111Equation Chapter 1 Section 1министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций российской федерации

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

__________________________________________________________

Факультет СиСС

Кафедра общей теории связи

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

№ 26-2

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

на тему:

«Анализ рекурсивных цифровых фильтров 1-го и 2-го порядка»

Вариант №17

Выполнил: студ. гр. БОС2002

Ядринцев Сергей

Проверила: доц. каф. ОТС

Поборчая Н.Е.

(Осенний семестр)

Москва 2022

1. Цель работы

Провести экспериментальный анализ рекурсивных фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, их взаимосвязь со значениями коэффициентов ЦФ; определить области устойчивости рекурсивных фильтров 1-го и 2-го порядка.

2. Выполнение домашнего задания

2.1 Исходные данные варианта

Табл. 1. Таблица параметров фильтра для своего варианта ДЗ

Порядок фильтра
1	1	-0,65	8 кГц

2.2 Запись разностного уравнения и системной функции

Разностное уравнение рекурсивного ЦФ 1-го порядка имеет вид:

22\* MERGEFORMAT ()

Пусть задан дискретный сигнал , тогда его односторонним называется:

33\* MERGEFORMAT ()

Свойства :

Свойство 1 (линейности):

44\* MERGEFORMAT ()

Свойство 2 (смещения):

55\* MERGEFORMAT ()

Пусть на входе ЦФ действует сигнал , а на выходе наблюдается сигнал , тогда системной функцией ЦФ называется отношение:

66\* MERGEFORMAT ()

Находим (5), применив к обеим частям уравнения (1) и воспользовавшись свойствами 1 и 2:

77\* MERGEFORMAT ()

Отсюда получаем:

88\* MERGEFORMAT ()

2.3 Построение структурной схемы цф

Для построения структурной схемы ЦФ будем использовать обозначения основных блоков.

2.4 Расчет и построение характеристик цф

Импульсной характеристикой ЦФ (любого) называется его отклик на единичный импульс Кронекера:

99\* MERGEFORMAT ()

– единичный импульс Кронекера.

Из формулы (8) с учетом начального условия последовательно получаем:

1010\* MERGEFORMAT ()

Переходной функцией цифрового фильтра называется его отклик на дискретный единичный скачок:

1111\* MERGEFORMAT ()

По определению фильтр называется устойчивым, если при ограниченном воздействии его выход (отклик) также ограничен, то есть

Из определения выше следует, что для устойчивости ЦФ при действии на входе на выходе получаем .

Из (10) следует, что:

1212\* MERGEFORMAT ()

Любой ЦФ является дискретной линейной системой, действие которого на входной сигнал описывается линейным оператором . Это означает, что на выходной сигнал , а если , то

1313\* MERGEFORMAT ()

Следовательно, если , то из (11) и (12) имеем:

1414\* MERGEFORMAT ()

Делаем замену переменных :

1515\* MERGEFORMAT ()

Из (14) с учетом начального условия и (9) последовательно получаем:

1616\* MERGEFORMAT ()

Комплексным коэффициентом передачи ЦФ называется функция частоты :

1717\* MERGEFORMAT ()

где , .

Свойства комплексных чисел.

Если , то

1818\* MERGEFORMAT ()

1919\* MERGEFORMAT ()

2020\* MERGEFORMAT ()

Если – комплексная дробь, то справедливо:

2121\* MERGEFORMAT ()

2222\* MERGEFORMAT ()

2323\* MERGEFORMAT ()

Формулы Эйлера:

2424\* MERGEFORMAT ()

2525\* MERGEFORMAT ()

Найдем используя (16) и формулы Эйлера (23), (24):

2626\* MERGEFORMAT ()

Найдем действительную и мнимую части от с учетом (20), (21) и (22):

2727\* MERGEFORMAT ()

2828\* MERGEFORMAT ()

2929\* MERGEFORMAT ()

3030\* MERGEFORMAT ()

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) цифрового фильтра называется функция частоты:

3131\* MERGEFORMAT ()

Найдем АЧХ по формуле (30) и с учетом (22):

3232\* MERGEFORMAT ()

Преобразуем знаменатель с учетом полученного ранее в формуле (27):

3333\* MERGEFORMAT ()

Фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) цифрового фильтра называется функция частоты:

3434\* MERGEFORMAT ()

Найдем ФЧХ по формуле (33) и с учетом (28) и (29):

3535\* MERGEFORMAT ()