Проба005

Вариант 3. Созинов Максим, группа ПИН-11Д.

, где

Построить хорошие графики. Один под другим. С обозначением осей координат. Со вспомогательными линиями.

Решение

. Сдвиг вправо по Ох на 1.

. Проведение оси симметрии в х=0 (правую сторону от оси симметрии отражаем зеркально влево).

. Сдвиг вправо по Ох ещё на 2 (т.е. и ось симметрии теперь в х=2). То есть теперь относительно y=cos(x) сдвинуто вправо на три, и в х=2 проведена ось симметрии.

In [1]: import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np

x = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 1000)

def goPlt(a,b,d,ris): plt.figure(figsize=(10,4)) plt.axhline(y=0, color='k') plt.axvline(x=0, color='k') plt.plot(x, np.cos(a), b, label=d) plt.legend() plt.axis([-7,7,-1.25,1.25]) plt.minorticks_on()

plt.grid(which='major',color = 'k',linewidth = 0.3) plt.grid(which='minor', color = 'k',linewidth = 0.2,linestyle = ':') plt.xlabel('x')

plt.ylabel('y')

plt.title('(рис.{0}) График функции '.format(ris)+d) plt.show()

goPlt(x, 'bo', 'y = cos(x)',1) goPlt(x-1, 'go', '$y_1$ = cos(x-1)',2)

goPlt(np.abs(x)-1, 'co', '$y_2$ = cos(|x|-1)',3) goPlt(np.abs(x-2)-1, 'mo', '$y_3$ = cos(|x-2|-1)',4)

Задача 2.

Найти приближённые и точные значения в алгебраической форме корней сначала письменно, используя формулу Муавра для извлечения корней.

Что такое модуль комплексного числа. Что такое главный аргумент комплексного числа? В каких пределах он задается? Используя операции отношения для приближённых значений корней выяснить какие корни лежат на мнимой оси, какие корни имеют главный аргумент равный . Сделать

три рисунка, дать им описание (что мы на них видим и почему)

1)На первом рисунке изобразить комплексную плоскость, окружность и все найденные корни.

2)На втором рисунке изобразить комплексную плоскость, отметить окружность и только те корни., которые лежат на мнимой оси.

Запишем формулу корней в общем виде:

Подставим

Подставим

-(корень с главным аргументом

)

Подставим

-(т.к. действительная часть равна нулю, значит лежит на мнимой оси)

In [3]: import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np

import sympy as sp

def znk(b, a): print(b,'значения:')

z = ['z\u2080','z\u2081','z\u2082'] for i in range(3):

print(z[i],' = ',end='') sp.pprint(a[i])

print()

def goPlt(Zn,ris): plt.axhline(y=0, color='k') plt.axvline(x=0, color='k')

t = np.linspace(0,2*np.pi,100) plt.plot(r**(1/3)*np.cos(t),r**(1/3)*np.sin(t),':') nol = np.zeros(3)

plt.quiver(nol, nol, np.real(Zn), np.imag(Zn),angles='xy', scale_units='xy', sc plt.scatter(np.real(Zn),np.imag(Zn), marker="*", color="red", s=200) plt.xlabel('Re(z)')

plt.ylabel('Im(z)') plt.axis('equal') plt.grid(True) plt.title(ris) plt.show()

z = 27j

r = np.abs(z)

phi = np.angle(z) k = np.arange(0,3)

Zn = r**(1/3)*(np.cos((phi+2*np.pi*k)/3)+1j*np.sin((phi+2*np.pi*k)/3))

znk('Приближённые', np.round(Zn,2))

Zk = [0,0,0]

for i in range(3):

Zk[i] = r**(1/3)*(sp.cos((sp.pi/2+2*sp.pi*i)/3)+1j*sp.sin((sp.pi/2+2*sp.pi*i)/3

znk('Точные',Zk)

L1 = np.isclose(np.real(Zn),0) print(np.round(Zn[L1],2),' - лежит на мнимой оси')

L2 = np.isclose(np.angle(Zn),5*np.pi/6) print(np.round(Zn[L2],2),' - имеет главный аргумент 5\u03C0/6')

goPlt(Zn,'(рис.6) Корни комплексного числа $\sqrt[3]{27i}$ с их радиус-векторам

Приближённые значения: z = (2.6+1.5j)

z = (-2.6+1.5j) z = (-0-3j)

Точные значения: z = 1.5 √3 + 1.5

z = -1.5 √3 + 1.5 z = -3.0

Красными звёздочками ( ) на рисунках 6,7,8 отмечены комплексные числа на комплексной плоскости "C".

Горизонтальная ось (Real или сокращенно Re(z)) - действительная часть комплексного числа. ("действительная ось")

Вертикальная ось (Imag или сокращенно Im(z)) - мнимая часть комплексного числа. ("мнимая ось")

Модуль комплексного числа - это радиус окружности, на которой и расположены комплексные числа.

Зелёными стрелками ( ) на рисунках изображены радиус-векторы комплексных чисел.

а- это угол между радиус-векторами корней нашего комплексного числа

.

Соответственно, построение можно делать как с помощью этих углов и модуля комплексного числа, так и по координатам действительной и мнимой частей комплексного числа.

Ну и соответственно, если комплексное число лежит на мнимой оси, значит действительная часть равна нулю; если на действительной оси, значит мнимая часть

Задача 3.

В отчёт вставить графики, точный и приближённый ответы в виде промежутков, объяснить результаты.

Решение . a)

In [4]: import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np

x= np.linspace(-5, 11, 100) plt.figure(figsize=(10,5)) plt.plot(x, x**3-10*x**2-2 ,'b') plt.axhline(y=0, color='k') plt.axvline(x=0, color='k') plt.axis([-5,11,-155,30]) plt.xlabel('x')

plt.ylabel('y') plt.grid(True)

plt.title('(рис.9) $f(x)=x^3-10x^2-2$') plt.show()

x= np.linspace(9.5, 10.5, 50)

plt.figure(figsize=(3.5,2.5)) plt.plot(x, x**3-10*x**2-2 ,'b') plt.axhline(y=0, color='k') plt.axvline(x=0, color='k') plt.axis([9.5,10.5,-0.5,0.5])

Out[4]:

-

точное значение.

- приближённое значение (до 2 знаков

после запятой).

б

In [5]: import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np

x = np.linspace(-5, 11, 100) plt.figure(figsize=(10,5)) plt.plot(x, x**3-10*x**2+15 ,'g') plt.axhline(y=0, color='k') plt.axvline(x=0, color='k') plt.axis([-5,11,-140,30]) plt.xlabel('x')

plt.ylabel('y') plt.grid(True)

plt.title('(рис.11) $f(x)=x^3-10x^2+15$') plt.show()

import sympy as sp x = sp.symbols('x')

Xn = sp.solve('x**3-10*x**2+15', x) print('(Точное значение) x\u2081 =') sp.pprint(Xn[1])

print('----\n\n(Точное значение) x\u2082 =') sp.pprint(Xn[0])

print('----\n\n(Точное значение) x\u2083 =') sp.pprint(Xn[2])

a = sp.solve_univariate_inequality(x**3 - 10*x**2>=-15.0,x,relational=False) sp.N(a,3)