Если f(x) непрерывна на [a,b], то на отрезке найдется точка такая, что:
среднее значение, f( ) — среднее значение функции.
2. Интеграл с переменным верхним пределом. Производная по верхнему пределу (доказательство)
Интегралом с переменным верхним основание называется интеграл вида:
Теорема (о производной интеграла по переменному верхнему прделу)
Если подынтегральная функция непрерына на [a,b], то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, то есть:
Ф (x) = f(x)
Доказательство |
|
Придадим приращение x переменной x: |
|
x+ x [a,b] |
|
Тогда |
|
Ф = Ф (x+ x) - Ф (x) = f (t)dt - f (t)dt = f (t)dt = f ( ) |
x |
[x, x+ |
x] |
Ф = f ( ) x |
|
lim = lim f ( ) = lim f (x+ x) = f (x) = Ф (x)
Ф (x) = f (x)
Следствие Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одним из
первообразных для непрерывной подынтегральной функции. То есть, для любой непрерывной функции на некотором промежутке существует первообразная.
3. Формула Ньютона-Лейбница (доказательство)
Теорема Определенный интеграл от непрерывной функции равна разности значений любой
ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Доказательство
Ф (x) = f (t)dt
x [a,b] , f (t) — непрерывна на [a,b] Ф (x) = f (x)
Пусть F (x) — пеорвообразная для f (x), т. е. F (x) = f (x), тогда Ф(x) = F (x) + C Ф (a) = 0, тогда 0 = F (a) + C C = - F (a)
Ф(x) = F (x) - F (a), f (t)dt = F(x) - F(a)
Ф(b) = f(t)dt = F(b) - F(a)
Формула Ньютона-Лейбница:
f(x)dx = F(b) - F(a)
f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a)
4. Замена переменной (доказательство теоремы) и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Теорема 1 Если выполнены условия:
1. |
f(x) — непрерывна на [a, b] |
2. |
[a,b] — является множеством значений функции x = (t), определенной на |
[ , ] и имеющей на нем непрерывную производную.
3.( ) = 0, ( ) = b, тогда
f(x)dx = f( (t)) (t)dt
Доказательство
Пусть F(x) — первообразная для f(x) на [a,b], F (x) = f(x) x [a,b], то
f(x)dx = F(b) - F(a)
|
Так как F(x), x = |
(t) |
— дифференцируемы на соответствующих |
||
отрезках, то сложная функция F( |
(t)) — дифференцирума на [ , |
] и |
|||
F = F |
= F = f(x) |
= f(x) |
= f( |
(t)) = f( (t)) (t) |
|
|
Следовательно F( (t)) |
— первообразная для f( (t)) (t) на [ |
, ]. |
||
|
По формуле Ньютона-Лейбница: |
|
Теорема 2
Если u =u(x), v =v(x) имеют непреравные производные на [a,b], то
5. Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Теоремы сравнения (формулировка).
Если хотя бы один из пределов интегрирования a, b не является конечным или подынтегральная функция f(x) ограничена на [a, b], то интеграл называется несобственным.
Интегралы с бесконечными пределами называются несобственными интегралами первого рода.
Если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный
интеграл называется расходящимся. |
|
|
|
|
Теоремы сравнения |
|
|
|
|
Теорема 1 |
|
|
|
|
Пусть f(x) и g(x) определены и непрерывны |
x a и 0 |
f(x) g(x), тогда, если |
||
g(x)dx |
сходится , |
то и |
f(x)dx |
сходится |
f(x)dx |
расходится , |
то и |
g(x)dx |
расходится |
Теорема 2
Пусть f(x) и g(x) — непрерывны и положительны на [a, + ) и пусть существует конечный предел:
lim |
= A ≠ 0 |
Тогда интегралы |
f(x)dx и |
g(x)dx одновременно сходятся или |
|
одновременно расходятся. |
|
|
|
Теорема 3 |
|
|
|
Абсолютно сходящийся интеграл сходится. |
|
||
Теорема 4 |
|
|
|
Если функция f(x) непрерывна |
x a 0 и |
М > 0 и >1, что |f(x)| < М/x , то |
|
x a > 0 несобственный интеграл |
f(x)dx сходится абсолютно. |
6. Двойной интеграл и его геометрический смысл. Свойства двойного интеграла.
Область Д — область, которая является ортогональной проекцией поверхности z=f(x,y), называется основанием цилиндрического тела.
Разобьем область Д сетью дуг на элементарные области с площадью |
. |
|
В каждой элементарной областе выберем точку М . |
|
|
Объем ступенчатого цилиндрического тела: |
Vn= f(M ) |
|
Двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д называется предел ее интегральной суммы, который не зависит от способа разбиения область Д и выбора точек М при d -> 0 и обозначается:
f(x,y) d = lim f(M )
Свойства двойного интеграла:
Если |
(x,y) |
Д, |
f(x,y) |
0, то |
Если |
(x,y) |
Д, |
f (x,y) |
f (x,y) => |
Если f(x,y) =1, то |
|
|
Теорема о среднем
Если f(x,y) непрерывна в Д, существует хотя бы одна точка р Д, что
7. Замена переменной в двойном интеграле. Якобиан. Двойной интеграл в полярных координатах.
Пусть u= |
(x,y), v= (x,y) — функции, однозначно заданные относительно x и y, |
непрерывные в |
области Д и имеющие в области непрерывные производные. |
Каждой точке М (x,y) D ставят в соответствие единственную точку М (u,v) D. Числа u и v называются криволинейными координатами точки М.
Якобиан — функциональный определитель, составленный из частных производных первого порядка.
Переход в двойном интеграле к полярным координатам.
Якобиан данного преобразования:
cos sin sin cos
8=11. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Вывод Якобиана.
f(x,y,z) dxdydz = f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|I| dxdydz
— Якобиан преобразования
V = |I| V
Цилиндрические координаты:
f(x,y,z) dxdydz = f( cos , sin ,z) d d dz
Сферические координаты:
f(x,y,z) dxdydz = f(rcos sin ,rsin sin ,zcos )r sin d drd
9=12. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства.
Пусть функция f(x,y,z) непрерывна на гладкой поверхности S.
Разобьем поверхность S сетью линий на n участков, площадью S . На каждом из участков произвольно выберем точку М (x , y , z ).
Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения S и выбора точек М , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S:
f(x,y,z) dS = lim f(M ) S
Свойства поверхностного интеграла первого рода:
Если |
(x,y) |
f(x,y) |
0 |
Если |
(x,y) |
f (x,y) |
f (x,y) |
Если f(x,y) =1 , то |
|
|
Теорема о среднем
Если f(x,y) непрерывна в S, существует хотя бы одна точка р S, что